Файл: Бовди, А. А. Групповые кольца учеб. пособие.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 83

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УССР

УЖГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ' УНИВЕРСИТЕТ

К а ф е д р а

а л г е б р ы

А. А. Б О В Д И

Г Р У П П О В Ы Е

К О Л Ь Ц А

( учебное

пособие )

У Ж Г О Р О Д - 1Ш4

Печатается по решению редакционно-издательского

совета Ужгородского государственного университета

Гпу5.” чная

Жчно-ть-'н - оеиая

>лиоте-а ОЭСР

ЭКЭМПЛЯР

t ЧИТАЛЬНОГО « 4 ДД

Jty' Ш б 3

Ответственный редактор ~ доц. В,С J p o 6oTeHKO

 

А.

А.

Б О В

Д

И

 

Г Р У П П О В Ы Е

К О Л Ь Ц А

 

 

(

учебное

пособие

)

 

Подписано к

печати

21.03.1074

г.Разреш ено к печати

26,03.1974 г.

ББ00473.

■'

 

Зк.299.

 

Тир. 500.

Формат бумаги 00 X 84

1/16.

 

Об"ем

7,375 пл.

 

Цена одного

экэ.

51

коп.

 

Печатная лаборатория УжГУ ,г.Ужгород,ул.М.Горького,46.


- 3 -

 

В В Е Д Е Н И Е

 

 

 

Пусть G - группа

относительно операции умножения

и К

-

произ-

вольвое аосоциативное кольцо. Групповое кольцо ( г р .к .)

JU?

группы G-

над кольцом К соотоит из всевозможных формальных сумм вида

 

,

в которых лишь конечное

число коэффициентов J .^ ( K отлично от

нуля,

причем такие суммы считается равными тогда и только тогда, когда у них

совпадают коэффициенты

J L

м я

воех

 

G

. Операции в

К &

оп­

 

ределяются

так:

если

 

 

 

 

 

 

то

 

 

 

 

 

т .е . коэффициенты

/ у .

перестановочны с

элементами

группы

G

,

а ум­

 

ножение в

K G

 

индуцируется

умножением в

( ? .

 

 

 

 

 

 

 

Еоли

кольцо

К

является

полем, то

г р .к .

K G

называется

группо­

вой алгеброй ( г р . а . ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Элемент. *>"’ Х

а с К € можно рассматривать

как

функцию на группе

<?

 

 

 

 

 

• которая

на

элементе

л .

группы

 

Г

 

со значением в кольце К

 

v

 

принимает

значение

jCj. . Тогда групповое

кольцо

К б

можно отождест­

вить с кольцом тех функций из

G

в К

.

KOToptie

приншают ненулевые

 

значения лишь на конечном подмножестве

группы

G

,

е

обычной операци­

ей сложения и умножением типа

свертки,

т .е . умножение

функций

~f(*0

Y t y < Z e G

)

определяется

формулой:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Групповые алгебры были введены Фробеииусом и Шуром в начале

наше­

го века и до 50-ых годов их воспринимали как формальный объект,

прис­

 

пособленный к

задачам

теории

представлений

конечных

групп,

В начале

 

50-ых годов появляется интерес к групповым кольцам бесконечных групп, чему в значительной мере способствовали проблемы по групповым кольцам, поставленные Капланским £2,3] , применение целочисленных групповых ко­ лец в топологии и использование методов теории групповых колец прк изучении строения групп. Несмотря на обилие результатов ио групповш кольцам произвольных групп, в настоящее время, по существу, закладыва­ ются только основы этой теории.


- 4 -

Основные направления исследований по теории групповых колец следующие:

1) теоретико-кольцевые свойства группового кольца;

2) проблема изоморфизма н инварианты групповых колец;

3)полупростота и радикал групповых колец;

4)строение мультипликативной группы группового кольца»

Впредлагаемой Вам первой части пособия излагаются результаты, полученные в первых двух направлениях. Исследования, относящиеся к третьему направлению, хорошо освещены в недавно вышедшей книге Паесмана "Бесконечные групповые кольца" и также в его обзорной ста­

тье б . Во второй части пооос&я мы надеемся подробно остановиться на строении мультипликативной группы группового кольца» Подробный обзор по теории групповых колец, а также доказательства некоторых результатов приводится в статье А.Е.Вадесского и А .В .Михалева Щ .

