Файл: Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 44
Скачиваний: 0
в этих точках. Расширенная плоскость г с разрезом вдоль по ложительной части действительной оси отображается каждой ветвью этой функции на один из секторов
|
2 іг |
. 2 іг |
|
— k < |
arg w < — (k - 1 ), |
где k= 0, 1 , 2 ..... |
(n—1 ). |
|
6. Показательная функция w = e*=exei>'
Примем, что z —oo-»-\v= oo. Выясним области однолистно сти. Если Ъ\ФЪ2, то ezi = ez2> при Z2=zi-j-2nki, где k = ± l ; ±2; ... . Значит, в области, где есть различные точки z\ и z2, отличающиеся на 2 які, однолистность отображения нарушает ся. Областями однолистности может служить любая горизон тальная полоса шириной 2я (рис. 50).
Если w = ре’? , то |
ре'* = ехе‘У, |
|
|
|
|
Р — ех, <р = у + 2як. |
|
|
|||
Если X — const, то р = |
const и прямые, параллельные оси ОУ, |
||||
переходят в окружности. Если |
у= const, |
то cp = const |
и пря |
||
мые, параллельные оси ОХ, |
переходят |
в |
лучи arg\v = cp |
||
(рис. 51). Если X изменяется |
в промежутке —оо<х<оо, а |
||||
у—в одном из промежутков 2я к < у < 2 я(к -Н ) |
[к = 0, |
1 , 2 , ... |
|||
(п—1 )], то р изменяется в промежутке |
0 < р < -Ь °°, |
а у — в |
|||
промежутке 2 як<ср<2 я ( к + 1 ), |
то есть каждая горизонталь |
||||
ная полоса шириной 2 я отображается на всю плоскость \ѵ с разрезом вдоль положительной части действительной оси.
177
|
|
Рис. 51. |
|
|
Верхняя граница |
полосы переходит в |
нижний край |
разреза |
|
(рис. 52), |
а нижняя — в верхний. |
Например, |
полоса |
|
— о о < х < о о ; |
0 < у < 2я отображается на всю плоскость с раз |
|||
резом по Rew >0, |
lmw = 0. При этом если у-»--(-0, |
то ф-М), |
||
т. е. нижняя граница переходит в верхний берег, а при у->-2я (р->2п, т. е. верхняя граница переходит в нижний берег раз реза. Любая горизонтальная полоса шириной л отображается
в полуплоскость. Полоса |
0 < у < л отображается в |
верхнюю |
полуплоскость (0 < ф < л ), |
а полоса л < ф < 2я — в |
нижнюю |
полуплоскость (рис. 53).
Полуполоса 0 < у < я , х<0 отображается на верхнюю часть
единичного круга |
J w | < 1; |
так как |
' |
w = ez = pei<f |
= ехеіу, |
т о 0 < р |
= ех < 1 , 0 < ф < 7 |
(рис. 54). |
|
|
|
178
Полуполоса 0 < у < я , |
х>0 |
отображается на внешность круга |
|
| w | > l , лежащего |
в верхней полуплоскости \ѵ, так как при |
||
этом 1 < р = е х < о о , |
0 |
< ф < я |
(рис. 5 5 ) . |
Для взаимно-однозначного отображения теперь пришлось бы построить Риманову 'поверхность с бесконечным числом экземпляров плоскостей.
12* |
179" |
7. |
Логарифмическая функция |
w = |
Lnz |
= |
ln|z/-}- i(argz-f- |
|||
+ 2 тск), |
|
|
|
|
|
|
|
|
где k = 0, ± 1 , ± 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
Эта функция обратна показательной. |
Она |
бесконечно |
||||||
значная. Для каждого к мы получаем |
ветвь Wk этой |
много |
||||||
значной функции. Считаем, что z |
|
w o ü |
и z |
|
o o |
w о о |
||
Каждая ветвь Wk этой функции |
отображает плоскость с раз |
|||||||
|
= 0 - * - |
= |
|
= |
- > |
= . |
||
резом по положительной части действительной оси |
(0 < | z | < |
|||||||
<оо, 0 < a rg z < 2 ii) на горизонтальную полосу |
|
|
|
|||||
— оо < ц = In \г\ < со ,
2itk < |
Imw = V < |
где k= 0; ±1; ±2; ... |
(рис. 56). |
J.У
2ir (k -f 1),
.tr
ѳ
|
|
21Г(к»0і |
|
|
/ / / / / / / //////// |
ш |
я . |
• 7 |
Zfrki |
|
|
w |
m , |
|
u |
|
I |
|
|
|
Рис. 56. |
|
|
Обход около точек z = 0, z —оо приводит |
от одной ветви |
||
функции к другой, и поэтому эти точки |
являются точками |
||
разветвления функции w = Lnz. |
|
|
|
Риманова поверхность этой функции состоит из бесконеч ного числа плоскостей z, склеенных по положительной части действительной оси.
8. Функция Жуковского * = т ( 2 + т )
Найдем условия однолистности этой однозначной функ ции.
Если zi Ф z2 , то w(z,) = w(z2),
180
|
Zi |
+' ~ |
= z2 -f — |
или |
|
Z i |
|
( Z l |
Z*) |
1 - |
0 , z,z2 = 1 . |
ZiZ2 |
Итак, если облгсть не содержит точек, связанных равенством Zj'Z2= l, то отображение однолистное.
ziz2= l тогда, когда |z,| = -Дл и argzi = —argz2 (рис. 57).
В частности, областями однолистности являются круг | z | < l
или круг | z j > l . Можно за область однолистности взять верх нюю полуплоскость lmz> 0 или нижнюю.
1
|
2 |
|
|
= 0, |
|
|
|
|
|
если Z — ± 1. Следовательно, |
отображение |
|||
і |
w |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
конформно всюду, |
кроме точек z = ± l . |
|||
Полагая z = |
re'?, w = |
u + |
vl, |
получим |
w = u + v i = ^ - |
I re» + |
- X - j |
= |
i _ c o s q , ^ r + - l j + |
+ 1Т 8Шф( г - т ) ;
13 Заказ 243 |
181 |