Файл: Воробьев, Н. Н. Теория рядов учеб. пособие.pdf

Скачать файл (5,30Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 67

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ

193

§ 2. Простейшие достаточные условия представимости функции интегралом Фурье

Пусть функция f(x), определенная на бесконечном промежутке ( — с о , +оо), удовлетворяет следующим усло виям:

1) существует несобственный интеграл

1 \f(x)\dx=Q

(это свойство функции f (х) называется ее абсолютной интегрируемостью);

2) в любом конечном сегменте функция / (х) разлага ется в ряд Фурье (практически достаточно потребовать, чтобы функция в любом конечном сегменте удовлетворяла условиям Дирихле).

При соблюдении этих условий мы можем рассуждать следующим образом.

Фиксируем некоторое произвольное / и напишем раз

ложение функции	f(x) в ряд Фурье в сегменте	[—/, / ] :
	со
fw=!+	2 ( û « c o s ^ * + M i n ™ * ) ;	( п . з ) .
	n=l

где коэффициенты определяются по формулам (11.2). Ясно, что при этом коэффициенты ап и Ьп зависят не только от функции f (х), но и от параметра / (значение / фигурирует в пределах интегралов в формулах (11.2)).

Подставим теперь в ряд (11.3) выражения для коэф фициентов, даваемые формулами (11.2). Мы получим

f M = 4 \ fWdt+2		{{тІ f(t)™s^tdt)cos^x +
- l	n=l	W - I	J

+ U J / ( O s i n ^ / A i n f X

194		ГЛ.	11.	ИНТЕГРАЛ		ФУРЬЕ
ИЛИ
/ ( * ) = 4 5		f(t)dt+
-I
со		I		П 1		ПП ,- . ПК , . ЛЯ \ ,,
. I V		f t / л /		П 1		ПП ,- . ПК , . ЛЯ \ ,,
+ у У		\ f (t)l	cos-jt c		o	s х + sin у г! sin-у xjdt
n =		l—l
или
		/		оо	I
f ( * ) = 4	$	f(t)dt	+	j 2	§	f(t)cosf(x-t)dt.
	—I			n=\—l

Вводя зависящую от n переменную a„ = a:

	ЯЯ						1Л 1 1!
	т	=	а„ =	а,			(11.4)
и полагая
«fi+i — « я =	( я + 1 ) я			ял	Я	=	д
«fi+i — « я =		z		7- =	T	=	A a ,
имеем
'	со	/	г				V
f ( * ) = 4 [fWdt + l	2		^ f ( O c o s a n ( ^ - 0 ^ Да.
— /	л =	1 V—.					/
							(11.5)
По мере возрастания		/	интеграл
I
^	f (t) cos a (x — t) dt
— i

все меньше отличается от несобственного интеграла

го

$ f (t) cos a(x — t) dt.

— 00

Кроме того, сумма, стоящая в правой части формулы (11.5), напоминает интегральную сумму. В ней с ростом / число слагаемых увеличивается, а каждое слагаемое уменьшает свой «удельный вес». Поэтому естественно предполагать, что при возрастании / эта сумма в (11.5)

§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ

1 9 5

)

стремится

к интегралу по а:

со /

со

f (t) cos а (х-1)

dt)da.

О \—со

Далее,

первое

слагаемое в (П.5) справа по мере

роста / стремится к нулю. В самом деле,

±Л

f(t)dt

< 1

Ç | f ( 0 | d ^ l Q - 0 .

— /

Таким

образом,

пределе,

при / - >оо ,

формула

(11.5)

превращается

в следующую:

со

f ( x ) = | j

\ f {t) cos а {х-t)dt\da.

(11.6)

Ѵ_ со

Эта

формула

называется

интегральной

формулой

Фурье,

а стоящий

в ней интеграл — интегралом

Фурье.

Представление функции

виде

правой

части

формулы

(11.6)

обычно

называется

разложением

этой

функции

в интеграл

Фурье.

Ясно,

что

все

только что сказанное

здесь

касалось

только

тех точек

х,

в которых функция

непрерывна.

-Для точек разрыва / справедлива,

как и в случае ря

дов Фурье, интегральная формула, описывающая полу

сумму пределов функции справа и слева:

flx+0)+Hx-0)_j_

г / л с 0 8 с ф _ г ) # Ы а .

(11.7)

Итак, мы приходим к формулировке

следующей тео

ремы.

Если

функция

f(x)

на беско

Т е о р е м а

Ф у р ь е .

нечном

промежутке

(—оо, +оо) является

ограниченной

и абсолютно

интегрируемой,

а в каждом конечном

про

межутке

удовлетворяет

условиям

Дирихле,

то

для

любого x имеет место равенство (11.6), если х есть

точка

непрерывности

функции

f(x),

и равенство

(11.7),

если x

есть

точка

разрыва

этой

функции.

