Файл: Бовди, А. А. Групповые кольца учеб. пособие.pdf

В В Е Д Е Н И Е

Пусть G - группа

относительно операции умножения

и К

-

произ-

вольвое аосоциативное кольцо. Групповое кольцо ( г р .к .)

JU?

группы G-

над кольцом К соотоит из всевозможных формальных сумм вида

,

в которых лишь конечное

число коэффициентов J .^ ( K отлично от

нуля,

совпадают коэффициенты

J L

м я

воех

G

. Операции в

К &

оп­

ределяются

так:

если

то

т .е . коэффициенты

/ у .

перестановочны с

элементами

группы

G

,

а ум­

ножение в

K G

индуцируется

умножением в

( ? .

Еоли

кольцо

К

является

полем, то

г р .к .

K G

называется

группо­

вой алгеброй ( г р . а . ) .

Элемент. *>"’ Х

а с К € можно рассматривать

как

функцию на группе

<?

„

• которая

на

элементе

л .

группы

Г

со значением в кольце К

v

принимает

значение

jCj. . Тогда групповое

кольцо

К б

можно отождест­

вить с кольцом тех функций из

G

в К

.

KOToptie

приншают ненулевые

значения лишь на конечном подмножестве

группы

G

,

е

обычной операци­

ей сложения и умножением типа

свертки,

т .е . умножение

функций

~f(*0

■

Y t y < Z e G

)

определяется

формулой:

Групповые алгебры были введены Фробеииусом и Шуром в начале

наше­

го века и до 50-ых годов их воспринимали как формальный объект,

прис­

пособленный к

задачам

теории

представлений

конечных

групп,

В начале

-

5

-

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ И ТЕРМИНОВ

Н а с

- И -нормальная подгруппа группы

G

,

п

ш

-

полная система представителей левых (правых) смеж­

IGI

ных классов группы

G

по подгруппе

Н

. . .

. .

. .

7

-

порядок группы

G

или мощность множества

G

,

1 с м ]

-

индекс подгруппы (подмножества) Н

в

G . . . . .

16

с # ( ? )

-

централизатор

элемента

у

в

группе

G

,

A = A ( G ) = { ip £ |f G :C &(?)]<oo}

_ А-подгруппа

группы

б

, 20

A *“ A * (G 9 -{9eG |fG :C e ty)]<«e}

........................................................

20

[Н :С и (ф " }

........................................................

*7

т

-

Д -радикал группы С

.........................................

**7

№

-

центр группы

G

,

( $ ’&)

-

коммутатор

элементов

<j.

и "ft

группы

G .

G

-

коммутант

группы G .

Ш )

-

взаимный коммутант

подгрупп Н

и L

группы

G

,

-

класс сопряженных

элементов группы

G

. содержа­

щий элемент

ф

,

т

( с )

-

К -й член TYl-ряда

группыG ................................

73

КкА

-

центральный,ряд

Цассенхауза-£азара

группы

G

ъ

г

_

кольцо целых рациональных чисел,

Zf

-

кольцо тснассов вычетов

помоtip*

,

KG

-

групповое

кольцо группы G

над кольцом

К

X

_

элемент группового кольца

KG

,

*

-

окрещенное

произведение группы

0 и кольца К

51

* 5 * *

-

элемент кольца (С ,Я ,$ ,е )

.....................................

.

51

S u p p E -

- носитель

элемента

х . . . .

7

^ S u^ jX>

„

подгруппа

носителя элемента ж

.............

-«............

2ь<

-

6 -

1%х,ж£i

•„ след .элемента sc- ....................................................

12

ЗгШ)

- левый идеал гр.к.

JCG

,

порожденный элементами

вида &-i (ktG )

................................KG

,

.. ..

.........

7

•АЛ"'

-

правый идеал гр.к.

порожденный элементами

чей )

вида ^

, ...................................

порожденный элементами.............вида

7

_ идеал гр.к. KG

А (К Г )

^

* г д е Н 4 С

...........................................

..

8

Mwviv

_ фундаментальный идеал гр.к. Кб

........................

II

[ я ,у ] -

с с у -у х

- лиевьсй (аддитивный)

комму-

_

.

татор

элементов ос.

и ц.

гр.к.

KG .

LA,yj

-

К-подмодуль гр.к.

Кб

,

порожденный лиевыми

коммутаторами

[x,yj

(осеХ,^€

У)

,

в6(К6)

_ коммутаторный

К-подмодудь гр.к.

KG ..........

12

$(KG)

-

центр гр.к. KG

,

^(KG)

.. радикал Джекобсона гр.к."

КО

,

x&d-KG

_ первичный радикал гр.к.

KG

,

_ вес

элемента ж гр.к. KG

................................

64

£•£,/»

-

К-подмодуль г р .к .

KG

................................................

64

-

К-подмодуль гр.к.

КО

.....................................

67

£>n(KG)

- д-ая

размерная подгруппа гр.к.

KG ..................

69

з с - х с (

^

%

?

Л

- гомоморфам

в

К .

32

e - a ( s s 4 ? ) - x : x » f

-

Й Д -гом ом орфам

20

- ......................................................................................

20

-

отображение КО

в

КН

...........................................

87

LL0CG)

-

мультипликативная

группа

г р .к .

КО ...................

86

VUCG)

-

нормированная мультипликативная группа г р .к .Кб

86

II

- конец (или отсутствие) доказательства,

Базисная

подгруппа

группового

кольца KG

......................

86

Канонический

базис

группы G

...................

................

.............................

62

Терминал, группы G

относительно

кольца

К

...................................

62

Пусть

Н

-

подгруппа группы

С

. Образуем

подмножество г р .к .

К С '

Очевидно,

что

Ш )

-

левый идеал г р .к .

КС

,

порожденный элемента­

ми вида

/ь- i

(

& «Я

) .

Пусть ( щ ) - полная система представителей левых смежных классов

группы

С по подгруппе Ц

(ради

удобства,

в

дальнейшем

это множество

будем обозначать

через

/7 ( % )

) . Тогда элементы вида

u - J t - i )

об­

разуют

базис

К -модуля

$ t (H)

,

что

непосредственно

следует из

пред­

ставления

tf.€ G в виде

'U t'/l

и из

равенства

Аналогично

определяется

пралый идеал

г р .к .

К С .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если

Х = 5 3 о С ^ ,

то

подмножество

S u ^ x ^ t C r l X ^ b

называется

носителем

элемента х

,

а

число

элементов

подмножества

S u p p X

называется

длиной

элемента

х .

Докажем

некоторые

свойства

идеала

3

/ и ) .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

I .

i£U )

тогда

и только

тогда,

когда

Н

-

нормальная

подгруппа

группы

G •

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Из равенства

следует,

что

для

всех Ч е И

и

~ Ui x 1 + U.bOCt + ...+

tlgVCg ,

( I )

где iiie rj(G /u )

и

х ; £ К Н

.

Тогда

длина

элемента

uCi

не менее

2

и при

S uppU i'X i

и

HuppUjXj

лежат в различных левых

омеж-

ных классах по подгруппе Ц

.

Значит,

правая

часть ( I ) может иметь