Файл: Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел.pdf

луплоскости сг>0, если %ф%1. Если же а < 0 , то этот ряд,

очевидно, расходится. Его абсцисса_сходимости ао = 0,

а абсцисса абсолютной сходимости а = 1 . По теореме 4 функция L(s, %), %ф%и является регулярной аналити­ ческой функцией от s при а > 0.

(П) Если x = Xi> мы воспользуемся снова тождеством Эйлера

где р пробегает все простые числа. Поскольку каждый характер %является вполне мультипликативной арифме­ тической функцией, то по теореме 5 гл. VII мы имеем, для всех х тождество

Мы видели, что £(s) — мероморфная функция в полу­ плоскости сг>0, имеющая в качестве единственной особенности простой полюс при s = l С вычетом I. СлеДова^ тельно, L(s, xi) является регулярной функцией при а > 0 * за исключением точки s = l , где она имеет простой по­ люс с вычетом ft (1—р-1) = ф (от)/^ [см. гл. И, (1)'].

p)ni

ределить

k

Тогда функция log L(s, х) однозначно определяется в по­ луплоскости а > 1 равенством

p,k

где р пробегает все простые числа, a k — все положи­ тельные целые числа. Этот двойной ряд абсолютно схо­ дится при а > .1 . Далее, мы имеем

e1og£(s.X)= L(s, х).

Так как имеется только конечное число характеров х, мы можем изменить порядок суммирования и получить

Р,Ь X

л=1

где коэффициенты (ап) неотрицательны. Мы знаем, что этот ряд сходится при о > 1 . Для того чтобы найти его абсциссу сходимости, рассмотрим простые р, такие, что т. По теореме Эйлера (теорема 2 гл. II) мы имеем ph== 1 (modт), где /г=ф (/п ). Если мы рассмотрим ряд (11) для действительных s и возьмем только члены с

к—к, то получим

pjm

Поскольку ряд £ 1 1р расходится и сумма £ 1 /р конечна,

Р I т

отсюда следует, что ряд (И ) расходится при s = l /h . Следовательно, если а — абсцисса сходимости ряда Д т рихле Q (s), то aj^sl/к. Далее, мы имеем

Произведение двух сходящихся рядов Дирихле с неотри-

дательными коэффициентами будет снова рядом Дирих­ ле с неотрицательными коэффициентами, который схо­ дится в пересечении двух полуплоскостей сходимости ис­ ходных рядов. Следовательно, одновременно с Q(s) все степени Qn(s) сходятся абсолютно, так что ряд (12) для P(s) может быть записан в виде ряда Дирихле с неот­ рицательными коэффициентами.

Таким образом, если ряд Дирихле функции Q(s) схо­ дится, то ряд Дирихле функции P(s) также сходится. Об­ ратно, поскольку эти ряды имеют неотрицательные ко­ эффициенты, из сходимости ряда Дирихле функции P(s) для некоторого действительного s следует сходимость ряда Дирихле функции Q(s) для того же s.

Следовательно, ряд Дирихле функции P(s) одно­ значно определен и имеет ту же самую абсциссу сходи­ мости О о = а , что и ряд Дирихле функции Q(s). По тео­

Теорема 8 (Дирихле). Если т — положительное це­ лое число и (a, m) — 1, то существует бесконечно много

P