Файл: Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 83

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 4. Суммы четырех квадратов

49

о < у\ + у\ -I-

У1 + у\ <

4

( у

mo)2=

К

 

Но из (8 ) и (9) следует, что

 

 

 

 

 

 

у\ +

у\ 4

- yl + у\ =

0

(mod пг0).

 

 

Итак, мы имеем целые числа Xu yi

(i= l,

2 , 3,

4), для

которых

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Х\ -J- Хч -f- -T3 - |- А'4 = Ш0 р , /До * 4 Р у

 

И

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У\

У'2 ”1“ у'з ~г Уа — ///i mo> ^ ^ Д9 ^

 

Тождество (7)

дает нам четыре целых числа Z\,

z2, z3, z4,

такие, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zi + й

+ z3 +

г4 =

/До ml p.

 

(10)

Далее,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

4

 

 

 

 

4

 

 

Zi = S * 1 У1 =

£

*i (xi -

bi mo) =

И *? (modm0) =

t=l

 

£ = 1

 

 

 

 

/ = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

=

0 (mod m0),

 

и, аналогично,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2

= z 3 = Z 4 =

0 (mod m0) .

 

 

Следовательно,

Zi= m0ti, где

/г- — целые числа

при i =

= 1, 2, 3, 4. Подставляя эти значения Zi в равенство (10), мы получаем

 

///, р

=

t\ -f t\ 4- i\ + t\,

где 0 < m i< //io ,

что

противоречит минимальности /По­

следовательно,

/7?о=1

и

теорема 8 доказана.

4—870

ГЛАВА V

КВАДРАТИЧНЫЙ ЗАКОН ВЗАИМНОСТИ

§ 1. Квадратичная взаимность. Пусть р и q — различ­ ные нечетные простые числа. Тогда определены символы

Лежандра

j и

. Можно ли указать значение

J , если известно значение

j ? Квадратичный за­

кон взаимности Гаусса показывает, что это действитель­ но возможно.

Теорема 1 (Гаусс). Если р и q — различные нечетные

простые числа,

то

я— 1

 

 

 

 

 

2

Так как — (р— 1)- — (q— 1)есть

нечетное число тог-

2

 

2

 

да и только

тогда,

когда p = <7=3(mod4), теорему 1

можно сформулировать следующим образом:

( i ) -

если р = 9 =

3'(mod4),

 

 

 

я_

в противном

случае.

 

Р

 

 

Мы выведем квадратичный закон взаимности из фор­ мулы взаимности для некоторых тригонометрических сумм.

§2 . Формула взаимности для обобщенных сумм Га­

усса. Пусть т и п — ненулевые целые числа. Определим

обобщенную сумму Гаусса следующим образом:

\п\

nt— k2 -j- iiimk

 

g(m,n) = Yi e n

(1)

§ 2. Формула взаимности для обобщенных сумм Гаусса

51

Когда m четное, эта сумма представляет собой сумму Гаусса. Теорема 1 может быть выведена из формулы, связывающей g(m , п) и g ( —п, чп), которая устанавлива­ ется в следующей теореме:

Теорема 2. Если m и п — ненулевые целые числа,

го

1

,

ти

sgn (шл) 1

.

/ п .

. — - ( 1 - |т л |)

 

g(m,n) = e 4

■— zr g (—п>m),

(2 )

V I

 

 

У N

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

[r!\r\

при гфО

 

 

 

 

1 0

при г = §

 

 

Доказательство. В доказательстве мы будем пользо­ ваться интегрированием в комплексной плоскости. Рассмотрим интеграл

f(X )= f(X , x )= \ 0 (u )d u ,

(3)

с

 

где

 

.я(ти* + 2я iXu

(4)

Ф (») = Ф (и, Х) = Ф (и, X, т) = ■- —— -----.

Здесь и — комплексная переменная, X — произвольное комплексное число, т — комплексное число с положи­ тельной действительной частью, а С — прямая в комп­ лексной и-плоскости, проходящая через точку и = 1 / 2

и составляющая с положительным направлением дейст­ вительной оси угол я/4. Покажем сначала, что интеграл сходится. Для этого мы оценим функцию Ф в любой по­ лосе (конечной ширины), которая ограничена двумя прямыми, параллельными С. Если мы положим

u = c + r e W \

где с и г — действительные переменные величины, при­

чем величина с ограничена,

и

т = Re т +

П т т,

то

| ^Шти2+ 2л1Хи | g—я Im (ти- + 2Хи)

И

ты2 + 2Xu = h r2 + 2 е( П 1 > / 4 (тс X) г (тс + 2Х) с,

4*

52 Г л. V. Квадратичный закон взаимности

так что

\m(xu2 + 2Xu)

ет -г2 — 2\%с+ Х\ - 1г[ — [ (тс+2Х)с\.

Следовательно,

 

j е Л(’ти2+2я£Х ы | ^

g —яг2 Re т + я |т !-(са + 2|с/-|)+2я |Х1 ■(|q + ]r |) ^

 

< A e-m'2Rex + Blri,

(5)

где Л и В — постоянные, не зависящие от г.

 

Далее,

 

 

 

|

_ 1 1 > 1 1 _| е2л‘-“|1 = 1 1 -

пг|,

 

и если в указанной полосе |«|-^-оо,

то г-э-±оо, так что

при достаточно больших значениях |ы| мы будем иметь

 

|е2 я£Ы_

1 |>

_ А -> 0.

(6)

Тогда из (5) и (6 )

мы имеем в указанной полосе при

всех достаточно больших значениях |и|

 

 

|Ф(Ы)|<Л1елг2Кет + ви .

(7)

Следовательно, интеграл

\Ф(и)йи сходится.

 

 

 

 

с

 

 

Покажем теперь,

что g(m , п) при я > 0 является зна­

чением

интеграла

\Ф{и)йи

при подходящем

выборе

контура

у.

v

 

 

 

 

 

 

 

Пусть у — параллелограмм, образованный прямой С,

прямой С„, параллельной С и пересекающей действи­ тельную ось в точке п + 1 /2 , п > 0 , и прямыми Ь\ и Ь2,

лежащими в верхней и нижней полуплоскостях соответ­ ственно, параллельными действительной оси и отстоя­ щими от нее на положительном расстоянии (рис. 1 ).

Функция Ф(и) является мероморфной функцией пе­ ременного и, и, если контур у обходится в положитель­ ном направлении, мы имеем по теореме Коши о вычетах

|Ф (u)d u=

t enlTk' + 2niXk.

(8 )

V

k=\

 

Из (7) следует, что Ф(ы)->0 равномерно в полосе между параллельными прямыми С и Сп при |ы|->оо. Следова­

Смотрите также файлы