Для понимания основной части пособия от читателя требуется оп­ ределенная математическая культура и знакомство о основными понятия­ ми теории групп и аппаратом теории колец с условием минимальности.

Пособие предназначено для студентов старших курсов» Поэтому материал изложен лаконично, но со всеми необходимыми подробностями, Читатель должен быть готов к тому, чтобы не просто читать доказательства, а доказывать теоремы по намеченной схеме. Для удобства читателя, мы приводим без доказательства все необходимые нам результаты из теории групп к теории колец. Подробное изложение этих'фактов можно найти в монографиях: й,Г.Курош "Теория групп", Ламбек "Кольца и модули", Херстейн "Некоммутативные кольца". Автор отнюдь не претендует на ис­ черпывающую полноту библиографии, где, в основном, указаны работы, которые непосредственно упоминаются в тексте, Более подробную библи­ ографию можно найти в обзорных статьях А.Е.Залесского и А.В.Михалева Ш и Паосмана ЛбЗ .

 

 

 

 

-

5

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ И ТЕРМИНОВ

 

 

 

 

 

Н а с

- И -нормальная подгруппа группы

G

,

 

 

 

 

п

ш

-

полная система представителей левых (правых) смеж­

IGI

 

ных классов группы

G

 

по подгруппе

Н

. . .

. .

. .

7

-

порядок группы

G

или мощность множества

G

,

 

1 с м ]

-

индекс подгруппы (подмножества) Н

в

G . . . . .

16

с # ( ? )

-

централизатор

элемента

у

в

группе

G

,

 

 

 

A = A ( G ) = { ip £ |f G :C &(?)]<oo}

_ А-подгруппа

группы

б

 

, 20

A *“ A * (G 9 -{9eG |fG :C e ty)]<«e}

 

........................................................

 

 

 

 

 

 

 

 

20

 

 

 

[Н :С и (ф " }

 

........................................................

 

 

 

 

 

 

 

 

*7

т

 

-

Д -радикал группы С

 

.........................................

 

 

 

 

 

 

 

**7

 

-

центр группы

G

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( $ ’&)

-

коммутатор

элементов

<j.

и "ft

группы

G .

 

 

G

 

-

коммутант

группы G .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ш )

-

взаимный коммутант

подгрупп Н

и L

группы

G

,

 

 

-

класс сопряженных

элементов группы

G

. содержа­

 

 

 

щий элемент

ф

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

( с )

-

К -й член TYl-ряда

группыG ................................

 

 

 

 

 

73

КкА

-

центральный,ряд

Цассенхауза-£азара

группы

G

 

ъ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г

_

кольцо целых рациональных чисел,

 

 

 

 

 

 

Zf

-

кольцо тснассов вычетов

помоtip*

,

 

 

 

 

 

к- ассоциативное кольцо с единицей,

KG

-

групповое

кольцо группы G

над кольцом

К

 

X

_

элемент группового кольца

KG

,

 

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

-

окрещенное

произведение группы

0 и кольца К

51

* 5 * *

-

элемент кольца (С ,Я ,$ ,е )

.....................................

 

.

51

S u p p E -

 

 

- носитель

элемента

х . . . .

7

^ S u^ jX>

подгруппа

носителя элемента ж

.............

-«............

2ь<


 

 

 

 

 

 

-

6 -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1%х,ж£i

•„ след .элемента sc- ....................................................

 

 

 

 

 

 

 

 

12

ЗгШ)

 

- левый идеал гр.к.

JCG

,

порожденный элементами

 

 

 

 

 

вида &-i (ktG )

................................KG

,

 

 

 

.. ..

.........

 

7

•АЛ"'

 

-

правый идеал гр.к.

порожденный элементами

чей )

 

 

вида ^

 

, ...................................

порожденный элементами.............вида

7

 

 

 

_ идеал гр.к. KG

 

А (К Г )

 

 

^

 

* г д е Н 4 С

...........................................

 

 

 

 

 

..

 

 

8

Mwviv

_ фундаментальный идеал гр.к. Кб

........................

