Файл: Батяев, Б. Г. Исследование надежности и точности линейных систем автоматического управления.pdf

максимальное (минимальное) значение 155J

,

Для нахождения оптимальных значений

у so

и

X j

будем при­

менять повторно градиентный метод. Обозначим через

IV ,

и

W 2

области фазового пространства начальных данных

у

s

и параметров

Xj .

Пусть

у so

любая точка

из

IV ,

,

a Xjo

любая

точка из

U/2 • Предположим,

что система

(13 .75)

имеет при

X j

= Xjo не­

прерывное решение

=

У>0> '-> Т/ло,

Хто> Хю,.. ■,

^/со)

(13 .78)

с начальными условиями

у $

~

У so

при

t

= t<>€ [ о , Т ]

. Вычислим

функционал

2/о

в

точке

у $ -

у So

.

Xj = X jo

и, закрепив па­

раметры

Xjo

«

найдем градиент функционала

U

по начальным дан­

ным

у so

д У

(о)

(1 3 .7 9 )

d y So

У s

7

£s /

где

-,(0)

координатные

орты.

у s

-

Направляющие

косинусы

этого

градиента

имеют вид

1

(1 3 .8 0 )

При максимизации функционала в

области

W ,

после

определения

градиента

7)

движение производится

с фиксированным достаточно ма­

лым шагом вдоль луча,

совпадающего с

направлением градиента до точ­

ки, в которой достигается граница области

W ,

или максимальное

значение

(У .

Затем в этой

точке

вновь определяется

градиент и

процесс повторяется.

Будем максимизировать функционал

7f

и обозначим наибольшее

значение функционала

7)0

через

^ =

V

С Л ,,Л г , . . . , а к) . Найдем гра­

диент функции

/

/

>s—■

е У

.

(°)

d S

( V

(

(1 3 .8 1 )

Jyzj

d xj°

*

;

Cj

д л :0

dxj°

У = Т ( х , у )

. Цри наличии устойчивости

будет

величина Т —- оо

,

что позволяет

указать

приближенный способ

отыскания параметров X j

,

при которых положение равновесия будет устойчивым.

Зафиксируем числа

y s ( c ) , тогда

величина

Т

является

функцио­

налом, определенным на движениях системы

(1 3 .7 5 ) .

Применяя описан­

ный выше метод максимизации,

найдем приближенные

оптимальные

значе­

ния параметров

X

при которых 2

y U t )

<

е г , 1 6[о,<*>].

s~i а

Эти параметры в общем случае могут и не давать устойчивости,

так

как начальные условия

у So

были закреплены, однако для ряда

началь­

Изложим теперь другой подход к решению данной задачи.

Пусть

V

г)

некоторая положительно определенная функция,

П

^

например квадратичная форма V =

0(&■: у s

.

Найдем полную

производную функции

V

V -

cit

^

dys /s

= w (y ft у г ,

. . . , у п , Л 1ГХ г , . . . , Х ^ т(13 . 82)

S - I

Из теоремы Ляпунова известно, что положение равновесия системы

(13 .75)

будет асимптотически устойчивым,

если функция

W

будет

отрицательно определенной, функцию W

можно сделать

отрицательно

определенной лишь за счет выбора параметров

X j

. Рассмотрим по­

ложительно

определенную функцию

п

s=i

Очевидно

S = £

есть

замкнутая

ограниченная поверхность.

Найдем наибольшее

значение

функции

W

на

этой поверхности

и выберем затем

X j

так, чтобы это наибольшее

значение было отри­

цательным.

Отыскание наибольшего значения

W

при условии

S = £

dy-s

_

d W

_

V S

^

(13 .84)

d T

d y s

f

d y s

где

■ч--1 d W

d S

_

VWvS

_ j r r

¥

(13 .85)

^

( v s ) 2

^

( _ S S _ ) 2

t

r

r '

d y s '

Эта система обладает следующими свойствами:

а) любое движение,

начинающееся на поверхности

5 = £

остается

на

этой же поверхно­

сти, так как полная производная функции

S

-

нуль;

б)

вдоль любо­

го решения функция

IV

не убывает.