196	ГЛ. 11. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Заметим,	что в формуле (11.6) внутренний	интеграл
представляет	собой некоторую функцию от а.	Так как
эта функция	зависит не от самой переменной	a, a от

ее косинуса, она должна быть четной. Поэтому мы мо жем формулу (11.6) переписать в следующем виде:

со / со \

f(x) = %ï Ç \ ! (О cos а ( х - О Л) da. (11.8)

— СО ^— СО '

Мы привели правдоподобные соображения в пользу справедливости теоремы Фурье, которые, разумеется, нельзя считать ее доказательством. Доказательство тео ремы Фурье довольно сложно и выходит за пределы нашего курса.

П р и м е р . Пусть

(е - *, если * > 0 ,

ѵ\0, если x < О

(график функции f (х) изображен на рис. 11).

f(X)

	0	X
	Рис. 11
Очевидно, что при любом		* > 0
	е ~ * < ; 1
и
со	со	со

\\f(x)\dx=\e-xdx=—e-x\=l.

— со

Следовательно, функция f (х) в промежутке (—со, +оо ) является ограниченной и абсолютно интегрируемой.

§ 3. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ДЛЯ ЧЕТНЫХ ФУНКЦИИ

197

Кроме того, функция ё~х монотонно убывает, и потому функ ция f(x) тривиальным образом удовлетворяет условиям Дирихле.

Из сказанного следует, что, согласно теореме Фурье, функция f (х) разлагается в интеграл Фурье согласно формуле (11.6). Выпи шем это разложение в явном виде (т. е. без внутреннего интеграла, стоящего в правой части этой формулы).

Мы имеем в рассматриваемом случае

	со			со
1 (x, а) =	j	f (t) cos a (x — t) dt=			J e~l cos a (x — t)	at,
	— CO			—CO
или, производя дважды			интегрирование по частям,
			со		со
/ (*, а) =	— е - ' cos a (x — t) \|			+ a	j е ч sin a (x—t) dt	=
			CO		CO
=cos ax — ae4		sin a (x — t) j — a 2			^ e~l cos a (x—t) dt=
				= cos ax-j-a sin ax—a2/		(x, a).
Отсюда следует, что
	/ (x, a) =		( c o s a * + a s i n a x ) -

Значит, формула (11.6) приобретает в этом случае следующий вид:

со
. . . 1 f	cos ах+a sin ах ,
fW = n\	І Т ^	d a -

§ 3. Интеграл Фурье для четных функций

Заметим, прежде всего, что при любом a

I cos	at\^l,
так что
I	t

\ |/(0cosfa|df< \ \ f{t)\dt.

Следовательно, если функция f(x) абсолютно интегри руема на бесконечном промежутке (— со, + оо), то

198 ГЛ. П. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

несобственный интеграл

со
$ fW) cos at dt	(11.9)
— со

существует. В силу аналогичных причин существует при любом а и несобственный интеграл

со
5 f(ffsinatdt.	(11.10)

— 00

Вспоминая, что

cos а (х — t) — cos ах cos at + sin ax sin at, перепишем формулу (11.6) в следующем виде:

СО , СО

f(x)=~ ^ f ^ / (t) cos at dt\tos ах da +

О V-OD		/
СО /	СО	1
+ І § (	§	/(0 sin of Л ) sin а* da.	(11.11)

Предположим теперь, что функция / (х) четная. Тогда четными должны быть все функции вида / (t) cos at и нечетными — все функции вида f{t)s'mat. Следова тельно, в этом случае все несобственные интегралы (11.10) обращаются в нуль, а для каждого из несобст венных интегралов (11.9) мы можем написать

СО	ОО
$	/ (/) cos at dt == 2 \ f (t) cos at dt.
- c o	О

Таким образом, в случае четной функции f (х) фор мула (11.11) может быть переписана как

СО /ОО " .

î{x) = ~ Ш	/ ( * ) c o s a / Ä ] c o s a * d a . (11.12)
О \ 0	v	/

П р и м е р . Разложить в интеграл Фурье четную функцию f (х),

где

f r x ) = ! 1'

е с л и

\ 0 в противном случае (график функции f (х) см. на рис. 12).

§ 4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ДЛЯ НЕЧЕТНЫХ ФУНКЦИИ

199

То, что функция / (х)		ограничена,		абсолютно интегрируема
в бесконечном промежутке		и	удовлетворяет		условиям	Дирихле
в любом конечном	сегменте,	проверяется		без	труда.
	f(X)
	9		/	9
				9
				i
	1			i
	I			i
	i			i	X
	-/		О	L	X
	-/		О	L
		Рис. 12.
Следовательно,	требуемое		разложение в		интеграл	Фурье су
ществует. Для его нахождения вычислим
оо			i

^ / (0 cos at dt = ^ cos at dt =-^- sin al.

оо

Таким образом, искомым разложением является

со

, . . 2 f f(x)= — \

я j

sin aï	cos ax da.
a


Эта формула	справедлива	для	всех значений х,		за	исключением
А - = ± ( . В этих двух исключительных				точках	интеграл Фурье
принимает значение, равное 1/2.
§ 4. Интеграл Фурье			для нечетных		функций
Если функция f (х)		нечетная,		то нечетной же будет
и функция	f (t) cos at	й	четной — функция			f (t) sin at.