 

 

II

[ я ,у ] -

с с у -у х

 

 

 

 

- лиевьсй (аддитивный)

комму-

 

_

.

 

 

татор

элементов ос.

 

и ц.

 

гр.к.

KG .

 

 

 

LA,yj

 

-

К-подмодуль гр.к.

Кб

 

,

порожденный лиевыми

 

 

 

 

 

коммутаторами

[x,yj

(осеХ,^€

У)

,

 

 

 

в6(К6)

 

_ коммутаторный

К-подмодудь гр.к.

KG ..........

 

12

$(KG)

 

-

центр гр.к. KG

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^(KG)

 

.. радикал Джекобсона гр.к."

 

КО

,

 

 

 

 

x&d-KG

 

_ первичный радикал гр.к.

KG

,

 

 

 

 

 

 

 

 

_ вес

элемента ж гр.к. KG

................................

 

 

 

64

 

£•£,/»

 

 

-

К-подмодуль г р .к .

KG

................................................

 

 

 

 

 

64

 

 

 

-

К-подмодуль гр.к.

КО

 

.....................................

 

 

 

67

 

£>n(KG)

- д-ая

размерная подгруппа гр.к.

KG ..................

 

69

з с - х с (

^

%

?

Л

 

 

- гомоморфам

в

К .

32

e - a ( s s 4 ? ) - x : x » f

 

 

-

Й Д -гом ом орфам

 

20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- ......................................................................................

 

 

 

 

 

 

20

 

 

 

 

-

отображение КО

в

КН

 

...........................................

 

 

 

 

87

 

LL0CG)

 

-

мультипликативная

группа

г р .к .

КО ...................

 

86

 

VUCG)

 

-

нормированная мультипликативная группа г р .к .Кб

86

II

 

 

- конец (или отсутствие) доказательства,

 

 

 

Базисная

подгруппа

группового

кольца KG

 

 

 

......................

86

 

Канонический

базис

группы G

...................

 

 

................

 

 

.............................

 

 

62

Терминал, группы G

 

относительно

кольца

 

К

...................................

 

 

 

62

 


-7 -

ГЛ А В А I

ТЕОРЕТИКО-КОЛЬЦЕВЫЕ СВОЙСТВА ГРУППОВЫХ КОЛЕЦ

§1. СВЯЗЬ МЕЖДУ ПОДГРУППАМИ И ИДЕАЛАМИ ГРУППОВОГО КОЛЬЦА

Пусть

Н

-

подгруппа группы

С

. Образуем

подмножество г р .к .

К С '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно,

что

Ш )

-

левый идеал г р .к .

КС

,

порожденный элемента­

ми вида

/ь- i

(

& «Я

) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть ( щ ) - полная система представителей левых смежных классов

группы

С по подгруппе Ц

(ради

удобства,

в

дальнейшем

это множество

будем обозначать

через

/7 ( % )

) . Тогда элементы вида

u - J t - i )

об­

разуют

базис

К -модуля

$ t (H)

,

что

непосредственно

следует из

пред­

ставления

tf.€ G в виде

'U t'/l

и из

равенства

 

 

 

 

 

 

Аналогично

определяется

пралый идеал

 

 

 

г р .к .

К С .

 

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если

Х = 5 3 о С ^ ,

то

подмножество

S u ^ x ^ t C r l X ^ b

называется

носителем

элемента х

,

а

число

элементов

подмножества

 

S u p p X

называется

длиной

элемента

 

х .

 

 

 

 

 

 

 

Докажем

некоторые

свойства

идеала

3

/ и ) .

 

 

 

 

 

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

I .

 

 

i£U )

тогда

и только

тогда,

когда

Н

-

нормальная

подгруппа

группы

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Из равенства

 

 

 

 

 

следует,

что

 

 

 

 

 

 

для

всех Ч е И

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~ Ui x 1 + U.bOCt + ...+

tlgVCg ,

 

 

( I )

где iiie rj(G /u )

и

х ; £ К Н

.

Тогда

длина

элемента

uCi

не менее

2

и при

 

S uppU i'X i

и

HuppUjXj

лежат в различных левых

омеж-

ных классах по подгруппе Ц

.

Значит,

правая

часть ( I ) может иметь