Файл: Батяев, Б. Г. Исследование надежности и точности линейных систем автоматического управления.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 79
Скачиваний: 0
Б. Г. БАТЯЕВ
ИССЛЕДОВЭНИЕ
надЕжности и точности
линейных систем
автоматичЕского
управления
С А Р А Н С К 1 0 7 4
Печатает^:я по постановлению редакционно-издательского Совета
Мордовского государственного университета
|
|
|
имени Н.П. Огарева |
|
|
|
----------------------— — — |
— i |
|
■j |
Г©«. пуЗлмчяая |
|
||
fteyHKv- •гелии .» |
ч м |
Д н |
||
j |
&i-j |
C i . - C F |
||
| |
а н ь е м п л я » |
|
||
S ЧИТАЛЬНОГО 5 АЛА |
50Ш |
|||
|
- '/бз оз |
Научный редактор кандидат физико-математических наук
В .Н . Щенников
0 - 2 - 2 - 4 - 1 6 5 |
1 |
|
Б -------------------------------------- |
206 - 7 5 |
|
130 (0 3) |
- 73 |
|
(С) - Мордовский государственный университет
имени Н.П. Огарева
П Р Е д и с л о; В И Е
В настоящее время опубликовано большое число научных работ,
посвященных развитию математической теории надежности. Из этих ра бот можно назвать ряд фундаментальных монографий, имеющих важное теоретическое и практическое значение. Данная книга посвящена ис следованию надежности и точности линейных управляемых систем с уче том динамических моделей процессов управления.
В первой главе излагаются основные понятия и способы оценки надежности элементов.
Во второй главе рассматриваются критерии надежности систем.
Вместе с тем, приводятся некоторые определения и свойства нера венств, необходимых для оценки надежности линейных систем. Затем дается обоснование метода экстремальных уравнений для решения сис тем двойных линейных неравенств. Здесь же излагается метод оценки надежности с помощью экстремальных уравнений.
Втретьей главе освещаются вопросы, связанные с исследованием состояний линейных систем. С этой целью вводятся в рассмотрение характеристики состояний, при помощи которых исследуются состояния указанных систем.
Вчетвертой главе излагаются основные понятия и способы оцен
ки точности. Наряду с этим, рассматривается метод апостериорной оценки погрешностей аргументов по заданной' предельной погрешности функции. Кроме того , дается интерпретацийГметода минимальных откло нений для вычисления параметров аппроксимирующих функций. В этой же главе приводится метод определения оптимальных параметров управ ляемых систем.
Книга рассчитана на пирокий крут специалистов и студентов,
интересующихся теорией надежности.
Автор
ВВ Е Д Е Н И Е
Вданной монографии проводится исследование некоторых моделей
реальных управляемых |
систем с точки зрения |
надежности и точности. |
В целях исследования |
надежности’ и точности |
управляемых систем выяс |
ним сначала содержание основных понятий. Превде всего раскроем со держание понятия системы управления.
Системой управления называется совокупность устройств, обеспе чивающих управление каким-либо объектом. При исследовании процесса управления необходимо предварительно изучить взаимодействие систе мы управления и управляемого объекта.
Совокупность системы управления и управляемого объекта, взаи модействующих Jмежду собой в процессе управления, называется систе мой автоматического управления. Возмущающие воздействия, приложен ные к объекту управления, принято называть входными функциями или входными сигналами.
В этой книге рассматриваются автоматические системы, в кото рых входные сигналы действуют непрерывно в процессе управления,
такие системы называются непрерывными.
Величины, характеризующие состояние объекта в процессе управ ления, называются выхрдными функциями или выходными сигналами.
Всякая автоматическая система с помощью определенного оператора осуществляет преобразование функций.
Если оператор автоматической системы линеен, то эта система называется линейной. Наиболее важным свойством линейных систем яв ляется тб , что к этим системам применим принцип суперпозиции. При менение принципа суперпозиции значительно облегчает исследование линейных управляемых систем . При исследовании системы автоматичес кого управления обычно расчленяют ее на рад составных частей
(эл ем ен тов ).’
Иод элементом понимается не только неразложимая часть систе мы, но и отдельное ее устройство, выполняющее определенные функции.
