Файл: Батяев, Б. Г. Исследование надежности и точности линейных систем автоматического управления.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 108

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Б. Г. БАТЯЕВ

ИССЛЕДОВЭНИЕ

надЕжности и точности

линейных систем

автоматичЕского

управления

С А Р А Н С К 1 0 7 4

Печатает^:я по постановлению редакционно-издательского Совета

Мордовского государственного университета

 

 

 

имени Н.П. Огарева

 

 

----------------------— — —

— i

 

■j

Г©«. пуЗлмчяая

 

fteyHKv- •гелии .»

ч м

Д н

j

&i-j

C i . - C F

|

а н ь е м п л я »

 

S ЧИТАЛЬНОГО 5 АЛА

50Ш

 

- '/бз оз

Научный редактор кандидат физико-математических наук

В .Н . Щенников

0 - 2 - 2 - 4 - 1 6 5

1

Б --------------------------------------

206 - 7 5

130 (0 3)

- 73

 

(С) - Мордовский государственный университет

имени Н.П. Огарева

П Р Е д и с л о; В И Е

В настоящее время опубликовано большое число научных работ,

посвященных развитию математической теории надежности. Из этих ра­ бот можно назвать ряд фундаментальных монографий, имеющих важное теоретическое и практическое значение. Данная книга посвящена ис­ следованию надежности и точности линейных управляемых систем с уче­ том динамических моделей процессов управления.

В первой главе излагаются основные понятия и способы оценки надежности элементов.

Во второй главе рассматриваются критерии надежности систем.

Вместе с тем, приводятся некоторые определения и свойства нера­ венств, необходимых для оценки надежности линейных систем. Затем дается обоснование метода экстремальных уравнений для решения сис­ тем двойных линейных неравенств. Здесь же излагается метод оценки надежности с помощью экстремальных уравнений.

Втретьей главе освещаются вопросы, связанные с исследованием состояний линейных систем. С этой целью вводятся в рассмотрение характеристики состояний, при помощи которых исследуются состояния указанных систем.

Вчетвертой главе излагаются основные понятия и способы оцен­

ки точности. Наряду с этим, рассматривается метод апостериорной оценки погрешностей аргументов по заданной' предельной погрешности функции. Кроме того , дается интерпретацийГметода минимальных откло­ нений для вычисления параметров аппроксимирующих функций. В этой же главе приводится метод определения оптимальных параметров управ­ ляемых систем.

Книга рассчитана на пирокий крут специалистов и студентов,

интересующихся теорией надежности.

Автор


ВВ Е Д Е Н И Е

Вданной монографии проводится исследование некоторых моделей

реальных управляемых

систем с точки зрения

надежности и точности.

В целях исследования

надежности’ и точности

управляемых систем выяс­

ним сначала содержание основных понятий. Превде всего раскроем со­ держание понятия системы управления.

Системой управления называется совокупность устройств, обеспе­ чивающих управление каким-либо объектом. При исследовании процесса управления необходимо предварительно изучить взаимодействие систе­ мы управления и управляемого объекта.

Совокупность системы управления и управляемого объекта, взаи­ модействующих Jмежду собой в процессе управления, называется систе­ мой автоматического управления. Возмущающие воздействия, приложен­ ные к объекту управления, принято называть входными функциями или входными сигналами.

В этой книге рассматриваются автоматические системы, в кото­ рых входные сигналы действуют непрерывно в процессе управления,

такие системы называются непрерывными.

Величины, характеризующие состояние объекта в процессе управ­ ления, называются выхрдными функциями или выходными сигналами.

Всякая автоматическая система с помощью определенного оператора осуществляет преобразование функций.

Если оператор автоматической системы линеен, то эта система называется линейной. Наиболее важным свойством линейных систем яв­ ляется тб , что к этим системам применим принцип суперпозиции. При­ менение принципа суперпозиции значительно облегчает исследование линейных управляемых систем . При исследовании системы автоматичес­ кого управления обычно расчленяют ее на рад составных частей

(эл ем ен тов ).’

Иод элементом понимается не только неразложимая часть систе­ мы, но и отдельное ее устройство, выполняющее определенные функции.

Наиболее важным понятием, определяющим исправную работу элемента

5

или системы, является понятие надежности.

Надежность есть свойство элемента или системы сохранять свои выходные характеристики (параметры) в определенных пределах при данных условиях эксплуатации [2 8 ] .

Нарушение нормальной работы системы (элемента) вследствие вы­ хода основных параметров из установленных пределов называется от­ казом.

Особый интерес как для теории, так и для практики представляют такие отказы, возникновение которых не удается предвидеть тсчно.

Подобные отказы являются случайными событиями, так как они происхо­ дят в результате случайных воздействий, поступающих на вход или возникающих внутри самого устройства.

Если отказ элемента не вызывает отказов других элементов сис­ темы, то такой отказ является независимым. Отказ элемента называет-,

ся зависимым, если он возникает вследствие отказов других элементов.

В зависимости от процесса изменения выходных характеристик,

отказы могут быть разделены на мгновенные и постепенные. Мгновенные отказы характеризуются резким изменением параметров, определяющих качество элемента или системы.

Постепенные отказы возникают в результате длительного измене--

ния параметров каких-либо элементов системы и исхода их за допусти­ мые пределы.

Иногда в информационно-логических системах возникают кратковре­ менные самоустраняющиеся отказы или сбои. В случае сбоя восстановле­ ние си стеш осуществляется в процессе работы без замены элементов.

Для оценки надежности элементов и систем применяются количественные характеристики или критерии.

Критерий надежности есть мера, с помощью которой производится оценка надежности. Выбор критериев надежности зависит от назначения устройства и условий его работы.


