Файл: Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 45

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

U =

1

(

,

1

 

-jr-COS ф r

+ -

 

 

V = { s l n , ( r - L

Возьмем

в области

однолистности I z I < 1 окружность

I г I = r0<

I- Она перейдет в линию

 

 

 

U

 

 

 

(*)

или

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

4

 

 

 

 

Это уравнение эллипса.

1_

 

 

 

а

—

 

 

 

2

 

г0

 

 

 

_1

 

—оси эллипса

 

b =

 

 

 

2 г0

Го

с =]/<г2 — Ьа= 1 .

Фокусы эллипса находятся в точках (±1, 0) при любом значе­

нии г0. При г0<1 г0------- <0»Тогда из

(*) следует, что,

когда

Го

часовой стрелки,

эл­

окружность I z I = г0 обходится против

липс обходится по часовой стрелке. При г-И) а-*-оо и Ь-ѵсо, т. е. эллипсы увеличиваются при г—>-0, становясь все более близкими к окружностям. При г—*-!—0 а-*-1, Ь-»-0, т. е. стре­ мятся «выродиться» в отрезок [—1 , 1 ] (рис. 58).

Лучи ф= фо преобразуются в линии

СОЭфо

sin фо

182

Рис. 58;

или

COS2 ф 0

sin2 ф 0

Это уравнение гиперболы а = | cjos ф01, b = | sin tp01- Фокусы ги­ перболы— в точках (±1; 0). Итак, лучи ф= ф0 отображаются в гиперболы. Приходим к выводу, что круг '|z| < Г отобража­

ется w = — l^z-)—— j на всю плоскость w с разрезом [—1 ; 1 ]

однолистно и конформно. Верхняя половина окружности I z J = 1 переходит в нижний берег разреза, а нижняя — в верхний. Верхняя половина круга отображается на нижнюю полу­

плоскость,

а нижняя — на верхнюю.

Можно

также проследить, что круг | z | > l отображается

на всю плоскость w с разрезом по отрезку [—1 ; 1 ], но верх­

няя часть отображается на верхнюю полуплоскость, а ниж­

няя— на нижнюю (при | х | >1

г —• ~~

>0) .

Для функции

функция

w — z 4 - Y

z2 —

1 будет, об-

ратной. Эта функция двузначная. Точки z —±1

являются точ­

ками разветвления этой функции.

 

 

Обход вокруг только одной точки z = 1 изменит arg(z—1) на ± 2 я, a arg(z+l) не изменит, и поэтому мы приходим к другой ветви этой функции (рис. 59).

Точно так же обход около ъ——1 приводит к другой ветви. Обход же вокруг обеих точек Іи — 1 не приводит к новой вет­

ви. Риманова поверхность функции w = z + У" z* — 1 пред­ ставляет собой два экземпляра плоскости z, разрезанных по

13*

183

Рис. 59.*

'отрезку [ - 1 ; 1 J и склеенных так, что нижний берег разреза одного листа совмещен с верхним берегом разреза другого. Обход около точки I или —1 приводит к переходу с одного диета на другой этой поверхности, а обход около обеих точек приводит к листу, от которого начинался обход.

П р и м е р

1.

Отобразить

круг Jz | < 1

с разрезом

; 1 на

верхнюю полуплоскость.

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е

 

 

 

 

 

 

 

 

J. w , = i - ( z + - I

 

 

 

 

 

отображает

круг

| z | < 1

на всю

ПЛОСКОСТЬ \Ѵі

с

разрезом

[—1 ; 1 ], но у нас разрез

 

 

 

j -

(рис. 60).

2. Отобразим с помощью дробно-линейной функции

и W, +

b

область W, на плоскость ѵѵг с разрезом по

w2 = А ^

^

^

положительной части действительной

оси, при

этом, если

—1->0, то Ь= 1 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

, TO с =

 

5

 

 

 

 

 

—--- з> а з

— ——.

 

 

184

w2 А w, + 1

При

1 < w, <

Wj > 0 ,

поэтому A<0. "

Примем для простоты А= —1, тогда

W, =

W, + 1

5 W, - - J

185

П р и м е р 2 Отобразить полуполосу 0< lm z< n, Rez> 0 на полуплоскость lm w > 0.

Р е ш е н и е

1 . Wi = ez переводит полуполосу на верхнюю часть | wi | >l .

2. С помощью функции w, = а —-1—^ ^ ■ w, + с

отобразим область |w ,| >1, Іш\Ѵі>0 на первую четверть плос­ кости w2. 1-ѵО, —1 ->оо; тогда

b = —1 ; с = 1 ;

Рис. 61.

