Файл: Данилов, Л. В. Электрические цепи с нелинейными R-элементами.pdf

2.26 пунктиром, будет уже иметь вольтамперную характеристику без горизонтальных и вертикальных участков.

Из условия 4 следует, в частности, что рассматриваемая цепь недолжна содержать контуров, составленных из одних индуктивнос­ тей, и сечений из одних емкостей.

Утверждение первое теоремы влечет за собой диесипативносгь. цепи относительно напряжений на емкостях и токов в индуктивнос­

тях.

Можно показать, что при доказательстве утверждения второготеоремы условие 4 можно отбросить. Невыполнение условия 4 иногда приводит к тому, что в некоторых реактивных элементах может быть накоплена сколь угодно большая энергия. Например,, две последовательные емкости могут быть заряжены до сколь угод­ но больших напряжений противоположного знака (см. также при­ мер 2.1). Однако это не будет влиять на выходные реакции i(t). Строгое доказательство этого факта довольно громоздко и потому не приводится.

Для доказательства теоремы 2.1 потребуется несколько лемм. Доказательство приводится полностью, так как, во-первых, оноиллюстрирует одну из основных идей данной книги — идею теоре­ тико-целевого подхода к решению качественных задач и, во-вторых,., является конструктивным. Последнее обстоятельство дает возмож­ ность получить эффективные оценки для амплитуды колебаний в- диссипативных цепях.

ком напряжения u(t) в произвольный момент времени t> 0, удов­

марная начальная энергия во всех реактивных элементах цепи. Доказательство этой леммы приведено в § 1.3.

Л е м м а 2.

Если линейный двухполюсник, входящий в цепь, нагрузить на" произвольный линейный резистор с сопротивлением то сопро­ тивление цепи, измеренное относительно точек присоединения лю­ бой из емкостей, имеет все полюса строго в левой полуплоскости. Аналогично проводимость цепи, измеренная в точках обрыва любой-

ветви, содержащей индуктивность, также имеет все полюса в левой полуплоскости.

Доказательство.

Рассмотрим линейную часть цепи как четырехполюсник, у кото­ рого входная пара клемм — это точки присоединения какой-либо- емкости цепи Си, а выходная пара клемм — точки присоединения резистора R. Пусть i, k= \, 2 — матрица г этого четырехпо­ люсника. Тогда его входное сопротивление равно:

2вх [Р) — 2 ц (р ) — Zi2 (р) Z21 (р)

г22 (р) + R

2Г

‘Функция zu(p) не имеет полюсов на мнимой оси согласно условию четвертому теоремы, поэтому таких полюсов не имеет и функция ■Zzi(p)- Полюса Z\z(p) сокращаются с полюсами Z2z(p)- Остается по­ казать, что нули функции Zn(p)+R не могут быть мнимыми. Пред­ положим противное и пусть р = 'т0 — нуль функции Zz2.(p)+R- Тог­ да Rez22(ico0) +R = 0. Так как R > 0, то Re^fkoo.)< 0 , что невоз­ можно в силу того, что Z2z(p) — положительная вещественная функция. Доказательство для индуктивностей совершенно анало­ гично.

Л е м м а 3.

Если, как и в лемме 2, рассмотреть отдельно линейный двухпо­ люсник, входящий в цепь, и нагрузить его в момент t = 0 на линей­

; /1> 0, т > 0, а > 0 — константы, не зависящие от

ARl c (O ).

Доказательство.

Пронумеруем все емкости и индуктивности цепи следующим об­ разом: Си С2,..., Ср, JLp+u Ьр+2,..., Lq. Пусть при t — О емкость Ch бы­ ла заряжена до напряжения U0k (k—\, 2,..., р), а через индуктив­

где ucui(t) — напряжение на емкости Си, вызванное разрядом ем­ кости Ci при нулевых начальных условиях в остальных емкостях и индуктивностях; uLuj — напряжение на емкости Си, вызванное осво­ бождением энергии индуктивности Lp+j при нулевых начальных условиях в остальных реактивных элементах.

