ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 68
Скачиваний: 0
204 |
ГЛ. И. ИНТЕГРАЛ |
ФУРЬЕ |
|
|||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
с о |
'3 |
i a |
- t , ^ |
|
|
1 |
, |
(11.16) |
^ е |
|
|
сах—тг |
"*|^2й, |
||||
|
2 e I X |
d i |
e |
l a x |
2 |
а' |
|
|
|
|
|
||||||
—с о
иискомым разложением в интеграл Фурье является
|
|
х3 |
|
1 • |
0 0 |
I |
|
|
|
|
|
е |
2 |
= |
\ е |
2 |
da |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ѵ2п |
—Jс о |
|
|
|
|
|
§ 6. Понятие |
о преобразовании Фурье |
|
||||||||
Перепишем |
формулу |
(11.15), |
заменяя |
а |
на |
—а, |
||||
в следующем виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
СО |
/ |
с о |
|
V |
|
|
|
И положим |
|
— с о |
\ |
— с о |
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- ^ г |
5 f(t)e™dt |
= F(a). |
|
(11.17) |
||||
|
|
|
— с о |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда, очевидно, будет |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
с о |
|
|
|
|
|
|
|
|
- ± = |
$ F(a)r*"d a = /(*). |
|
(11.18) |
||||||
|
|
— 00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
О п р е д е л е н и е . |
Переход от функции f (х) |
к функ |
||||||||
ции F (а), |
описываемый |
формулой |
(11.17), |
называется |
||||||
преобразованием |
Фурье функции, |
f (х). Часто преобразова |
||||||||
нием Фурье функции / (х) называется сама функция |
F (а). |
|||||||||
Обратный |
переход |
от функции |
F (а) к функции |
f (х), |
||||||
описываемый формулой (11.18), называется обратным преобразованием Фурье. Также обратным преобразова нием Фурье функции F (а) называется функция f (х).
П р и м е р . |
Вообще |
говоря, сами функции имеют мало общего |
с функциями, |
которые |
являются их преобразованиями Фурье. |
Одной из немногих функций, совпадающих со своими преобразо ваниями Фурье, является
§ 7. КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ |
205 |
В том, что для этой функции действительно
нас убеждает второй пример из предыдущего параграфа. В самом деле, в этом случае мы имеем
|
|
со |
|
со |
|
|
|
^а |
F |
(а) =-4=- |
[ f(t)eia'dt^-)= |
[ |
— U |
е~ |
* е^1 dt = |
||
|
Ѵ2п |
J |
V2n |
J |
Ѵ2л |
|
||
|
|
|
|
-co |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2я |
^ |
e |
2 |
eW |
dt, |
или, |
пользуясь |
формулой |
(11.16), полагая |
в ней х — 0 и заменяя |
||||
а на |
— а , получаем требуемое. Перечисление остальных функций, |
|||||||
совпадающих со своими преобразованиями |
Фурье, |
является более |
||||||
сложным делом, на котором мы не будем останавливаться.
