ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 71
Скачиваний: 0
200 |
ГЛ. 11. |
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ |
||
П р и м е р . Разложить |
в интеграл |
Фурье нечетную функцию |
||
f (х), для |
которой |
|
|
|
|
|
если I X I < |
/, |
|
|
|
в |
противном случае |
|
(график |
этой функции см. на |
рис. 13) |
|
|
1-
/ \
1
-1-
X
|
|
|
|
|
Рис. 13. |
|
|
|
|
|
|||
Ясно, что функция / (*) |
ограничена, |
абсолютно |
интегрируема |
||||||||||
и удовлетворяет условиям Дирихле там, |
где это |
нужно. Перехо |
|||||||||||
дим к вычислению внутреннего интеграла |
|
в формуле |
(11.13). |
||||||||||
Мы имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
/ {а)=\ |
f (0 |
sin |
at |
dt=z\t |
sin at dt |
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
или, интегрируя |
no |
частям, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
i |
i |
|
|
|
I cos |
at |
, |
sin al |
|
/ (a) = |
—t |
cos |
at |
A |
\ |
cos |
at dt = |
- |
|||||
|
|
|
|
||||||||||
' |
a |
|
|
I |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) |
|
|
COal |
cos al |
— sin |
al sin ax |
da. |
|
|
|||
Эта' формула справедлива |
для всех значений х, за исключением |
||
х=± |
I. (Для х — ± |
I значение правой части формулы будет вдвое |
|
меньше значения ее |
левой |
части.) |
|
§ 5. КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ |
201 |
§ 5. Комплексная форма интеграла Фурье
Вернемся к интегральной формуле Фурье (формула (П.8))
СО , СО \
/ М = 2д S J /(0cosa(* - 0d*)d a (11.14)
— оо \—со /
и применим к имеющемуся в этой формуле косинусу формулу Эйлера:
|
cos а (х - 1 ) = \ |
(еіа |
|
+ |
е-'а'(*"<>). |
|||
Мы получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пх)==к |
СО у со |
|
|
|
|
, |
||
\ \ |
f(t)(eiaW |
+ |
|
|
e-*W)dt\da, |
|||
|
|
— СО \ — с о |
|
|
|
|
/ |
|
ИЛИ |
i |
S |
S nt)eia^dt\da |
|
|
|
||
/ W = = |
|
|
+ |
|||||
|
-со |
V—со |
|
/ |
со |
i |
со |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
+ |
й |
S |
|
S |
f(t)e-!^x-')dt\da. |
|
|
|
|
|
— OD \ — CO |
|
||
Здесь, |
как нетрудно |
убедиться |
подстановкой z —— ce, |
|||||
интегралы, стоящие в правой части, равны друг другу. Поэтому
|
|
СО |
, СО |
i |
|
П х ) |
= к |
\ |
\ f(t)eia(X-t] |
dt\da. |
(11.15) |
|
|
— ce \—оо |
/ |
|
|
Полученная |
формула |
называется разложением функ |
|||
ции f (х) в интеграл |
Фурье в комплексной |
форме. |
|||
Пр и м е р ы .
1.Найдем интеграл Фурье в комплексной форме для уже рассмотренной нами в § 3 функции
Г1 д л я | * | < / ,
' 1 ' \ 0 для \х I > I.
202 |
ГЛ. II. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ |
В этом случае вычисление внутреннего интеграла п правой части формулы (11.15) дает нам
I |
I |
' |
|
\ e ' a i - v ~"d(= - |
Lei'a< |
-, JL (еіа ix-h eia |
ix+ln _ |
|
|
—i |
|
|
|
eiax gial g-ial |
eiax |
|
|
|
2 sin al. |
Поэтому формула (11.15) приобретает в данном случае следую щий вид:
1 С È L ^ e i a x d a
2. Разложим в интеграл Фурье в комплексной форме функ- _ £f
цию f(x) — e 2 (см. рис. 14). f(X)
ОX
Рис. 14.
Мы имеем
с о |
/» |
со |
(t |
с |
о |
; г |
( а ( |
|
|
- |
_ |
і _ _ |
|||
^ g |
"2 giaix-t, d t = ^ |
|
— ~ + iax—iat |
|
fi |
2 |
dt= |
е2
-op
со |
tax~ |
f |
-Itf+ia), |
|
dt.
Последний интеграл является функцией от а. Обозначим его через /(а) и вычислим его. Мы имеем
/(а) = J |
dt= lim \ е |
— 00
или, делая подстановку
(-{-іа = г,
мы получим
/ (а)= lim |
\ е |
dz. |
-A+la
§ 5. КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ |
203 |
Продифференцируем это тождество по а. Ввиду того, что сходимость к пределу является по а равномерной в любом конеч ном промежутке, дифференцирование под знаком предела законно. Мы имеем
d |
|
|
'4- |
А + |
іа" |
, |
/ (а) = |
lim |
[ |
е |
2 * dz. |
||
da |
; |
A-*œ |
da |
J |
|
|
|
|
|
|
— A~+ia |
|
|
Выполняя дифференцирование интеграла по верхнему и нижнему пределам, мы получаем
1 ( а ) = |
hm \іе * |
—ie 1 |
j t |
da, |
A-+03 |
|
|
a вспоминая формулу (7.14) и переходя к пределу, будем иметь
^ / ( а ) = 0. |
. |
Следовательно, первообразная функция должна быть постоянной:
/ (а) = const.
В частности, должно быть
/ ( а ) = / ( 0 ) .
Вычислим интеграл / (0). Запишем |
его для этого дважды: |
|||
со |
_ * ! |
|
со |
_УІ |
/ ( 0 ) = $ е |
2 dx, |
/'(0)= |
$ |
е 2 dy, |
—со |
|
—со |
|
|
и перемножим почленно эти равенства. Мы получим
со |
СО |
• |
оо |
со |
+ |
/2(0)= J е |
2 dx 5 е |
2 <ty = |
j |
5 е |
2 d * йУ- |
— со |
— 0 0 |
|
—оо—оо |
|
|
Переходя в двойном интеграле к полярным координатам, мы имеем
2я , оо n , |
ѵ |
\ |
со |
п , |
|
2я |
p« |
|
0 0 |
p« |
|
<Іф = |
|
" < 0 ) i ü |
|
|
|
|
|
|
|
У |
о ' |
' |
о |
||
= 2 я | — e 2 | j = 2re,
откуда
/ ( 0 ) = " ^ .