186

W ) — 1

w2 = а W! -f 1

Дуга круга |wi| = l перейдет в положительную часть мнимой

оси, а отрезки

[—оо; —1 ],

[ 1 ; с»] — в положительную часть

действительной оси, если

а

wi -

1 ^

п

------—г- >

U

 

 

 

 

wi і-

1

 

при \Vj>1

ИЛИ W ) < —1.

 

 

Тогда о > 0.

w,

 

 

W]

1

 

 

 

W] -f~

1

 

 

 

 

 

 

 

wt

1

V

. /

ez

 

 

Wi +

1

 

= ü 2 i

+

1

 

 

\

Примем a= 1, тогда

e2 - 1 у

w —

ez + J )

9. Тригонометрические функции

Рассмотрим функцию w = sinz.

л .

Это отображение можно представить в виде суперпозиции отображений:

л

W, -

(

я \ — однолистное

и конформное отображе-

1.

I z —

ние

 

2 .

w2 =

ewi

— конформное

во всей плоскости; одно-

•листное для любой горизрнтальной полосы шириной 2я

187

В области Wi(i) — wi(2) ф 2xki,

где

к = + 1 ; +■ 2;

—

отображение однолистное.

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

( Zl ~ ~ 2 ~ ) ! ~

 

 

~ ' i ' j і ¥ = 2 т . к І

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zi

Zf = 2 тгк.

 

 

 

3

w= — (w

-L -L\ ~~ это

отображение

однолпсиное

в об-

 

2

^ 2

1 w2 /

 

ласти,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

W2 (1 ) • W2(2 ) ф 1

 

 

 

 

 

 

 

или ewi(i)-ewi(2> =

ew‘0) + wi(a) ф j_

Тогда wj(i) -)- wi(2)

Ф 2 rki,

 

 

 

 

 

 

 

 

(^■i

2~j

1 +

(z 9 ----i ф 2 -ггkl,

 

 

 

 

 

zl “b Z2 ф 2 ггк -j- гг,

 

 

где

к = ± 1 ;

± 2 ; . . .

 

 

 

 

 

 

 

 

Отображение

 

I

t

 

1 \

 

 

 

 

 

w —— |^w2 + — J конформное, если w2 ф ± 1

ИЛИ

ew, ф

±

M

)

'

±

1;

 

 

 

 

 

1; e

 

Ф

 

 

 

 

 

( z ~ t )

1 ^

unl

(n = 0 ; ±

1 ;

±

2 ; . . .);

 

 

 

 

 

IC

+"TCn-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z Ф Y

 

 

 

 

 

 

 

Условиям Zl — z2=?^2nk,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zi—T- Z2 ф 2 itk -j-гг

(k

=

+

l; ± 2; . . .)

 

удовлетворяет

любая вертикальная

полоса

шириной я

вида

 

 

 

к п -----j

<

Re z <

~

+ зтп,

 

где

п = 0 ;

± 1 ;

± 2 ; ... .

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим, во что отобразится полоса

— ~ - < R e z < - ^ - .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

2і

188

—2 I

1.

Это сдвиг полосы иг с последующим поворотом на

Угол т .

2 . w2 = ewi отображает полученную полосу на нижнюю полуплоскость. Верхняя граница полосы переходит в Rewi>0,

Ітѵѵ, = 0, а нижняя — в Rewi<0, lmwi = 0 (см. п. 6, Показа­ тельная функция).

о

_ 1 /

, 1

\

отобразит полукруг | w2 |

<

1 ,

lmw2< 0'

Оф W — -^т-і

\Ѵ 2 “f“ ----

I

на верхнюю

полуплоскость,

a

I

w2 | > 1 ,.

 

1 \

w2/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Im w2 < 0 —

 

 

 

 

— на нижнюю полуплоскость.

 

 

 

Полуокружность

Iw21= 1 , Imw2 < 0

отобразится

 

на

интер­

вал

(—1,

1). Граница

lmw2= 0

отобразится

в

два

луча

[ — оо; — 1 ], [ 1 , оо],

так как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Uj -f~

 

1

LJ

+ 1

>

1 :

 

 

 

 

 

н

u<

> l;

т>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1 u2 I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u2 — 2 I u2 [

+ 1 >

О

 

 

 

 

 

 

при любом действительном ііг.

к

 

 

 

 

 

 

 

Итак, полоса —

т:

< Rez <

 

 

 

 

 

функцией

 

отображается

 

\v=sinz на плоскость \ѵ с разрезами [—со; —1], [ 1, оо]. Ана­ логично рассматривают отображение w=cosz (рис. 62).

10. Гиперболические функции

а) Рассмотрим функцию

ѵу

shz = ~ ( ez — i-

Введем вспомогательную функцию

 

w, = е

shz =

е

w

189

Смотрите также файлы