Файл: Шепелев, И. Г. Математические методы планирования и управления в строительстве конспект лекций.pdf

Решив систему любым известным методом, можно найти параметры уравнения регрессии. Наибольшее распространение сейчас получил метод решения обращением матриц, запрограм­ мированный в ряде стандартных программ аппроксимации |[7]. В матричной форме система (4.4.3) запишется

аП

Матрица исходных данных представляется в виде таблицы наблюдений по факторам

Эти исходные данные и данные наблюдений зависимого пере­ менного У в виде матрицы-столбца

У1

у2 1

= Уз

(4.4.7)

Уп

43

вводятся в память электронной вычислительной машины. Для дальнейших вычислений необходимо определить матрицу X*, транспонированную матрице X. Напомним, что транспонирова­ ние матриц — это замена местами строк и столбцов матрицы. Таким образом, матрица X*, транспонированная матрице X (4.4.6), имеет вид:

Умножив транспонированную матрицу X* на матрицу исходных данных X и на матрицу-столбец исходных данных по результи­ рующему признаку У, получаем систему нормальных уравнений в матричной форме (4.4.4). Для решения этого уравнения не­ обходимо найти матрицу (Х*Х)-1, обратную матрице3) (Х*Х), п умножить эту матрицу на обе части уравнения (4.4.4). В резуль­ тате получим выражение

Значение каждого из коэффициентов уравнения регрессии мо­ жет быть определено по формуле:

где сц — элемент обратной матрицы.

Рассмотрим пример аппроксимации многофакторной зависи­ мости и использования корреляционной формулы.

Для подготовки к переводу на новую систему планирования и экономического стимулирования одного из строительно-мон­ тажных трестов следовало изыскать резервы в целях получения дополнительной прибыли для компенсации перерасхода стиму­ лирующих фондов предприятия. При изыскании резервов в под­ разделениях треста были проведены корреляционные исследо­

3) Матрицей, обратной матрице X, называется такая матрица X—*, которая при перемножении ее на матрицу X даст единичную матрицу Е.

44

вания и получена модель, отображающая зависимость рента­ бельности каждого из подразделений от ряда факторов. Стави­

каждого из факторов на рентабельность, чтобы получить допол­ нительную прибыль за счет каждого из факторов:

Х\ — механовооруженности труда;

— уровня сборности строительства; х3— коэффициента рассредоточенности строительства;

xi — уровня механизации строительно-монтажных работ;

х5— фондоотдачи;

х6— текучести кадров.

Исходные данные по уровню рентабельности и факторам были взяты по. 1 2 строительно-монтажным подразделениям за два года, предшествовавшие переводу треста на новую систему. Из приведенных 'здесь факторов требует пояснения коэффици­ ент рассредоточенности, который определялся по формуле:

где Ai — объем строительно-монтажных работ по i-му объекту; U— расстояние i-ro объекта от производственной базы.

В результате расчетов, проведенных на ЭВМ «Минск-22» по стандартной программе аппроксимации, получено следующее уравнение регрессии:

у = —93,773+0,140*1 + 0,830x2 — 0,170*3 + 7,109*4 +

эффициент корреляции считается достаточно высоким. При про­ верке уравнения регрессии и коэффициентов регрессии на значи­

равных условиях, т. е. при неизменных значениях других факто­ ров.

45

Для множественной линейной зависимости эластичность фак­ тора равна коэффициенту регрессии при этом факторе.

При нелинейных формах связи эластичность зависит от ве­ личины коэффициента регрессии, абсолютной величины факто­ ра, расчетного значения зависимого переменного. В нашем слу­ чае эластичность факторов 3i — 0,140; Э2 == 0,830; Э3 =

— 0,170; Э4 = 7,109; Э5 = 5,234; Э6 = —0,019.

В соответствии с техническими, технологическими и органи­ зационными возможностями производства были заданы изме­ нения факторов (в сторону улучшения) и подсчитаны резервы снижения издержек производства и роста прибыли.

§ 4.5. Параболическая зависимость (многочлен n-ой степени)

Для более точного, достоверного отражения действительно­ сти в модели необходимо подобрать такую форму кривой, ко­ торая бы адекватно отражала связи между факторами. Если форма кривой неизвестна и нет сколько-нибудь обоснованной гипотезы о ней, то можно аппроксимировать эту связь много­ членом n-ой степени, считая его универсальной формой связи.

члены полинома, состоящие из произведений независимых пере­ менных, выражают влияние взаимосвязи факторов. Взаимосвя­ зи могут быть не только первой, но и второй, третьей и т. д. сте­ пеней. В качестве взаимосвязей могут рассматриваться произ­ ведения типа х\х?. Если не ограничивать степень полинома и

число членов, то можно аппроксимировать любую зависимость с любой степенью точности. Однако на практике обычно огра­ ничивают как степень полинома, так и число его членов:

а) в целях получения более или менее простой формулы; б) в отдельных случаях повышение степени полинома и увели­ чение числа его членов не приводит к быстрому и эффективно­ му повышению точности; в) при увеличении количества членов полинома до числа, равного числу наблюдений, кривая прохо­ дит через все точки и корреляционная зависимость становится функциональной, в которой учитываются не средние, а частные, случайные явления, при этом могут затушевываться основные принципиальные характеристики ситуации.

При аппроксимации многочленом n-ой степени каждый

46

сложный член полинома заменяют дополнительной условной переменной в первой степени и в дальнейшем аппроксимацию ведут по методике аппроксимации линейной зависимости (см. § 4.4). Уравнение (4.5.1) после введения дополнительных переменных

Необходимым этапом расчета является дополнение матрицы экспериментальных данных условными переменными (4.5.2). Матрица наблюдений после введения условных переменных имеет вид табл. 9.

Т а б л и ц а 9

Получив матрицу X, дополненную условными переменными, произведем аппроксимацию линейной зависимости. Преобразо­ вав формулу в соответствии с соотношениями (4.5.2), получим полипом заданной степени.

Так как уравнение обычно получается громоздким, то чрез­ вычайно важно знать, какие члены полинома можно оставить в формуле, а какие необходимо отбросить без ущерба для точно­ сти аппроксимации. Решить эту задачу можно двумя путями: а) от простого к сложному; б) от сложного к простому.

Аппроксимацию от простого к сложному производят после­

47