Файл: Баженов, Ю. М. Перспективы применения математических методов в технологии сборного железобетона.pdf

.фектнвностн при полном расходе выделенных для дости­ жения дели ресурсов.

Примером задач первою типа является подбор со­ става заданной марки бетона при минимальном расходе цемента, а второго типа — достижение заводом макси­ мального выпуска изделий при определенных запасах цемента или металла.

К критериям эффективности, используемым для тех­ нологических решений, предъявляется ряд требований

[ 11].

Критерий должен:

а) характеризовать эффективность технологии с уче­ том конечной цели производства, а не отдельных его этапов (улучшая, например, формуемость смеси, добав­ ка не должна ухудшать долговечность материала); одна­ ко в сложных системах при использовании ступенчатой оптимизации допускается применение разных критериев на каждом этапе;

б) оцениваться количественно и быть однозначным, причем важно, чтобы он имел физический смысл и легко вычислялся (если у критерия нет числовой оценки, то как исключение допустимо применение рангов 1, 2... по не­ которым формализованным шкалам, как это сделано, например, в работе С. В. Шестоперова [77] для оценки морозостойкости);

в) обладать статистической эффективностью, т. е. быть нечувствительным к малым случайным воздействи­ ям, и минимальной (в пределах метрологической точно­ сти) ошибкой воспроизводимости для параллельных опытов в одной серии;

г) по возможности обладать универсальностью, т. е. учитывать экономическую и техническую стороны техно­ логии (в этом смысле относительная прочность бетона на единицу расхода цемента — более универсальный критерий, чем абсолютная прочность бетона).

Выбор цели и критерия эффективности для оценки вариантов управления — важнейшие этапы решения тех­ нологических задач, управления качеством материала и производством. Чем яснее и четче технологическая фор­ мулировка задачи, тем больше гарантий успешного ре­ шения задачи.

І-З- Математическое моделирование в рецептурно-тех­ нологических задачах. Управление системой предпола­ гает принятие обоснованных решений об изменении ре-

10

цептурпо-технологических факторов X влияющих на выходы системы Y. Выбор таких решении из большого числа возможных вариантов существенно облегчается при формализации самого процесса принятия решений, основанной на количественом описании системы. В ко­ нечном счете при этом становится возможной передача значительной доли функций человека-оператора управ­ ляющей электронной машине, в основу программы кото­ рой заложена математическая модель поведения си­ стемы.

Вне зависимости от привлекаемых к решению задачи методов анализа (физики, химии, кибернетики и т. д.) возникает необходимость построения некоторых абстрак­ ций. Модель является особой формой абстрагирования, т. е. отвлечения тех или иных элементов и связей от мно­ жества реально существующих в системе. Модель [80] характеризуется как мысленно представляемая или ма­ териально реализуемая система, которая, отражая или воспроизводя объект исследования, способна давать ин­ формацию об этом объекте-оригинале. Модель и ориги­ нал не тождественны во всем, а лишь аналогичны хотя бы в-одном определенном смысле. Наиболее существен­ ной для данной области является классификация моде­ лей исходя из тогог какие стороны объекта представлены моделью. По такой классификации модели могут быть: субстанциональные, структурные и функциональные

[32].

У субстанциональных моделей их материал (субстан­ ция) по своим некоторым свойствам совпадает с мате­ риалом оригинала. Например, контрольный образец-ку­ бик бетона, изготовленный параллельно с конструкцией,

свойствам совпадает с бетоном в конструкции.

Под структурной моделью понимается модель, имити­ рующая внутреннюю структуру оригинала (способ орга­ низации элементов объекта). При этом может моделиро­ ваться как структура процесса (например, технологиче­ ская схема производства бетона, транспортные потоки внутри предприятия),- так и «статическая» структура (например, способы укладки зерен заполнителя различ­ ных фракций в массе бетона, схема размещения армату­ ры в железобетонных конструкциях и т. д.).

Функциональные модели имитируют способ поведе-

11

ния (функцию) оригинала. Функциональный подход, роль которого в современной науке резко возросла, характеризуется как бы двойной абстракцией — абстра­ гированием сначала от вещественной субстанции систе­ мы с подразделением ее внутренней структуры на от­ дельные элементы и последующим абстрагированием этой системы с выделением ее функциональных связей со средой.

Обобщенной абстрактной функциональной мо­ делью является теоретически разработанный в киберне­ тике метод «черного ящика». Понятие «черного ящика» описывает такую систему, внутренняя структура которой неизвестна и недоступна для наблюдения, а известны лишь параметры «входа» X (факторы) и «выхода» У. В этом случае задача управления сводится к подбору таких уровней X, которые обеспечили бы определенные значения У, в частности оптимальные. Исследуя значе­ ния Хі и соответствующие им значения У, можно найти закономерность, описывающую эту связь. Такой подход в задачах технологии бетона и железобетона позволяет абстрагироваться от некоторых сложных и пока мало­ изученных физико-химических явлений, происходящих при производстве и эксплуатации бетонов. Однако он не отрицает необходимости дальнейших исследований при­ чин явлений и структуры системы.

