Файл: Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 73
Скачиваний: 0
Н. Н. БОГОЛЮБОВ (мл.)
МЕТОД
ИССЛЕДОВАНИЯ
МОДЕЛЬНЫХ
ГАМИЛЬТОНИАНОВ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ф и з и к о -м а т е м а т и ч е с к о й л и т е р а т у р ы
М О С К В А 1974
.**
S17.2 Б.74
УД К 517
Метод |
исследования модельных гамильтонианов, Б о г о л ю |
б о в Н. Н. (мл.), Главная редакция физико-математической литера |
|
туры изд-ва |
«Наука», 1974. |
В монографии предложены методы для решения некоторых задач статистической физики, содержащих четырехфермионное вза имодействие.
С помощью метода «аппроксимирующих гамильтонианов» уда лось выделить целый класс точно решаемых модельных систем.
Обнаружено и рассмотрено существенное отличие двух типов задач с положительным и отрицательным четырехфермионным вза имодействием. Для каждого из этих типов задач рассмотрено на хождение точных решений для свободных энергий, одновременных, многовременных корреляционных функций, Г-произведений и функ ций Грина.
Исследована также более общая проблема, гамильтониан ко торой содержит как члены с положительным, так и члены с отри цательным четырехфермионным взаимодействием. На основе анализа и обобщения результатов глав (1—3) стало возможным сформули
ровать |
и разработать новый |
принцип — принцип минимакса для |
|
задач |
статистической |
физики. |
|
© |
Издательство |
«Наука», |
1974 г. |
Николай Николаевич Боголюбов (мл.)
МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ МОДЕЛЬНЫХ ГАМИЛЬТОНИАНОВ
М., 1974 г,, 176 стр.
Редактор В. В. Абгарян
Техн. редактор И. В. Кошелева
Корректор Е. В. Сидоркина
Сдано в набор 19/XI 1973 г. Подписано к печати 19/1V 1974 г. Бумага 84ХЮ37з2Тип. № 1. Физ. печ. л. 5,5. Условн. печ. л. 9,24. Уч.-изд. л. 8,66. Тираж 5500 экз. Т-08417. Цена 79 коп. Заказ № 872
Издательство «Наука>, Главная редакция физико-математической литературы 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой
Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР
по |
делам издательств, полиграфии и книжной торговли, |
|
198052, Ленинград, |
Л - 52, Измайловский проспект, 29. |
|
Б |
20203 — 062 |
40-74 |
|
053 (01)-74 |
|
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ........................................................................................................ |
|
|
5 |
||
§ |
1. |
Общие результаты .......................................................... |
|
5 |
|
§ 2. Замечания о квазисредних..................................................... |
|
20 |
|||
Г л а в а |
1. Доказательство предельных соотношений для мно |
||||
|
|
говременных корреляционных |
функций........................ |
29 |
|
§ |
1. |
Общее рассмотрение |
проблемы, |
предварительные ре |
|
|
|
зультаты и постановка |
задачи.................................... |
|
29 |
§ |
2. |
Уравнения движения и вспомогательные операторные |
|||
|
|
неравенства.......................................................................... |
|
|
36 |
§ |
3. |
Дополнительные неравенства..................................... |
|
41 |
|
§ 4. Оценки для разности одновременных средних |
. . . . 44 |
||||
§ |
5. |
Замечание 1 ...................................................................... |
|
|
51 |
§6. Доказательство близости средних, построенных на основе модельного и аппроксимирующего гамильто
нианов для |
правильного расположения операторов |
в средних.............................................................................. |
54 |
§7. Доказательство близости средних при произвольном расположении операторов в средних. Замечание II . . 57
§8. Оценки асимптотической близости многовременных
|
|
корреляционных средних ...................................................... |
|
60 |
Г л а в а |
2. Построение доказательства обобщенных предель |
|
||
|
|
ных соотношений для многовременных корреляци |
|
|
|
|
онных средн и х............................................................. |
68 |
|
§ |
I. Правила отбора и вычисление с р ед н и х ................ |
68 |
|
|
§ |
2. |
Обобщенная сходимость................................................ |
73 |
|
§ 3. Замечание к обобщенной сходимости средних |
. . . . |
77 |
||
§ 4. Доказательство предельных соотношений ..................... |
|
79 |
||
§ 5. Примечание о построении равномерных оценок |
. . . |
82 |
||
§ |
6. |
Обобщенные предельные соотношения для функций |
|
|
|
|
Грина...................................................................................... |
