Файл: Шепелев, И. Г. Математические методы планирования и управления в строительстве конспект лекций.pdf

Если при увеличении числа членов полинома получают зна­ чимое уравнение, то считают задачу решенной. Однако могут быть такие исходные данные, при которых вообще невозможно получить значимое уравнение регрессии, тогда большой объем вычислительных работ оказывается лишним. Необходимо отме­ тить, что если в линейных формах при увеличении числа фак­ тических независимых переменных на единицу многочлен возра­ стает также на единицу, но нелинейный полином при включении в него одного дополнительного фактора растет стремительно, лавинообразно. Обычно ограничиваются многочленом второй степени при парных взаимосвязях, в этом случае число членов полинома может быть подсчитано по формуле:

Количество членов полинома в зависимости от числа факто­ ров приведено в табл .1 0 .

Аппроксимация с нарастающим числом членов продолжает­

F-критерию Стыодента, Незначимые члены уравнения вычеркивают, при этом вычеркиваются также соответствующие строки и столбцы матрицы нормальных уравне­ ний. Для этой матрицы снова определяют коэффициенты ре­ грессии, их проверяют на значимость, незначимые вычеркивают

48

многочлену коэффициенты регрессии, проверять уравнение на значимость, проверять коэффициенты регрессии на значимость, отбрасывая таким образом лишние члены. В случае незначи­ мого уравнения регрессии необходимо повышать степень много­ члена или ввести дополнительные взаимосвязи между фактора­ ми, после чего определить коэффициенты регрессии, проверить уравнение на значимость, отбрасывая лишние члены и т. д.

Блок-схема этого алгоритма приведена ниже (Схема 1). В литературе [7] этот метод называют многошаговым регресси­ онным анализом.

Схема

БЛОК-СХЕМА МНОГОШАГОВОГО РЕГРЕССИВНОГО АНАЛИЗА

Ф

6Вычисление коэффициентов регрессии

А= (Х*Х)-> (Х*У)

Ф

7Вычисление расчетных значений зависимой переменной у = ХА

Ф

8 Вычисление остаточной дисперсии

„9 s (У -"У)

ост N—п —1

49

4

9 Проверка на уменьшение

( s L ) j+ 1< ( s L ( s L ) j -

где j номер шага

1

10 Вычисление F-критерия

S2

F " 2 S2 ‘-'ост

4

11 Проверка адекватности F ^ Ртабл (р = 0,95)

4 нет

12Расширение матрицы-X для получения поли­ нома 2-ой степени

4

13Вычисление многофакторного корреляцион­ ного отношения

, _ i A

V '- ( У - У )2

I

14Вычисление среднеквадратических ошибок коэффициента регрессии

аа) ~ ^ост• Cj]

4

15 •Вычисление критерия для коэффициента регрессии

1 __ &\ ■

4

16 Оценка членов уравнения по t-критерию

4

17 Вычеркивание строки и столбца матрицы X

4

18 Печать

50

Методом многошагового регрессионного анализа по стан­ дартной программе осуществлялись аппроксимация зависимости между факторами, приведенными в примере § 4.1—4.2, и уров­ нем себестоимости строительно-монтажных работ. В результате вычислений на ЭВМ «Минск-22» получено следующее регресси­ онное уравнение:

Максимальное число членов полинома при четырех факто­ рах было равно пятнадцати. В результате регрессионного ана­ лиза часть членов была отброшена и в уравнении (4.5.7) оста­ лось только девять значимых членов. При этом достигнута достаточно высокая точность аппроксимации, корреляционное от­ ношение т] = 0,834, что много выше, чем множественный коэф­ фициент корреляции, подсчитанный для этих же данных

(см. § 4.2), R = 0,697.

§ 4.6. Аппроксимация нелинейной зависимости методом Д. Брандона

Суть метода заключается в том, что корреляционная зави­ симость представляется в виде произведения некоторых функ­ ций, каждая из которых является функцией одного неизвест­ ного:

Эти парные зависимости могут иметь любой вид, на практике чаще всего ограничиваются линейной, параболой, степенной и тригонометрической функциями. В выражении (4.6.1) С —-по­ стоянная величина, равна среднему значению у.

Решение задачи сводится к нахождению значения величи­ ны С и выражения функции f (xi) в следующем порядке:

1) вычисляется среднее значение у и нормализуются значе­ ния у по формулам:

2) выбирается вид зависимости уо от *i и методом наимень­ ших квадратов определяются параметры формулы

51

21

24

Рис. 8. Блок-схема алгоритма аппроксимации методом Брандона

3) определяется условный остаточный показатель для каж­ дого наблюдения

до тех пор, пока не будут определены все функции fn (хп). Об­ щая формула получается как произведение этих функций:

программа, блок-схема которых приведена на рис. 8 [10]. Главный массив алгоритма (операторы 14—23) представля­

ют собой .вычисления парных корреляционных зависимостей. Возможные связи между переменными практически полностью охватываются следующими зависимостями: линейной, парабо­ лической, степенной и тригонометрической. ЭВМ производит расчет по вариантам зависимостей и выбирает ту из них, ко­ торая обеспечивает минимальную ошибку аппроксимации. Схе­ мы вычислений этих зависимостей приведены в табл. И.

В нулевом цикле (оператор 16) вычисляются промежуточные данные, необходимые для расчета параметров формулы. Пара­ метры корреляционного уравнения, обеспечивающего минималь­ ную ошибку аппроксимации, засылаются в специальный массив рабочих ячеек. Первая часть (операторы 1—5) содержит вы­ числения предварительного характера, вычисление парных кор­

нормализация зависимого переменного. Оператор 6, пользуясь операторами 14—23, определяет зависимость fi(xi).

Это определение производится по четырем видам функций, выбирается функция, имеющая минимальную ошибку аппрок­ симации. По выбранной функции в зависимости от Xi вычисля­ ется расчетное значение г/ц. Оператор 9 формирует новый ус­

ловный показатель У\ = — nL. После этого снова управление

fi (х)

передается оператору 6 и устанавливаются зависимости между

53