Файл: Шепелев, И. Г. Математические методы планирования и управления в строительстве конспект лекций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 54

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

тот фактор, который является первопричинным, а отбрасывать тот фактор, который несет в себе больше элементов следствия. Немаловажную роль при этом играет и учет регулируемости факторов, т. е. в модель надо включить факторы, поддающиеся регулированию, с целью последующей оптимизации результиру­ ющего признака за счет изменения факторов.

§ 4.2. Теснота связи при множественной корреляции

Количественно тесноту связи при множественной корреля­ ции можно оценить с помощью множественного (совокупного) коэффициента корреляции R. Для расчета совокупного коэффи­ циента корреляции необходимо определить парные коэффициен­ ты корреляции гц между всеми факторами Хи входящими в, модель, и результирующими показателем у и все парные коэффи­ циенты корреляции между факторами. Все коэффициенты кор­ реляции записываются в квадратную симметричную матрицу.

1

Г у х ,

Г ух3

 

Гула

 

Т У * п

 

 

1

Гх, Х 3

 

 

 

 

Г у л - ,

 

Гх, х 3

 

Г Х , х п

 

Г ух3

г х ,

х„

1

 

Гха х 3

 

Г Х „ Х П

 

h x .

Гх, х 3

Гхя х 3

 

1

 

Гх3 х п

 

Г У Х п

] Т х ‘

 

Т х * х п

 

г х з х п

 

1

 

Множественный коэффициент корреляции определяется по

формуле:

 

 

 

_______

 

 

 

 

 

R = / l

-

J L

,

 

(4.2.1)

где Д — определитель

матрицы

парных

коэффициентов

корре­

ляции;

 

 

 

матрицы

с вычеркнутыми

первой

Ди — определитель той же

строкой и первым столбцом, т. е. определитель

матри­

цы парных

коэффициентов

корреляции между

факто­

рам и.

Вприведенном в предыдущем параграфе примере матрица коэффициентов корреляции имеет вид:

1,000

0,734

0,649

—0,384

—0,325

0,734

1,000

—0,083

0,003

—0,009

39

0,649

—0,083

1,000

—0,461

—0,152

—0,384

—0,003

—0,461

1,000

0,427

—0,325

—0,009

—0,152

0,427

1,000

Множественный коэффициент корреляции, определенный по формуле (4.2.1), R = 0,697.

Для случая зависимости от двух факторов

^

Г Тух,+ Тух, ^Тух1тухй

 

R

гXiX-i

(4.2.2)

--------------

] /

 

Для определения влияния только одного фактора на результи­ рующий показатель, с исключением влияния других факторов, используется частный коэффициент корреляции

Гу1х1-х1-х.ухп = — 11 , )

(4.2.3)

 

У Д ц -Д н

 

где Дц — определитель матрицы

с вычеркнутой первой строкой

i-ым столбцом;

с вычеркнутой

i-ой строкой и

Дп — определитель матрицы

i-ым столбцом.

 

 

При множественной корреляции от двух факторов коэффициент частной корреляции первого фактора

Гу/^.х,

ТУХу тух1'тх1х1

(4.2.4)

 

 

 

 

ух3

 

х,х3)

 

 

, ) ( 1

 

 

а коэффициент частной корреляции для второго фактора

 

ГУ!хг х, --

ГУ*2

Tyx1’Txixa

(4.2.5)

------------------------

Vi1- i1г У -

Частный коэффициент корреляции отражает «чистое» влия­ ние» фактора на результирующий показатель и отличается от коэффициента парной корреляции тух.

При линейной форме связи множественный коэффициент корреляции является оценкой точности аппроксимации, при не­ линейных формах связи для оценки точности аппроксимации (оценки адекватности модели) применяются корреляционное отношение rj и ошибки аппроксимации в. Эти оценки определя­ ются так же, как и при парной корреляции по формулам (2.4.5)

и (2.4.6)

40

§ 4.3 Формы зависимости при множественной корреляции

Так же, как при парной корреляции, простейшей формой вы­ ражения множественной зависимости является линейная зави­ симость вида

•4 i

У = а0+ ахх х +

а ,х 2+ . .. -\-апх п,

(4.3.1)

где у — результирующий признак;

 

х\ — факторы;

 

 

а0 — свободный член уравнения регрессии;

 

щ — коэффициенты при факторах.