85 |
|
§ 7. Существование обобщенных пределов.................... |
87 |
|
||
1* |
|
|
|
3 |
Г л а в а 3. Корреляционные функции для систем с четырех фермионным отрицательным взаимодействием . . 92
§1. Вычисление свободной энергии для модельной системы
с взаимодействием «притяжение»...................................... |
92 |
§2. О некоторых свойствах выражений свободной энер
гии ..................................................................................................... |
103 |
§3. Построение предельного соотношения для свобод
ной эн ер ги и .................................................................................... |
108 |
§4. О равномерной сходимости функции свободная энер
гия по 0 и об оценках величин ....................................... |
114 |
§5. Свойства частных производных от функции свобод
ная энергия и теорема 3 . 3 ....................................................... |
116 |
§6. Примечание к теореме 3.3 и построение вспомога
|
|
тельного неравенства................................................................... |
|
|
|
|
|
119 |
||
§ |
7. |
О трудностях |
введения |
квазисредних ......................... |
|
|
122 |
|||
§ |
8. |
Новый метод |
введения квазисредних.................................. |
|
|
125 |
||||
§ |
9. |
Вопрос о выборе знака членов с источниками . . . |
130 |
|||||||
§ |
10. |
Построение |
мажорационных неравенств |
в |
случае, |
|
||||
|
|
когда С — 0 |
.................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
131 |
Г л а в а |
4. Модельные системы с положительными и отрица |
|
||||||||
|
|
тельными компонентами взаимодействия..................... |
|
137 |
||||||
§ |
1. |
Гамильтонианы с отрицательными константами связи |
|
|||||||
|
|
(отталкивательное взаим одействие)...................................... |
|
|
|
137 |
||||
§ |
2. Особенности |
предельных |
соотношений для |
свободной |
|
|||||
|
|
энергии в случае систем с положительным |
взаимо |
|
||||||
|
|
действием ........................................................................................ |
|
|
|
|
|
|
|
140 |
§ |
3. |
Оценки для |
свободных |
энергий |
и |
корреляционных |
|
|||
|
|
ф ун к ц и й ............................................................................................ |
|
|
|
|
|
|
|
143 |
§ 4. Рассмотрение вспомогательной задачи.................................. |
|
|
145 |
|||||||
§ 5. Решение вопроса единственности |
.......................................... |
|
|
|
149 |
|||||
§ |
6. |
Гамильтонианы |
с константами связи |
разных |
знаков. |
|
||||
|
|
Принцип минимакса ....................................................................... |
|
|
|
|
|
153 |
||
Г л а в а |
5. О методе вычисления корреляционных функций . . |
162 |
||||||||
§ |
1. |
Общая постановка з а д а ч и ....................................................... |
|
|
|
|
162 |
|||
§ |
2. |
Способ оценки средней |
"f" |
. ...................................... 166 |
||||||
{R fR f)H |
||||||||||
§ |
3. |
Вычисление бинарных с р е д н и х .............................................. |
|
|
|
|
168 |
|||
Л итература........................................................................................................ |
|
|
|
|
|
|
|
175 |
||
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Общие результаты
Большинство проблем теории многих тел, предста вляющих физический интерес, довольно сложны и по рой неразрешимы (невозможно найти их точное реше ние). Поэтому существенный интерес приобретают мо дельные системы, допускающие их математическое рассмотрение.
К сожалению, однако, в конкретных задачах тео рии многих тел адекватного соответствия реальной си стемы и ее математической модели обычно не бывает, и приходится довольствоваться моделью, свойства ко торой существенно отличаются от свойств реальной си стемы, причем для решения задач приходится пользо ваться приближенными методами, не обладающими надлежащей математической строгостью.
Тем не менее в настоящее время этот путь рас смотрения для большинства задач теории многих тел является почти единственным. Так обстоит дело и для квантовых и для чисто классических задач.
Всвязи с этим представляет существенный интерес изучение тех немногих моделей, которые имеют неко торое сходство с реальными физическими системами, но допускают точное решение. При этом могут быть установлены основные особенности систем многих тел.
