Файл: Баженов, Ю. М. Перспективы применения математических методов в технологии сборного железобетона.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 71

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

а) суммарный расход цемента па весь объем бетона наименьший (первый вариант);

б) стоимость всех материалов, израсходованных на приготовле­

ние смеси,

минимальная (второй вариант).

Эту задачу можно представить в виде табл. V.6.

Обозначения:

 

бетона

марки /, приготовляемого па

 

Xij

— количество

1 , 2 , . . , / , . . . , а

песке

/;

 

 

— марки

бетона;

 

A lt А.,..........

 

 

 

 

Аі, . . . .

Агл— наибольшее количество песка вида /, отпускаемое

Ръ Р*.......

для бетона;

причем А т—>-оо (т. е. не ограничено);

 

 

 

 

Pj, . .

Рп — потребность в бетоне марки / в м3;

 

с і ; і

— расход

песка вида

і на 1 м 3 бетонной смеси ви­

 

 

да /;

 

 

1 лі3 бетона марки / при при­

 

Ьц — расход цемента па

 

 

готовлении ее па песке вида /;

 

c ; j — суммарная

стоимость материалов, составляющих

 

 

1 м3 бетона марки /

при приготовлении ее па песке

 

 

вида I.

 

 

 

Целевая функция будет иметь следующий вид:

1.

При минимальном

расходе цемента и ограничении песка вид

і (первый вариант)

 

 

 

пт

£Е Ьц' х-J = мни.

£=1 /=1

2.При наименьшей суммарной стоимости бетонных смесей всех видов и ограничений песка вида

 

т

п

 

 

 

 

 

Е

Е Cjjxti = mm.

 

 

 

 

■=1 /=і

 

 

 

 

 

При этом должны быть выполнены следующие условия:

 

 

/ 2

 

 

 

 

 

 

Е а,-1 лу/

Л,-

(/ = 1 , 2 , . . . . ,

///);

 

 

 

/=1

 

 

 

 

 

 

:п

 

 

 

 

 

 

S а,-/ — Рі

( / = 1 , 2 , . . . /!);

 

 

 

/—I

 

 

 

 

 

Xij

в обоих случаях ^ 0 .

 

 

 

 

 

 

Для конкретного примера примем следующие данные:

 

 

песка /1| имеется не более

500 и/3, у, = 2,6

т/м3, -уі = 1,56

т/м3.

Сі=4,8 руб./т;

 

 

 

 

 

 

количество песка /12 не ограничено, у2= 2,6

т/м3,

у 9= 1,153

т/м3,

с2 =

2,9 руб/т;

 

 

 

 

 

 

щебень гранитный у щ= 2,6

т/м3, у1Ц= 1,48 т/м3,

Сщ= ] 1 руб/т;

 

цемент марки 500, сц= 1 2

руб/т;

 

 

 

176

бетон требуется

готовить: марки 100 — в объеме

1000 м3, мар­

ки 300— 1000 л 3 и марки 500— 500 лі3.

 

Бетонная

смесь

жесткая.

 

Проведя

расчет

по составу бетона, получаем все

необходимые

данные, которые можно записать в виде табл. Ѵ.7. Анализ данных показывает, что эта задача может быть решена симплексным мето­ дом с искусственным базисом.

Для составления симплексном таблицы напишем целевую функ­ цию и условия ограничения для конкретных данных.

Первый вариант — при минимальном расходе цемента: 0 ,195лц + 0,254*12 + 0,378*із + 0,2І4*21 +

+ 0 ,180*22 + 0,4 1 3*2з — L = мин.

Условня orраничеиня:

0,63*іі +

0,58*12 + 0,478*із

 

+

780;

 

0,58*2і +

0,525*22 +

0,416*23^5000;

*и

+ *2і

 

=2000;

 

* 1 2

+ * 2з

= 1 0 0 0 ;

 

* і з

 

+ * 23=

5 0 0 .

Второй вариант— при минимальной стоимости бетона:

19,9*іі + 20,46*1а +

21,59*із + 19,07*2і +

+ 19,87*22 + 21,26*23 = L = мин.

Условия ограничения те же.

Для обоих вариантов *ü > 0 .

Из уравнений ограничений

и коэффициентов целевой функции

составляем симплексную таблицу и методом последовательных ите­

раций отыскиваем оптимальное

решение:

 

 

Для первого варианта

 

*ті=3’20 м1

*,„=1000 мл

780 т

+ = 2 0 0 т

580 т

Л'із—0

л-2,=1680 лП

л'„=0

.v„3=500 лО

1187 т

/1.=980 т

—

207 г

2000

1000

500

-

Значение целевой функции равно 839 г.

Анализ решения показывает, что при любых других соотношени­ ях расход цемента увеличивается. Например, если готовить бетоны только на песке Л2, то расход цемента составит 914 т. Таким обра­ зом, экономия составляет 75 т, т. е. 8,2%.

При других вариантах, кажущихся оптимальными, также полу­

чается перерасход цемента в пределах 3—4%.

 

12— 1023

177

Д л я в то р о го в ар и ан та

даі=0

ду., =

о

АУ,=0

-

дг., = 2000 др

а-., =

1000 др

д\3 =.= 5000 лГ1

1893 г

Л. = 1 1 6 0 т

 

52о т

208 г

 

 

2000

 

1000

500

-

Значение целевой функции равно 68 640 руб.

составляет

Экономия

по сравнению с

другими вариантами

до 2,5%.