Аналогично полный ток в индуктивности Lp+i при /> 0 равен

Uckl(t) И Uouj(t).

Найдем величину напряжения Ucuk(t). Очевидно, что изображе­ ние Ucuu(t) по Лапласу равно UCuk(p) = CuU0uZu(p), где zh(p) —

сопротивление цепи относительно точек присоединения емкости Си.

28

Так как в силу леммы 2, zk(p) не имеет полюсов на мнимой оси, то u-chh(t) равно:

y(t) — функция, определенная в условии леммы, причем в данном случае берем т — п.

Аналогично показывается, что оценка вида (2.9) имеет'место и для всех остальных составляющих правых частей (2.6) и (2.7). Разница лишь в том, что если оценивается напряжение или ток с индексом Cklt то в правой части (2.9) вместо CkUон следует напи­ сать CiUoh, а если индекс Lij, то вместо ChUok следует написать Lp+jloj. Кроме'того, коэффициенты В в (2.9) для каждого иСм, ииц, ten, i-uj имеют свое значение. Обозначим через В'т наиболь­ шее значение коэффициентов В во всех оценках напряжений и то­ ков. Тогда получаем следующие оценки для полных напряжений на емкостях и токов в индуктивностях:

р

k b i < 2 K « w I + 2 I‘W ()I'£

/= i

рq - p

(2. 10)

Рq—p

| i (t) | < Bmу (t) e~at ^ CiU<h + Ц V / /o/

i

Отсюда оцениваем энергию

< D B l f ( t ) e - 2atX

(2. 11)

29

Здесь для квадратных скобок в предпоследнем неравенстве исполь­ зовалось неравенство Буняковского:

Обозначая A=DB2mq; 2а — а и учитывая, что крайнее правое выра­ жение в (2.1,1) в квадратных скобках содержит WLc, получаем из (2.11) неравенство вида (2.5). Нужно только учесть, что ^ ( t ) отно­ сится снова к классу функций у (t), но с удвоенным показателем т. Тем самым лемма полностью доказана.

Доказательство утверждения 1 теоремы

Представив ср(7) в виде (2.3), будем считать, что в цепи содер­ жится нелинейный резистор с кусочно-линейной характеристикой R>(i), а напряжение источника равно u(t) —y(i) (по условиям 2 и 3 теоремы амплитуда этого источника ограничена). Если ток i в цепи известен, то известны и моменты времени tu 12,... перехода ра­ бочей точки с одного линейного участка вольтамперной характери­ стики R(i) на другой. Зафиксировав моменты времени ti, tz,—, бу­ дем рассматривать нашу цепь как линейную с переменным пара­ метром и покажем, что энергия в такой цепи ограничена констан­ той, не зависящей от начальных условий при любых режимах, в том числе и в случае протекания рассматриваемого тока /.

Каждый линейный участок tR(i) опишем с помощью выражения

Т — константа, точное значение которой будет определено ниже. Наконец, рассмотрим третью цепь, описываемую уравнением, являющимся разностью между уравнением первой цепи и уравне­ нием второй цепи. Иными словами, третья цепь отличается от ис­ ходной лишь тем, что имеет нулевые начальные условия и источ­ ник напряжения uz(t) — ui(t)—uz(t). Покажем, что цепь с источни­ ком u-z(t) диссипативна по отношению к энергии, накопленной в ре­

активных элементах.

Так как uz(t)=0 при (2k—[ ) T ^ t ^ 2 k T , k= \, 2,..., то при этих значениях t, в силу леммы 3, полная энергия Wlc(0 удовлетворяет неравенству

WLC(t)^ W LC[(2k— \)T]Ay[t — (2k— 1)Г]е-а ['~ <2*-1)7-]. . (2.12)

30