Наиболее важным понятием, определяющим исправную работу элемента
5
или системы, является понятие надежности.
Надежность есть свойство элемента или системы сохранять свои выходные характеристики (параметры) в определенных пределах при данных условиях эксплуатации [2 8 ] .
Нарушение нормальной работы системы (элемента) вследствие вы хода основных параметров из установленных пределов называется от казом.
Особый интерес как для теории, так и для практики представляют такие отказы, возникновение которых не удается предвидеть тсчно.
Подобные отказы являются случайными событиями, так как они происхо дят в результате случайных воздействий, поступающих на вход или возникающих внутри самого устройства.
Если отказ элемента не вызывает отказов других элементов сис темы, то такой отказ является независимым. Отказ элемента называет-,
ся зависимым, если он возникает вследствие отказов других элементов.
В зависимости от процесса изменения выходных характеристик,
отказы могут быть разделены на мгновенные и постепенные. Мгновенные отказы характеризуются резким изменением параметров, определяющих качество элемента или системы.
Постепенные отказы возникают в результате длительного измене--
ния параметров каких-либо элементов системы и исхода их за допусти мые пределы.
Иногда в информационно-логических системах возникают кратковре менные самоустраняющиеся отказы или сбои. В случае сбоя восстановле ние си стеш осуществляется в процессе работы без замены элементов.
Для оценки надежности элементов и систем применяются количественные характеристики или критерии.
Критерий надежности есть мера, с помощью которой производится оценка надежности. Выбор критериев надежности зависит от назначения устройства и условий его работы.
|
Г Л А В А I |
|
КРИТЕРИИ НАДЕЖНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ |
§ |
I . Надежность элемента однократного действия |
I . |
Функция надежности. Пусть дана совокупность А/ однотипных |
элементов, испытываемых при одинаковых условиях в течение времени Ь.
Каждый элемент данной совокупности может находиться |
либо в состоянии |
|||||
J = i |
, если он исправен, либо в |
состоянии 6 = 0 |
, если он не |
|||
исправен. |
Примем з а |
начало отсчета |
t - 0 |
- момент включения элемен |
||
т а , тогда |
в момент, |
времени t = Т |
он перейдет из одного состояния в |
|||
другое. Если при этом какой-нибудь |
элемент откажет в |
момент включе |
||||
ния, то его заменяют новым, поэтому |
все |
N элементов в начале испы |
||||
таний считаем исправными. |
|
|
|
|
||
Рассматривая отказ элемента как случайное событие, будем счи |
||||||
тать время отказа |
Т случайной |
величиной, имеющей непрерывную функ |
||||
цию распределения |
|
|
|
|
|
|
|
|
F ( i ) = P ( T < t ) . |
( I . I ) |
Предположим также, что плотность распределения вероятностей случай
ной величины Т является непрерывной функцией времени |
|
f ( t ) - F'(t). |
« - 2 > |
При указанных предположениях изложим способ построения критери ев надежности для математической модели элемента однократного дейст
вия. Дусть |
событие |
( Т < t |
) означает |
отказ |
элемента до момента t . |
|||||
Тогда функция F(t) |
есть |
вероятность |
отказа |
элемента ^ ( t ) |
в течение |
|||||
времени |
t |
, |
так |
что |
|
|
|
|
\ |
|
|
|
|
|
^ ( t ) ^ p ( t ) = p ( T < t ) . |
|
|
( 1 . 3 ) |
|||
В качестве |
основного |
критерия надежности для |
этих элементов |
|||||||
принимается |
вероятность безотказной работы |
p i t ) |
, |
которая |
равна ве |
|||||
роятности |
т о го , |
что |
в течение времени Ь |
не будет |
отказа. |
|
7
Учитывая, что исправная работа и отказ являются противоположными событиями, найдем
p i t ) - |
= Р(т»0 |
( 1 . 4 ) |
|
|
|||
или |
|
|
|
p ( t ) = i - F ( t ) . |
|
( 1 . 5 ) |
|
Определение, функция p i t ) , выражающая вероятность безотказ |
|||
ной работы элемента в течение |
времени / |
, |
называется функцией на |
дежности [7] . |
|
|
|
функция надежности р ( t) |
является монотонно убывающей и заклю |
||
чена в пределах 0 a p i t ) ё / |
при б? 4 Т $ |
0 0 |
• Эта функция является |
количественным выражением ресурса надежности элемента. Уменьшение функции p i t ) со временем означает уменьшение ресурса надежности.
