Файл: Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 47

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

и представим ее в виде суперпозиции отображений.

1

 

1C

— это однолистное и конформное отображение.

. w2= z —75-1

2

. w3 = ew2

— конформное во всей плоскости и однолистное

 

 

для областей, .

где

 

w2(i)— w2(2) Ф 2icki,

 

 

 

k = + 1 ; + 2 ; . . .

или

 

Z\ — z2 Ф 2icki.

3. Wi = — (

4- — ^ — однолистное в области, где

 

2

\

w3 /

w3(i) w3(2) Ф 1; w2(j) + w2(2) Ф 2тскі;

190

 

 

Zi +

z2

2ickl 4- тсі

(k

= ± 1;

±

2; .

. .)•

 

 

Конформность нарушается при

w3 =

±

,1;

w2 =

«nl;

 

 

 

 

 

*

I

ТШ1.

 

 

 

 

 

 

 

 

z “ T

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

w =

Wj e

— это всюду

однолистное '* и

конформное

отображение.

Оно осуществляет

поворот

 

i

 

wj на

 

плоскости

угол —

около точки Wi = ü.

 

 

 

 

 

 

Условиям

 

zj

— z2 =4=2itki,

 

 

 

 

 

 

 

 

Zi + z2 =4=2 rcki -f- я},

 

 

 

 

где

k= ±

l; ± 2 ; ...,

 

 

 

 

 

!

 

 

удовлетворяет любая горизонтальная полоса вида .

 

 

 

 

—

—

< Iniz < — 4- rn,

 

 

 

где

n = 0;

± 1 ;

± 2 ;

... .

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим полосу — < Imz < —- .

тс

1. W o == Z ----— І .

Это отображение сдвигает полосу на — і .

W o

ew2

отображает полосу на нижнюю полуплоскость lmw3< 0.

3.» - = 4 ( » . + ф а ) - '

Отображает полуплоскость lmw2<0 на плоскость мм с разре­ зами [—оо; —I], [ 1, оо].

т".

4л . w = w, еТ >

191

Поворот около Wi = 0 на угол

 

Ту

Тс

 

Итак, п о л о са ---- < Imz <

отображается функцией

ihz на плоскость ѵѵ с разрезами

 

 

 

1 < Im w < со , — оо < Іш w < — 1 , Re w = 0 .

б)

Функция w = chz = - 7-

(e z

---- \

 

2

1

в

Представим эту функцию в виде суперпозиции двух отоб­

ражений:

 

 

1 .

W! = ez.

 

 

Это конформное отображение, однолистное для областей, где

zi—z2^2nki

( k = ± l ; ±2; ...).

2 . ѵѵ

1

/

, 1

2

' W*

w,

 

192

Это конформное отображение,

если \Ѵ] ^ ± 1 или z ^ n n i. Оно

однолистное,

если

Wi(i)-Wj(2) ^

1

или 2 і-$-г2¥=2 лк'., где

 

 

k=

± 1 ; ± 2 , ...

Условиям

Z] — z2 = 2 іскі ,

 

 

 

Zi +

z 2 ф 2 Tckl

 

 

удовлетворяет любая горизонтальная полоса шириной я. Выберем полосу, где нет хочек япі:

О < Imz < іс.

1.Wi = е**

Отображает полосу на верхнюю полуплоскость.

2 w=4(wi+4)>

Отобразит верхнюю полуплоскость на плоскость w с разре­ зами [—оо; —1 ], [ 1 , ooj.

З а м е ч а н и е , Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции являются многозначными, и их ри-

193

мановы поверхности составляются из бесконечного множества экземпляров плоскостей.

Например, для w=A r chz Риманова поверхность состоит из бесконечного множества плоскостей z, склеенных по раз­ резам [—ОО; —1] и [1, оо].

ЛИТЕРАТУРА

1.

М а р к у ш е в и ч

А. И. Краткий курс теории

аналитических

функций. М., Гостехиздат, 1957.

 

2.

П р и в а л о в

И.

И. Введение в теорию функций комплексно­

го переменного. М., Гостехиздат, 1954.

комплексного

3.

Л у н ц Г. Л.,

Э л ь с г о л ь . ц Л. Э. Функции

переменного. М., Физматгиз, 1958.

 

4.

Ж е в е р з а е в В.

Ф., К а л ь н и ц к и й Л. А., С а п о г о в

Н. А. Специальный курс высшей математики для втузов. М., «Выс­ шая школа», 1970.

 

 

 

О Г Л А В Л Е Н И Е

 

 

Введение

 

 

 

 

 

3

Г л а в а

п е р в а я .

Комплексные числа и действия над ними

4

Г л а в а

в т о р а я .

 

Функции комплексного переменного

20

Г л а в а

т р е т ь я .

Предел и непрерывность функций

 

30

Г л а в а

ч е т в е р т а я . Рациональные функции комплексно­

44

го переменного

 

 

 

 

Г л а в а

п я т а я .

Основные

трансцендентные функции

58

Г л а в а

ш е с т а я .

 

Производная и дифференциал

. . .

66

Г л а в а

с е д ь м а я .

Интегрирование функции комплексного

81

переменного

 

 

 

 

Г л а в а

в о с ь м а я .

Ряды

 

 

107

Литература

 

 

 

 

195

 

Михаил Тарасович Попов,

 

 

 

Владимир Ильич Загибалов,

 

 

 

I Федор Ефимович Липнягов |

 

 

 

О С Н О В Ы Т Е О Р И И Ф У Н К Ц И Й

 

 

 

К О М П Л Е К С Н О Г О П Е Р Е М Е Н Н О Г О

 

 

 

 

 

(У чебн о е

пособие)

 

 

Ре д а к т о р Г. К. Гавриленко

Кор р екто р Л. А. Китаева

А Л 0 1 2 4 4 .

С д а н о

в набо р

2. I X .

73

г.

П о д п и сан о

в печать

4/II-7 4 г.

Ф о р м

бум аги 6

0 X 84 /1 6 .

О б ъ е м

12,25

п.

л.

З а к а з

243.

Т и р а ж 600

экз. Ц е н а

39

к

Т и п о гр аф и я «К р асн о я р ски й

рабочи й »,

г. К р а сн о я р ск ,

п р . М и р а ,

91.

 

Цена 39 коп.

Смотрите также файлы