|
§ 7. Косинус-преобразование |
Фурье |
|
|||||
Пусть |
f (х)— четная |
функция. |
Вспомним |
формулу |
||||
(11.12) |
|
|
со , со |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
/ (х) = 4 |
W [ f (t) cos at dt\cos |
axda, |
|
||||
|
|
|
о |
\o |
|
/ |
|
|
перепишем ее в виде |
|
|
|
|
||||
f(x) = y |
\ |
П | / |
- | J / (/) cos а / Л | cos «je da |
(11.19) |
||||
и положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
F (а) = |
§ f (t) cos at dt. |
|
(11.20) |
|||
Тогда (11.19) даст нам |
о |
|
|
|
||||
со |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f W = |
]A| |
\ F ( a ) cos axda. |
|
(11.21) |
||
|
|
|
|
|
о |
косинус-преобразование |
||
Формула |
(11.20) |
определяет |
||||||
Фурье четной функции f (х), приводящее к функции F (а),
также называемой косинус-преобразованием |
функции |
f(x). Формула (11.21) определяет обратное |
косинус- |
преобразование. |
|
206 |
ГЛ. II. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ |
§ 8. Синус-преобразование Фурье
Для нечетной функции j (х) мы можем сослаться на формулу (11.13)
со |
, со |
. |
f (х) — -|- ^ |
К |
f (t) sin at dt\sin ax da |
о\o
ипо аналогии с предыдущим определить синус-преобра зование Фурье
оо
о
и обратное синус-преобразование
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ (х) = |
|
|
^ ® ( а ) s ' n а х |
аа" |
|
|
|||||
П р и м е р . |
Рассмотрим функцию |
|
|
|
|
|
||||||
определенную |
только для |
х > |
0. |
Последнее |
означает, |
что мы мо |
||||||
жем, продолжая нашу |
функцию |
/ (*) |
на |
область отрицательных |
||||||||
значений по четности |
или |
по |
нечетности, |
найти |
как косинус-пре |
|||||||
образование этой функции, так и ее |
синус-преобразование. |
|||||||||||
Для "косинус-преобразования |
мы имеем |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
F |
(а) = |
" J / |
| - |
^ e-ß' cos at |
dt. |
|
|
||||
Вычисляя |
последний |
интеграл |
двукратным |
интегрированием |
||||||||
по частям (подобно |
тому |
как |
вычислялся |
интеграл |
в примере |
|||||||
в § 2), мы получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ß 2 |
+ c |
|
|
|
|
Аналогично для синус:инус-преобразования :этой функции-
§ 9. СПЕКТРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ |
207 |
§ 9, Спектральная функция
Положим
со
— со
Тогда
оо оо со
F{a)eiaxda |
= ^ |
J J f (t) e!a |
(x~() dt da. |
|
—со |
|
—со —оо |
есть |
f(x). Таким |
В силу (11.15) последний |
интеграл |
|||
образом, |
со |
|
|
|
f(x)= |
F (a) eiax da. |
|
(11.22) |
|
\ |
|
|||
|
—со |
|
|
|
С механической точки зрения функция е1ах |
при любом |
|||
значении а описывает некоторое гармоническое колеба ние. В соответствии с этим интегральное представление (11.22) функции f(x) можно понимать как представление описываемого этой функцией движения в виде бесконеч ной непрерывной системы независимых колебаний с раз личными частотами. Функция F (а) показывает при этом, с какой интенсивностью происходят колебания, соответ ствующие различным значениям а. Нетрудно проверить (это делается совершенно так же, как в § 11 главы 9 для случая рядов Фурье), что модуль |F(a)| есть амплитуда колебания, соответствующего данному значению а.
Функция F (а) называется спектральной |
функцией |
для исходной функции f(x). |
|
Николай Николаевич |
Воробьев |
ТЕОРИЯ РЯДОВ |
|
(Серия: «Избранные главы высшей математики для инженеров п студентов втузов»)
М., І973 г., 208 стр. с илл.
Редакторы А. С. Чистопольский, |
M. М. |
Горячая. |
|
Техн. редактор С. Я. |
Шкляр. |
||
Корректор Я. Б. |
Румянцева. |
|
|
Сдано в набор 23Д 1973 г. Подписано к печати 6/Ш 1973 г. Бумага 84ХІ08'/з2, тип. Лі 2. Физ.
печ л. 6,5. Условн. печ. л. 10,92. Уч.-пзд. л. 10,95. Тираж 35 ООО экз. T-007S3. Цена книги 38 коп.
Заказ 671.
Издательство «Наука» Главная редакция
физико-математической литературы 117071, Москва, В-71. Ленинский проспект, 15.
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинград ская типография Jfl 1 «Печатный Двор» имени
A.M Горького Союзполнграфпрома при Го
сударственном комитете Совета Министров
СССР по делам издательств, полиграфии и книж ной торговли, Ленинград, Гатчинская ул., 26.