Для непосредственного построения функций Q(t) и p ( t ) на прак
тике применяют статистические оценки этих функций. С этой целью про
водят испытание |
/V |
однотипных элементов при одинаковых условиях в |
|
течение времени |
Ь |
. Обозначим через |
nit ) - п ( Т <i) число отказав |
ших элементов в |
течение времени t . |
Тогда статистическая оценка |
|
вероятности отказа |
элемента за время |
t выражается следующей |
формулой
И |
1Н. |
« |
( 1 .6 )
Если зафиксировать значение t |
, |
то согласно теореме |
|
Э.Бореля |
|
|
|
|
при |
N — — о о |
(1 .7 ) |
или |
|
|
|
|
при |
/V — *" 0 0 . |
(1 .8 ) |
Из ( 1 . 4 ) и ( 1 . 7 ) следует, что статистическая оценка вероят
ности безотказной работы д , ( О имеет ввд
РЛ*) - 1- ^ ^ |
> |
(1-9) |
где mU) - m(T»t)~ число исправно работающих элементов в течение.
8
времени t . В этом случае имеем
|
PM( t ) |
- rn^ t ~- |
|
-------- >- p ( t ) |
|
при |
/V — |
о о . |
(1 .1 0 ) |
||||||
|
Формула |
(1 .1 0 ) |
служит для оценки вероятности безотказной рабо |
||||||||||||
ты |
элементов в течение времени |
t |
. |
Однако эта формула не учитыва |
|||||||||||
ет |
влияния предшествующего состояния |
элемента на безотказную работу |
|||||||||||||
в последующее время. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Чтобы оценить |
это |
влияние |
введем в |
рассмотрение вероятность |
||||||||||
безотказной работы |
в промежутке времени |
( |
t |
, t |
+ Z ) при условии, что |
||||||||||
в течение времени |
t |
элемент работал исправно. |
Вероятность безот |
||||||||||||
казной работы элемента на интервале времени ( t |
, t + V ) есть услов |
||||||||||||||
ная вероятность и вычисляется по формуле |
|
|
|
|
|||||||||||
|
p ( t , t + v ) . p ( * / t ) = |
- Я 0 - . |
|
|
( 1 .Ш |
||||||||||
Поэтому вероятность |
отказа элемента в промежутке времени ( t |
, t + Z ) |
|||||||||||||
при условии, |
что до момента |
t |
элемент работал исправно, найдется |
||||||||||||
по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$ 0 , * +ъ ) |
|
|
|
= i - p ( V t ) = ~ |
|
) ~ ^ )( ^ ^ ‘ |
( i . i 2 ) |
|||||||
|
2. |
Частота отказов. |
В силу нашего предположения, |
время отказа |
|||||||||||
Т |
отдельного |
элемента есть |
|
непрерывная |
случайная величина. Наибо |
||||||||||
лее полной характеристикой времени отказа является плотность вероят |
|||||||||||||||
ности его , определяемая формулой ( 1 .2 ) , |
так как она позволяет опре |
||||||||||||||
делить все остальные характеристики надежности, будучи производной |
|||||||||||||||
от |
функции F ( t ) |
, |
плотность |
вероятности |
времени отказа j i t ) |
харак |
|||||||||
теризует скорость изменения вероятности отказа. В отличие от вероят |
|||||||||||||||
ности отказа, |
j i t ) |
обладает размерностью, которая равна обратной |
|||||||||||||
величине размерности |
t |
. Следовательно, |
плотность вероятности вре |
||||||||||||
мени отказа j i t ) |
представляет |
собой частоту, |
с |
которой происходят |
отказыотдельных элементов данной совокупности в зависимости от вре мени.
По величине j ( t ) можно судить о числе, элементов, которые могут отказать за определенный промежуток времени. В связи с этим,плотность вероятности отказа используется в качестве одного из критериев на дежности и носит название частоты отказов.