 

Г Л А В А I

 

КРИТЕРИИ НАДЕЖНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ

§

I . Надежность элемента однократного действия

I .

Функция надежности. Пусть дана совокупность А/ однотипных

элементов, испытываемых при одинаковых условиях в течение времени Ь.

Каждый элемент данной совокупности может находиться

либо в состоянии

J = i

, если он исправен, либо в

состоянии 6 = 0

, если он не­

исправен.

Примем з а

начало отсчета

t - 0

- момент включения элемен­

т а , тогда

в момент,

времени t = Т

он перейдет из одного состояния в

другое. Если при этом какой-нибудь

элемент откажет в

момент включе­

ния, то его заменяют новым, поэтому

все

N элементов в начале испы­

таний считаем исправными.

 

 

 

 

Рассматривая отказ элемента как случайное событие, будем счи­

тать время отказа

Т случайной

величиной, имеющей непрерывную функ­

цию распределения

 

 

 

 

 

 

 

F ( i ) = P ( T < t ) .

( I . I )

Предположим также, что плотность распределения вероятностей случай­

ной величины Т является непрерывной функцией времени

 

f ( t ) - F'(t).

« - 2 >

При указанных предположениях изложим способ построения критери­ ев надежности для математической модели элемента однократного дейст­

вия. Дусть

событие

( Т < t

) означает

отказ

элемента до момента t .

Тогда функция F(t)

есть

вероятность

отказа

элемента ^ ( t )

в течение

времени

t

,

так

что

 

 

 

 

\

 

 

 

 

 

^ ( t ) ^ p ( t ) = p ( T < t ) .

 

 

( 1 . 3 )

В качестве

основного

критерия надежности для

этих элементов

принимается

вероятность безотказной работы

p i t )

,

которая

равна ве­

роятности

т о го ,

что

в течение времени Ь

не будет

отказа.

 


7

Учитывая, что исправная работа и отказ являются противоположными событиями, найдем

p i t ) -

= Р(т»0

( 1 . 4 )

 

или

 

 

 

p ( t ) = i - F ( t ) .

 

( 1 . 5 )

Определение, функция p i t ) , выражающая вероятность безотказ­

ной работы элемента в течение

времени /

,

называется функцией на­

дежности [7] .

 

 

 

функция надежности р ( t)

является монотонно убывающей и заклю­

чена в пределах 0 a p i t ) ё /

при б? 4 Т $

0 0

• Эта функция является

количественным выражением ресурса надежности элемента. Уменьшение функции p i t ) со временем означает уменьшение ресурса надежности.

Для непосредственного построения функций Q(t) и p ( t ) на прак­

тике применяют статистические оценки этих функций. С этой целью про­

водят испытание

/V

однотипных элементов при одинаковых условиях в

течение времени

Ь

. Обозначим через

nit ) - п ( Т <i) число отказав­

ших элементов в

течение времени t .

Тогда статистическая оценка

вероятности отказа

элемента за время

t выражается следующей

формулой

И

1Н.

«

( 1 .6 )

Если зафиксировать значение t

,

то согласно теореме

 

Э.Бореля

 

 

 

 

при

N — — о о

(1 .7 )

или

 

 

 

 

при

/V — *" 0 0 .

(1 .8 )

Из ( 1 . 4 ) и ( 1 . 7 ) следует, что статистическая оценка вероят­

ности безотказной работы д , ( О имеет ввд

РЛ*) - 1- ^ ^

>

(1-9)

где mU) - m(T»t)~ число исправно работающих элементов в течение.


8

времени t . В этом случае имеем

 

PM( t )

- rn^ t ~-

 

-------- >- p ( t )

 

при

/V —

о о .

(1 .1 0 )

 

Формула

(1 .1 0 )

служит для оценки вероятности безотказной рабо­

ты

элементов в течение времени

t

.

Однако эта формула не учитыва­

ет

влияния предшествующего состояния

элемента на безотказную работу

в последующее время.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы оценить

это

влияние

введем в

рассмотрение вероятность

безотказной работы

в промежутке времени

(

t

, t

+ Z ) при условии, что

в течение времени

t

элемент работал исправно.

Вероятность безот­

казной работы элемента на интервале времени ( t

, t + V ) есть услов­

ная вероятность и вычисляется по формуле

 

 

 

 

 

p ( t , t + v ) . p ( * / t ) =

- Я 0 - .

 

 

( 1 .Ш

Поэтому вероятность

отказа элемента в промежутке времени ( t

, t + Z )

при условии,

что до момента

t

элемент работал исправно, найдется

по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$ 0 , * +ъ )

 

 

 

= i - p ( V t ) = ~

 

) ~ ^ )( ^ ^ ‘

( i . i 2 )

 

2.

Частота отказов.

В силу нашего предположения,

время отказа

Т

отдельного

элемента есть

 

непрерывная

случайная величина. Наибо­

лее полной характеристикой времени отказа является плотность вероят­

ности его , определяемая формулой ( 1 .2 ) ,

так как она позволяет опре­

делить все остальные характеристики надежности, будучи производной

от

функции F ( t )

,

плотность

вероятности

времени отказа j i t )

харак­

теризует скорость изменения вероятности отказа. В отличие от вероят­

ности отказа,

j i t )

обладает размерностью, которая равна обратной

величине размерности

t

. Следовательно,

плотность вероятности вре­

мени отказа j i t )

представляет

собой частоту,

с

которой происходят

отказыотдельных элементов данной совокупности в зависимости от вре­ мени.

По величине j ( t ) можно судить о числе, элементов, которые могут отказать за определенный промежуток времени. В связи с этим,плотность вероятности отказа используется в качестве одного из критериев на­ дежности и носит название частоты отказов.