Файл: Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел.pdf

жества простых в каждой арифметической

прогрессии

вида a-\-mk, где т > 0, (а,

т) =

1 и k = l , 2, ... .

Покажем теперь, что дзета-функция Римана облада­

ет тем свойством, что

фО при tфO,

и использу­

ем

это

свойство

для доказательства

асимптотического

закона распределения простых чисел.

Асимптотический закон

распределения

простых чи­

сел

обычно

записывается

в виде

я (х )—

.V

( 1 )

l o g *

где л(х)

обозначает количество простых чисел, не пре­

восходящих х, а символ ~

означает, что п(х) / (x/\og х)-*-

—>1 при х—>-оо.

В гл.

VII мы показали,

что сотношение

(1) эквива­

лентно соотношению

l i m

^ =

l,

(2)

где

ф — функция

Чебышева.

Мы будем

доказывать

асимптотический

закон

распределения простых чисел

именно в этой форме.

Нам потребуется соотношение

_

(5)

_

с Г Ф(и) du

/о\

?(*)

J

*s+1

*

( )

которое

мы вывели в

§

4

гл. VII для действительных

s > l

в

качестве следствия

из формулы суммирования

Абеля. В

силу аналитического

продолжения формула

(3)

будет справедлива для

всех комплексных s с дейст­

вительной частью

а > 1 .

(Мы пишем,

как обычно,

s =

= o-\-it, где 0

, t действительные и i2=

— 1.)

Положим в равенстве

(3) и— ех. Тогда мы получим

оо

- - 7 7 7 =

.1

° > 1 .

(4)

St (S)

о

откуда мы выведем в дальнейшем,

что ф (е *)~ е ж,

или

tj? (л:) — л: при х—^оо.

Мы уже

видели, что £(s) является аналитической

функцией в полуплоскости 0 >О , за

исключением точки

s = l , где она имеет простой полюс с

вычетом

1, и

что

£(s)=#=0 при а > 1 . Докажем теперь,

что £(s)= £0

на пря­

мой а = 1 .

'

j

Теорема

(Адамар, Валле-Пуссен).

Если

0,

то

£(1+«)=*=0.

Доказательство.

При о > 1

log Б (s) = £

— — , 0 > 1,

(5)

"

mpms

m,p

n—2

f— ,

если п = pm,

Сп = \ m .

если п Ф рт.

{ 0,

Поэтому

log |£ (S) |=

Re ( 2 ^ - ) ,

§ 2.

Теорема Винерй — Икеары

167

где спТ^О, и так как

ns

•ri~lt =

nr

(cos (t log п) — i sin (t log n))>

n

TO

log I £ (s) I =

n=2

cos

lo§ n)■

Поскольку

c „ > 0

и 3 + 4 cos 0 + cos 20 = 2 (1 + cos 0)2 >

0

(6)

для всех действительных 0, то

log |£3(a)£4(a-H7) £(o

2if) |=31og |£(<r) |+

4 log |£ (a +

*7) |+

+

log 1£ (a +

2it) |=

=

^

(3 +

4cos (t log n) +

cos (21log n)) >

0.

Значит,

|C3 (a) £4 (o +

t‘0 £ (a +

2*7)1 >

1,

a > 1,

так что

1(<т-1)£(а)|3- £ (a + U) 4

£ (a + 2*7) |

(7)

a —

1

Покажем

теперь,

что

предположение £ (1 + /£ )= 0

при

t— t0=^0 приводит к противоречию.

Действительно,

если

мы в (7)

положим t— to, то при а -> 1 + 0 правая часть

168

Г л. XI. Асимптотический закон

при 0 ^ х < о о ,

и пусть интеграл

| А (х) e~xs dx, s — а -f

it,

U

сходится при

0 > 1 к функции f(s).

Пусть, далее, f(s)

чением точки s = 1, где она имеет простой полюс

с вы­

четом 1. Тогда

lime хА (х)

1.

х -* ° °

Доказательство.

Разобьем

доказательство теоремы

на две части. Положив

В(х) = е~хА (х),

(8)

мы докажем сначала, что для любого 1 > 0

%у

Hm j

в [ у —

^ ^ ~ d v

= я.

(9)

—со

Затем мы выведем из (9), что

limВ (х) = I.

(10)

Первая часть. Так как при а > 1

f ( s ) ^ A ( x ) e - xsdx,

-

l - ^

e - ^ xdx,

f(s) -----Ц =

Г (В (х) - l)e~is- l)x dx (а > 1).

s — 1

J0

Положим

g(s) = /(s )-------

Ц , gE(0 = g (l + 6 + 1’0 . 8 > 0-