Ѵ.З. Графический метод решения задач линейного программирования. Если в задаче имеются всего два неизвестных, то ее решение может быть найдено графи­ чески.

Рассмотрим в качестве примера задачу производства при ограниченных ресурсах.

Пример Ѵ.З. Завод выпускает изделия двух видов. Для их вы­ пуска требуются определенное количество материалов (цемента и ар­ матуры) и определенные затраты труда и энергии. Ресурсы мате­ риалов, рабочей силы и энергии ограничены. Необходимо устано­ вить, какое количество изделий каждого вида надо изгото­ вить, чтобы стоимость продукции была наибольшей при данных про­ изводственных возможностях.

Исходные данные сведены в табл. Ѵ.8.

Т а б л и ц а Ѵ.8. Данные к примеру Ѵ.З

 

 

Показатель

Тип изделия

Имею-

 

 

I

И

іднеся

 

 

 

 

ресурсы

Стоимость одного, изделия в руб.

250

400

_

Расход

цемента в

кг . . . .

80

170

20 000

Расход

арматуры

в кг . . .

67

55

8 000

Трудоемкость

изготовления

30

40

6 000

в

ч е л .- ч ...................................

Расход

энергии в квт-ч . . .

52

67

12 000

Введем

следующие обозначения:

 

 

 

ду — число изготовляемых изделий /'-того типа;

 

 

с/ — стоимость одного изделия /-того типа;

і-того вида;

ö

— затраты на одно изделие /-того типа ресурса

Ві — общий объем имеющихся ресурсов t-того вида.

178

В общем виде уравнение целевой функции

п

£

с . х . = В-»макс.

(V. 15)

/= 1

'

 

Система ограничений, отражающая требования, чтобы возмож­ ности ми по одному виду ресурсов не были превышены, имеет вид

п

£ b. X . <й,(£ = 1 , 2 , 3 , 4).

(V. 16)

/= 1

Таких неравенств должно быть столько, сколько имеется видов ресурсов.

Неизвестные не могут также быть отрицательными величинами. Поэтому добавляется еще система ограничений

* , ><) ( / = 1,2).

(V.17)

Рис. Ѵ.1. Схема решения задачи линейного программирования гра­ фическим методом

В конкретных условиях задачи имеем следующую систему урав­ нений и неравенств:

Целевая функция 250^ + 400„ѵ2 = Z - >макс.

(V. 18)

Ограничения: по расходу цемента 80хг +

1 70а'2 <

20 000;

(Ѵ.19)

»

» арматуры 67^х +

55лг2 <

8 000;

(Ѵ.20)

12*

 

 

 

179

по трудозатратам

30*! +

40*., •; 6 000;

(V.2 1)

» расходу энергии

52.Vj -f

67ха<

12 000;

(V.22)

 

Л'і > 0,

Д'аі'-О,

(Ѵ.23)

Задачу решаем графически. На оси абсцисс будем откладывать значения Х|, на осп ординат — значения х%. Поскольку принято ог­

раничение (Ѵ.23), то рассматриваем только первый квадрант пря­ моугольной системы координат.

Предельному значению (Ѵ.19) соответствует уравнение

 

80*! + 170*0 =

20 000.

(V. 19а)

Построим прямую по уравнению

(Ѵ.19, а). Для этого

отложим

на осях отрезки (рис. Ѵ.1): на

оси

*і

20 000

отрезок а — — -----=250

 

 

20 000

80

(*2=0), а на оси *2 отрезок 6=

 

 

 

=117 (* (= 0 ).

 

Уравнению

(Ѵ.19, а) с учетом

(Ѵ.23)

соответствует отрезок AB,

а неравенству

(Ѵ.19)— треугольник ОАВ.

Любая точка внутри тре­

угольника удовлетворяет ограничениям (Ѵ.19) и (Ѵ.23).

 

Подобным образом найдем положение других ограничивающих

отрезков; значения а и 6 для уравнений

(Ѵ.20а) — (Ѵ.22а)

приведе­

ны ниже:

 

 

 

 

 

Уравнение

а

 

 

Ь

 

(Ѵ.20а)

119

 

Ы5

 

(Ѵ.21а)

200

 

150

 

(Ѵ.22о)

231

 

179

 

Построив треугольники, соответствующие другим ограничениям, видим, что возможные решения задачи следует искать внутри и на границах многоугольника ОВСА, который представляет собой мно­

гоугольник возможных решений:

Однако из всего множества решений надо выбирать только од­ но, обеспечивающее максимальное значение целевой функции. Це­ левая функция графически изображается семейством параллельных прямых. Чтобы определить их наклон к осям координат, зададимся любым значением правой части уравнения (Ѵ.18), например 20 000. Этому уравнению соответствует прямая MN ( а = 8 0, 6 = 5 0 ). Пере­

мещая прямую как можно дальше от начала координат (*і и *2 будут в этом случае возрастать), найдем такое ее положение, при котором у нее еще сохранится хотя бы одна общая точка с много­ угольником возможных решений. Таким будет положение M'N' с об­ щей точкой С. Это и будет оптимальное решение, а координаты точ­ ки С дадут ответ на условия задачи: необходимо изготовить 40 из­

делий первого вида и 98 изделий второго вида. Стоимость изделий в этом случае будет максимальной: 40-250+400-98=49 200 руб.

Анализ графика на рис. Ѵ.1 показывает, что выпуск изделий ли­ митируется запасами цемента и арматуры. Трудовые и энергетиче­

180

Смотрите также файлы