ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 66
Скачиваний: 0
ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ И СТУДЕНТОВ ВТУЗОВ
H. Н. ВОРОБЬЕВ
Т Е О Р ИЯ Р Я Д О В
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ
|
Допущено |
Министерством |
|
||
высшего |
и среднего специального |
образования |
СССР |
||
в |
качестве |
учебного |
пособия для студентов |
|
|
высших |
технических |
учебных |
заведений |
|
|
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
М о с к в а
517.2 В 75
УДК 517.5
J4 IZ-UffO
&1Ь
Теория рядов. В о р о б ь е в Н. Н., Главная ре дакция физико-математической литературы нзд-ва «Наука», 1973.
В книге излагаются числовые ряды, функцио нальные ряды, степенные ряды и ряды Фурье. Курс составлен в точном соответствии с разделом «Ряды» программы по высшей математике для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений. Поэтому его можно использо вать не только как учебное пособие для слушате лей курса лекций, но и при самостоятельной работе над предметом,
Илл, — 14
0223-1730 2 5 . 7 3 042(02)-73
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
Г л а в а |
1. Прогрессии |
|
|
|
|
|
|
- 9 |
||
§ 1. |
Введение |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
§ 2. |
Геометрические |
прогрессии |
|
|
|
11 |
||||
§ 3. |
Бесконечные прогрессии; их сходимость и расхо |
|
||||||||
|
димость |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
§ 4. |
Функциональные |
прогрессии; |
область |
сходимости; |
|
|||||
|
равномерная |
сходимость |
|
|
|
|
14 |
|||
§ 5. |
Почленное |
интегрирование прогрессий |
|
16 |
||||||
§ 6. Почленное дифференцирование прогрессий |
18 |
|||||||||
§ 7. Прогрессии с комплексными членами |
|
20 |
||||||||
Г л а в а |
2. Числовые ряды. Основные понятия. Основные |
|
||||||||
|
теоремы о сходимости |
|
|
|
|
24 |
||||
§ 1. Сложение и его свойства |
|
|
|
24 |
||||||
§ 2. |
Определение |
числового |
ряда и его сходимости . . . |
25 |
||||||
§ 3. |
Остаток ряда |
|
|
|
|
|
|
|
28 |
|
§ 4. |
Принцип сходимости Коши |
|
|
|
29 |
|||||
§ 5. |
Критерий |
Коши |
сходимости |
рядов |
|
|
32 |
|||
§ 6. |
Необходимый |
признак |
сходимости |
ряда |
33 |
|||||
§ 7. Желательность систематической теории |
|
34 |
||||||||
§ 8. |
Свойства сходящих рядов, подобные свойствам сумм |
35 |
||||||||
§ 9. Дальнейшие свойства рядов |
|
|
|
43 |
||||||
Г л а в а |
3. Ряды с положительными членами |
|
46 |
|||||||
§ 1. |
Признаки |
сходимости рядов |
|
|
|
46 |
||||
§ 2. |
Признаки |
сравнения |
|
|
|
|
47 |
|||
§ 3. |
Интегральный |
признак |
сходимости |
Маклорена — |
|
|||||
|
Коши |
|
|
|
|
|
|
|
|
54 |
§ 4. |
Применение |
интегрального |
признака |
сходимости |
56 |
|||||
1* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
|
|
|
|||
§ 5. Признак сходимости Даламбера |
|
|
|
60 |
|||||||
§ 6. Признак сходимости Коши |
|
|
|
|
63 |
||||||
§ 7. |
Чувствительность признаков сходимости Даламбера |
|
|||||||||
|
и Коши |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64 |
§ 8. |
Сравнительная оценка различных признаков схо |
|
|||||||||
|
димости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
66 |
Г л а в а |
4. Знакопеременные |
ряды |
|
|
|
|
69 |
||||
§ 1. |
Абсолютная сходимость и условная сходимость . . . |
69 |
|||||||||
§ 2. |
Абсолютная |
сходимость |
и |
расходимость |
|
70 |
|||||
§ 3. |
Возможность переставлять члены в абсолютно схо |
|
|||||||||
|
дящихся |
рядах |
|
|
|
|
|
|
|
73 |
|
§ 4. |
Условно |
сходящиеся |
ряды . . . |
|
|
|
74 |
||||
§ 5. |
Умножение |
абсолютно |
сходящихся' |
рядов |
|
76 |
|||||
§ 6. |
Признак |
сходимости |
Лейбница |
|
|
|