S = 6

Возьмем некоторую точку на поверхности

,

например,

О

О

построим решение

^

( т )

системы

y s

и для параметров X j

(1 3 .8 4 ), проходящее через данную точку

y°s

при

Z

- О

. Ври

этом возможны два

сдучая:

а)

либо

W > 0

,‘

б)

либо

W

& 0 .

Пусть,

например,

W 6 О

при

Т

- о

.

Обозначим через

Т

первый

момент,

когда

W

- О .

Величина

7

будет функционалом, определен­

ным на решениях рассматриваемой системы.

Положим И -

Т

Далее будем максимизировать величину

£7

до тех пор, пока либо

траектория

y s(? ) не

будет оставаться

в

окрестности некоторой точки

траектории,

либо значение

«У

не будет

достаточно велико.

В

случае

W ( у " , ■■■, у а ,

X j

,

-Л-к )>0 нужно предварительно

максимизировать эту

величину по

до

тех пор, пока не будет

W ( y , V - ,

у п , X , , . . . ,

Х к ~)

^

о

.

Затем перейдем к выше опи­

санному случаю. Такую процедуру желательно повторить для сети на­

чальных

точек

у /

на поверхности

S

= £

и найти оптимальные

значения параметров

Л / .

Л И Т Е Р А Т У Р А

1 .

АНДРОНОВ А .А .,

О статистическом рассмотрении динамических

систем, Собрание трудов, Изд. АН СССР, 1956.

2 .

БЕККЕНБАХ. Э .,

ВЕЛЛМАН Р ,Н ер авен ства , "Мир",

1965.

3 .

БШШПЕВ Л.Но,

(МИЕНОВ Н .В ., Таблицы математической статистики,

М ., "Наука", 1965.

4 .

БОЛТЯНСКИЙ В .Г . , Математические методы оптимального управления,

"Наука", 1965.

5 .

ВЕНТЦЕЛЬ Е .С ., Теория вероятностей, "Наука", 1964.

6.

ГНЕДЕНКО Б .В ., 0 дублировании с восстановлением, Изв. АН СССР,

Техническая кибернетика, 5(1964).

7 .

ГНЕДЕНКО Б .В .,

БЕЛЯЕВ Ю.К., СОЛОВЬЕВ А .Д ., Математические

8.

метода в теории надежности, "Наука", 1965.

ДРУЖИНИН Г .В ., Надежность устройств автоматики, "Энергия", 1964

9 .

ЗУБОВ В .И ., Математические методы исследования систем автома­

тического регулирования, "Судпромгиз", 1959.

10 .

ИБРАГИМОВ И .А .,

РОЗАНОВ Ю.А., Гауссовские процессы,

М., "Н аука",.1971.

II»

КОЛМОГОРОВ А .Н .,

Основные понятия теории вероятностей,

"Наука", 1974.

12.

КОЛМОГОРОВ А .Н .,

0 логарифмически нормальном законе распределе­

ния размеров частиц при дроблении, ДАН СССР,

31, 2 (1 9 4 1 ).

13 .

КРАСОВСКИЙ Н.Н .,

Теория управления движением,

М., "Наука", 1968

14.

ЛАВРЕНТЬЕВ М.А.,

ШАБАТ Б .В ., Методы теории функций комплексного

переменного, Физматгиз, 1965.

15 .

ЛАНС ДЖ. Н ., Численные методы для быстродействующих вычисли­

тельных машин, ИЛ, 1962.

16 .

ЛИЕШИЦ Н .А ., ПУГАЧЕВ В .Н ., Вероятностный анализ

систем автома­

тического управления, "Советское радио", т .

I ,

1963.