Метод «черного ящика», основанный на использова­ нии эмпирических способов при системном кибернетиче­ ском подходе, поднимает решение технологических задач на качественно новую ступень, так как позволяет найти и использовать в управлении технологией новые, в част­ ности статистические закономерности. В результате ко­ личественного исследования модели «черного ящика» удается получить совокупность соотношений, которые выражают в виде математических зависимостей (графи­ ков, уравнений, неравенств, логических условий п т. д.) реальные физические характеристики системы. Эта сово­ купность соотношений вместе с условиями, ограничиваю­ щими пределы изменения физических характеристик, позволяет построить математическую модель —дать опи­ сание системы на формальном языке, с помощью кото­ рого возможно вывести суждение о некоторых чертах по­ ведения этой системы.

В технологии бетона издавна стремились обобщить опыт в виде математических моделей, отражающих те

12

или иные стороны наблюдаемого явления. Уже в первых работах (И. Г. Малюга, Р. Фере и др.) сложились три направления количественного описания закономерностей технологии бетона, которые получили развитие и в даль­

нейших исследованиях:

л

а) построение графиков Y=f(X) при прочих равных условиях (например, построение графика зависимости прочности бетона от цементно-водного отношения);

б) описание таких графиков эмпирическими форму­ лами, например описание прочности бетона известной формулой Боломея Rq= A R 4(U,/B— С);

в) построение аналитических формул на основе неко­ торых физико-химических представлений (сначала в ал­ гебраической, а позже в дифференциальной форме).

В зависимости от исходной информации получают мо­ дели, описывающие с известной точностью определенный процесс или явление, как, например, обобщенные модели прочности бетона (типа формулы Боломея с коэффици­ ентами, усредненными по результатам испытаний бетона на разных материалах), либо частные модели, описы­ вающие данный процесс или явление в конкретных усло­ виях, например модель прочности бетона (график или формула) для определенных видов материалов, исполь­ зуемых на данной стройке.

Наибольшую сложность при построении любой мате­ матической модели представляет решение вопроса о вы­ боре формы связи между переменными. Однако ряд трудностей моделирования можно исключить, если при­ нять ограничение: модель должна как можно точнее описывать поведение системы в конкретной ситуации. Тогда можно исходить из принципа максимальной на­ чальной простоты модели поведения, не искать в каждой задаче специфических математических форм связи меж­

Воспользовавшись тем, что любую непрерывную фун­ кцию можно разложить в ряд Тейлора, который преоб­ разуется в степенной ряд, начальную модель поведения системы удобно представить в виде полинома т-й сте­

13

При расчете необходимо по результатам исследова­ ния системы как можно точнее найти оценки в та­ кой локально-интегральной модели [54]. Это позволяет

для истинного значения Уо получить по модели (1.2)

А

расчетную величину У.

Вычислительная процедура определения коэффици­ ентов bo, bi, Ьц, bij... модели (1.2) построена на основе метода наименьших квадратов. Сущность этого метода разъясняется ниже при оценке коэффициентов Ь0 и Ь\ в полиноме первой степени (линейная зависимость) от од­ ного фактора Х\. Обобщение метода на случай произ­ вольного числа факторов будет дано ниже, в гл. IV.

предположить, что У находится в линейной зависимости от Хи то поведение системы описывается моделью

Необходимо подобрать такие значения Ь0 и Ь\или так провести прямую на рис. 1.4, чтобы модель (1.3) наибо­ лее полно удовлетворяла данным табл. 1.1. Провести прямую через все точки с координатами (Хщ, уи}, как правило', невозможно. Это объясняется тем, что или из­ мерения Х 1и и уи весьма точны, но предположение о ли­ нейном влиянии Х[ на У несовершенно, или влияние X і на У действительно линейно, но уи измерены со значи­ тельной погрешностью, или несовершенна гипотеза ли­ нейности и существует погрешность измерения уи (наи­ более часто встречающийся случай в технологии бето­

14

на). Следовательно, всегда между наблюдаемым значе-

Л

нием у и и рассчитанным по модели значением Yu будет разница А«'

л

Рис. 1.4. Зависимость коэффи­ циента раздвижки зерен Кр от

содержания в бетоне цемент­ ного теста

Показано, что наименее громоздкие вычислительные схемы [35, 45] получаются в том случае, если минимизи­

Для нахождения минимума (1.6) необходимо прирав­ нять нулю частные производные по всем неизвестным (их два: Ь0 и Ь\). После дифференцирования имеем так называемую систему нормальных уравнений:

или

15