79 |
||||
§ 7. |
Существенность |
условий |
признака |
сходимости |
|
||||||
|
Лейбница |
|
|
|
|
|
|
|
|
81 |
|
Г л а в а |
5. Функциональные |
ряды |
|
|
|
|
83 |
||||
§ 1. |
Определение |
функционального ряда |
|
|
83 |
||||||
§ 2. |
Область |
сходимости |
функционального ряда . . . . |
84 |
|||||||
§ 3. |
Сходимость |
последовательности функций. Основные |
|
||||||||
|
определения |
|
|
|
|
|
|
|
|
87 |
|
§ 4. |
Предел |
последовательности |
непрерывных |
функций |
93 |
||||||
§ 5. |
Переход к пределу под знаком интеграла |
|
94 |
||||||||
§ 6. |
Переход |
к пределу |
под |
знаком |
производной . . . |
96 |
|||||
§ 7. |
Определение |
равномерной |
сходимости |
функцио |
|
||||||
|
нального ряда и признак Вейерштрасса |
|
97 |
||||||||
§ 8. |
Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда |
|
|||||||||
|
с непрерывными |
членами |
|
|
|
|
99 |
||||
§ 9. |
Почленное интегрирование |
функциональных рядов |
100 |
||||||||
§ 10. |
Почленное |
дифференцирование |
функциональных |
|
|||||||
|
рядов .' |
|
|
' |
|
|
|
|
|
- |
101 |
Г л а в а |
6. Степенные ряды. Общие вопросы |
|
104 |
||||||||
§ 1. |
Определение |
степенного |
ряда |
|
|
|
104 |
||||
§ 2 . |
Теорема Абеля |
|
|
|
|
|
|
|
105 |
||
§ 3. |
Круг сходимости |
ряда |
|
|
|
|
|
107 |
|||
§ 4. |
Вещественный степенной ряд и его интервал схо |
|
|||||||||
|
димости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
109 |
§ 5. |
Равномерная сходимость ряда в круге его сходимости |
110 |
|||||||||
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
5 |
§ 6. |
Вещественные ряды |
111 |
§ 7. |
Комплексные ряды |
113 |
§ 8. |
Разложение функций в степенные ряды |
114 |
§ 9. |
Формула Тейлора . .. |
115 |
§ 10. |
Ряды Тейлора и Маклорена |
117 |
Г л а в а |
7. Степенные ряды. Примеры и приложения . . . |
122 |
§1. Разложение функции ех в ряд Маклорена . . . . 122
§2. Разложения в ряды Маклорена гиперболических
функций ch х и sh х |
123 |
§3. Разложения в ряды Маклорена тригонометрических
функций cos X и sin X : |
, |
123 |
§4. Показательная функция с комплексным значением
показателя |
124 |
§ 5. Формулы Эйлера |
128 |
§6. Тригонометрические функции от комплексного
значения аргумента |
129 |
§7. Гиперболические функции от комплексного значе
ния аргумента |
130 |
§8. Вычисление значений функций при помощи ряда
|
|
Маклорена |
|
|
|
|
|
|
|
130 |
§ |
9. |
Биномиальный |
ряд |
|
|
|
134 |
|||
§ |
10. |
Приложения |
биномиального ряда |
|
137 |
|||||
§ 1 1 . |
Разложение |
в |
ряд |
Маклорена |
логарифмической |
|
||||
|
|
функции |
|
|
|
|
|
|
|
137 |
§ |
12. |
Приближенное |
вычисление определенных интегра |
|
||||||
|
|
лов при помощи |
степенных рядов |
|
139 |
|||||
§ |
13. |
Приближенное |
интегрирование |
дифференциальных |
|
|||||
|
|
уравнений при помощи степенных рядов |
|
141 |
||||||
Г л а в а |
8. Ортогональные |
и |
ортонормальные |
системы |
|
|||||
|
|
функций |
|
|
|
|
|
|
|
144 |
§ 1. Проекции и разложения векторов |
|
144 |
||||||||
§ 2. |
Векторы и функции |
|
|
|
152 |
|||||
§ 3. Нормированные и ортогональные функции |
|
153 |
||||||||
§ 4. Ортогональные и нормированные системы |
функций |
154 |
||||||||
§ 5. |
Нормировка |
систем функций |
|
|
Ï56 |
|||||
§ 6. |
Разложение |
по системам функций |
|
157 |
||||||
6 |
|
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Г л а в а |
9. Ряды |
Фурье |
159 |
|
§ |
1. |
Ряды и |
коэффициенты Фурье |
159 |
§ |
2. |
Условия Дирихле и теорема о разложении функции |
|
|
|
|
в ряд Фурье |
162 |
|
§ |
3. |
Разложение периодических функций в ряд Фурье |
163 |
|
§4. Физическое истолкование разложения функции в.