параболиче­

Линейная зависимость является частным случаем

ской зависимости, имеющей выражение:

 

У — ао+

о,\Хх + а2х 2

. . + а п х\ а22 х\ -f- ... -f-

+

Х\Х2+ а 13 x tx 3-f-.. . a inx ix n .. ,

(4.3.2)

где х\ — квадраты значений факторов;

XiXi — попарные произведения всевозможных комбинаций фак­

торов;

регрессии

при

попарном

произведении

a tj — коэффициент

факторов (i, j)

— соответственно номера факторов).

Степенная зависимость

 

 

I—п

 

 

 

 

 

 

 

(4.3.3)

~у — A Xil

. . . х„п = А П хр,

 

 

 

 

 

i=i

 

 

где bi — показатель степени

при каждом i-ом факторе;

заме­

тим, что коэффициенты Ь\ могут

принимать целые и дробные

значения с положительным или отрицательным знаком.

В по­

следнем случае кривая принимает вид гиперболы.

 

 

Показательная зависимость

 

 

 

 

у =

 

. , а У п =

i=i

 

(4.3.4)

 

 

 

 

 

 

где а\ и Ь[—коэффициенты

регрессии,

принимающие

любые

вещественные значения.

 

 

 

 

 

 

Частным случаем показательной зависимости является экс­

поненциальная зависимость

 

 

 

 

 

У =

ef(x,) = exp [f (*,)],

 

(4.3.5)

где l'(xi) — любые функции факторов Xi.

 

линеализации

Благодаря простоте

выражения и удобству

экспоненциальные формулы получили в последнее время широ­ кое распространение.

41

’Многофакторная зависимость может быть аппроксимирова­ на произведении ряда функций (метод Брандона)

i = n

У = С fi (м ) *2 (*2) . . . fn (Л'п) - с П f, (лу),

(4.3.6)

1 -1

 

здесь fi (х\) — некоторая функция фактора; с —-свободный член формулы.

Ниже будут рассмотрены методы аппрокоимации многофак­ торных зависимостей с применением перечисленных моделей.

§ 4.4. Аппроксимация многофакторной связи линейной зависимостью

Аппроксимация заключается в подборе коэффициентов ре­ грессии при заранее заданной форме линии регрессии. Наибо­ лее распространенным способом аппроксимации является метод наименьших квадратов. Сущность метода показана во второй главе. Необходимо найти минимум выражения

р = Е ( у - у ) 2.

(4.4.1)

При линейной многофакторной зависимости выражение (4.4.1) запишется в виде

р Е (у — а0 — ахх 1— а2х 2— ... апх а)2-> min, (4.4.2)

Для минимизации выражения (4.4.2) необходимо опреде­ лить частные производные по каждому неизвестному. Напом­ ним, что в качестве неизвестных здесь рассматриваются пара­ метры регрессионной формулы (4.3.1) а0; аи а2... ал.

Частные производные приравниваются к нулю и составля­ ется система нормальных линейных уравнений, число которых на единицу больше числа факторов, включаемых в модель2). Си­ стема нормальных уравнений имеет вид:

NiZq-j- оуЕхi —|- а2^ х 2 . . . ~J~ аяЪхп—- Ey,

a 0Ext -f a fix \ -\-a2'£‘X1x 2 . . . + ап^х^хп = Елуу^

a0Zx2-(- ахЪххх 2-}-а2 Ел2 • • • + anT>x2x n = Ex2y,

a 0Exn -j- a fix ^ x n -f- a2Zx2x n ... + anEx2

= Exny.

2) Слово «модель» здесь и ранее принимается

как синоним слова «фор­

мула».

 

42

Смотрите также файлы