Вкачестве примеров таких систем, которые могут быть решены точно, следует отнести системы невзаимо действующих частиц. Хотя, конечно, такая модель и кажется довольно тривиальной, она используется в ка
честве исходной в большинстве задач теории многих тел. В теории металлов часто можно не учитывать
б
взаимодействие валентных электронов друг с другом. В оболочечной модели ядер в ее простейшей форме можно объяснить многие общие свойства ядерных спектров, не вводя в рассмотрение взаимодействие ме жду частицами.
Одной из важнейших проблем статистической физики является рассмотрение точно решаемых случаев. Дело в том, что такое рассмотрение вносит существенный вклад в наше понимание весьма сложных задач ста тистической физики и, в частности, для обоснования используемых там приближенных методов.
До сих пор к классу точно решаемых динамиче ских модельных систем относились, главным образом, одномерные и двумерные системы [1—6].
В настоящем исследовании остановим внимание на
рассмотрении некоторых модельных |
систем общего |
типа, допускающих точное решение. |
К ним относятся, |
например, модели с четырехфермионным парным взаимо |
|
действием, которые возникли из применяемых в теории сверхпроводимости модельных задач БКШ *); нахожде ние асимптотически точного решения последних иссле довалось в работах [7—9] Н. Н. Боголюбова, Д. Н. Зуба рева и Ю. А. Церковникова.
В этих работах был сформулирован приближенный способ, в котором предлагались идеи метода, основан
ного |
на введении «аппроксимирующих |
гамильтониа |
нов», |
и приводились основания, позволяющие счи |
|
тать |
полученное решение асимптотически |
точным при |
обычном предельном переходе статистической меха ники К->оо.
В работах |
[7, 8] |
рассматривался случай модели |
|
с гамильтонианом |
|
||
Н = |
На-\- Н-ти |
Н0= 2 (Е (р) — 1) apsaps, |
|
|
|
|
0 ) |
^ in t |
~ |
У J ( р ’ Р ) а -р , -1 ар, +1 ар ', +1а - р ', -1> |
|
Р, Р'
4*
где ар,±1, dp, ±i — ферми-операторы, V — объем системы. Ядро J (р, р') полагалось вещественной ограниченной функцией, практически исчезающей вне некоторой конечной области импульсов. Суммирование в Яmt
*) БКШ означает модель Бартина — Купера — Шриффера.
6
производится по |
импульсам р, р', принадлежащим |
к энергетическому |
слою ЕР— со < Е (р) < ЕР -f со. |
Было показано, что для такого гамильтониана можно асимптотически точно (при И->оо) построить свободную энергию. Идея этого метода состояла в том, что вводился так называемый «аппроксимирующий гамильтониан» Жй(С) — квадратичная форма из фермиоператоров, зависящая от некоторых произвольных по стоянных С. Такой гамильтониан легко диагонализуется, а затем нетрудно вычислить соответствующую ему сво бодную энергию. В этой работе приводились основа ния, позволяющие считать, что свободная энергия F0(C) становится равной F при V —>оо. Этот результат был получен с помощью теории возмущений. Вывод осно вывался на том, что каждый член ряда теории возму щений, с помощью которого вычисляется поправка к этому решению, асимптотически мал при К->оо. Однако вопрос о сходимости рядов теории возмущений не исследовался и результаты этой работы нуждались в более строгом обосновании. В связи с этим в ра боте [9] поставленная задача была рассмотрена без
применения теории |
возмущений. |
|
|
|||
Изучаемая система типа БКШ имела вид |
||||||
Я = |
2 2 T f a f a f ~ |
1 |
^ |
a f a - f a ~ !,a i ' |
+ v l> |
|
где |
f |
f.f' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 = |
+ |
|
(v > 0 ), |
||
|
f |
|
|
|
|
|
f = (p, cr), |
— / = (— p, — a), a — спиновый индекс, прини |
|||||
мающий |
значения |
1/2, —1/2. |
Импульс |
р |
принимает |
|
обычный |
ряд квазидискретных |
значений |
pa — 2nnJL, |
|||
где п(а) пробегает все целые |
числа при фиксированном |
|||||
значении |
L, LF— V. |
л2 |
|
|
|
|
Ff = -~i----ц, ц — химический' по- |
||||||
+
тенциал, а^у af — операторы, удовлетворяющие перестановочным соотношениям статистики Ферми.
/(/, f'), Wf — действительные функции, обладающие свойствами
J (/. п = 7 ( / ', /) = - / ( - f, п , |
W4 = - Wf. |
7