|
|
тригонометрический |
ряд Фурье |
|
165 |
||||
§ |
.5. Разложение |
функции / |
(х)=х |
|
166 |
||||
§ |
6. |
Сдвиг сегмента разложения |
|
168 |
|||||
§ |
7. |
Изменение |
длины сегмента разложения |
171 |
|||||
§ |
8. |
Четные и |
нечетные |
функции |
|
173 |
|||
§ |
9. |
Разложение |
четной |
функции в ряд |
Фурье . . . . |
174 |
|||
§ |
10. |
Разложение |
нечетной функции в ряд Фурье . . . |
174 |
|||||
§ |
11. |
Разложение в ряд Фурье функций на сегменте [0, я] |
175 |
||||||
§ |
12. Комплексная форма записи ряда Фурье |
177 |
|||||||
§ |
13. |
Разложение в комплексный ряд Фурье |
179 |
||||||
Г л а в а |
10. Уравнение свободных малых колебаний струны |
|
|||||||
|
|
с закрепленными концами |
|
181 |
|||||
§ |
1. |
Уравнение свободных малых колебаний струны |
181 |
||||||
§ 2. |
Начальные |
и |
|
граничные |
условия |
|
183 |
||
§ 3. Метод разделения переменных |
|
184 |
|||||||
§ 4. |
Использование |
граничных условий. |
Собственные |
|
|||||
|
|
функции и |
собственные |
значения |
|
186 |
|||
§ 5. Использование начальных условий |
|
187 |
|||||||
Г л а в а |
11. Интеграл |
|
Фурье |
|
|
|
191 |
||
§ 1. Представление функций интегралом Фурье |
191 |
||||||||
§ 2. |
Простейшие |
достаточные |
условия представимости |
|
|||||
|
|
функции интегралом |
Фурье . |
|
193 |
||||
§ |
3. |
Интеграл Фурье для четных функций |
197 |
||||||
§ 4. |
Интеграл Фурье для нечетных функций |
199 |
|||||||
§ |
5. |
Комплексная |
форма интеграла Фурье |
|
201 |
||||
§ |
6. Понятие о преобразовании Фурье |
|
204 |
||||||
§ |
7. |
Косинустпреобразование |
Фурье |
|
205 |
||||
§ |
8. |
Синус-преобразование Фурье |
|
206 |
|||||
§ 9. |
Спектральная |
функция |
|
|
207 |
||||
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данный курс составлен в точном соответствии с раз делом «Ряды» программы по высшей математике для ин женерно-технических специальностей высших учебных за
ведений. Поэтому его можно использовать |
не |
только |
||
как пособие для слушателей курса лекций, |
но |
и |
при |
|
самостоятельной работе над предметом. |
|
|
|
|
Основной |
опасностью при изучении теории рядов ав- , |
|||
тор считает |
вульгарное представление о |
ряде |
как |
|
о «сумме бесконечного числа слагаемых». Поэтому он принял против него все возможные профилактические меры, жертвуя иногда ради строгости наглядностью из ложения.
Напротив, в согласии с обычной практикой прохожде ния курса теории рядов, обоснование интегральной фор мулы Фурье проводится при помощи нестрогих, правдо подобных («эвристических») рассуждений, а доказатель ства теоремы о дифференцировании, степенных рядов в комплексной области и теоремы Дирихле о разложении в ряд Фурье опущены вовсе. Уравнение свободных малых колебаний струны с закрепленными концами и его решение методом Фурье, относимые некоторыми вариантами учебных программ к разделу «Ряды», выде лены в самостоятельную главу.
Некоторым отклонением |
от |
традиции |
является гла |
|
ва 1, в которой |
на примере |
геометрических прогрессий |
||
демонстрируются |
практически |
все идеи |
курса (вплоть |
|
8 |
ПРЕДИСЛОВИЕ |
до рядов |
Фурье). Эта глава является вспомогательной |
и преследует чисто методические цели. |
|
Приводимые в книге примеры носят иллюстративный |
|
характер |
и не являются упражнениями для читателя. |
Поэтому параллельно с изучением материала данной книги необходимо пользоваться тем или иным сборником задач.
Автор признателен Р. С. Гутеру и П. М. Ризу за конструктивную и доброжелательную критику рукописи и за многочисленные ценные советы, а также редактору книги А. С. Чистопольскому за ряд улучшений текста.
За все критические замечания автор будет весьма благодарен.
H. Н. Воробьев