ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 65
Скачиваний: 0
116 |
Глава 5 |
Для свободного максвелловского поля, представимого в виде
|
|
Ат= А'т+ |
•Л'т 1 |
(5.6.10) |
||
нормальное произведение записывается в виде |
|
|||||
: А т(лч) А п (if): = J m(я1) d n (if) + |
J m+ (x*) J n(if) + |
|||||
|
+ J f |
(if) J m(о?) + |
Jm +(s*) A t f (f)- |
(5.6.11) |
||
Б. |
Система, |
состоящая |
из |
максвелловского |
||
|
и дираковского полей |
|
||||
Перепишем лагранжеву плотность (3.5.4) в виде |
||||||
Л = — j |
: ВтпВтп : - - ~ { : W |
‘ ('I', i. - iaAhW ):~ |
|
|||
|
- : (Wt h+ |
iaAhW) / 4 |
х: + |
: W : } . |
(5.6.12) |
|
При этом сопряженный бнспииор равен 4х = Чг+Р, где через 4х + обозначен эрмитово сопряженный бнспииориый оператор. Для симметричного тензора энергии-импульса
(3.5.7) получим теперь выражение
Ти = : BimBmj : + 1 gu : BmnBmn: -
- |
f: ^ |
lYi ( T i - taAjV) I- y} (4х, , - iaAfP)} : - |
- |
: {(Tx, , |
+ iaAtl?) y j-j -('F, j f ia A ft) y,} 'Iх :]. (5.6.13) |
Плотность электрического 4-тока (2.4.11), удовлетворяю щая уравнению непрерывности, записывается здесь как
jk = iec : ЧУг¥ : . |
(5.6.14) |
Для свободного дираковского поля, представимого в виде
Чх=.И + 5 +, ¥ = Л ++ 35 |
(5.6.15) |
(использована обычная символика), ввиду фермиевского характера этого поля нормальное произведение удовлетво-
|
Непрерывные симметрии в квантовой теории |
117 |
||
ряет соотношениям |
|
|
||
: ¥ а (Я) |
{if): = |
— J f { f ) А а {х{) + |
Ва+(Я) J f |
{if) + |
|
- М а (Я) ^^{y^ + B f {х{)33${1/), |
(5.6.16) |
||
: 'Fp {if) |
(Я ): = |
J f {if) Aa {xi) + |
{if) Aa {x*) + |
|
|
+ |
{ f ) B f { f ) - B f |
(Я) SSb {if), |
(5.6.17) |
: 4 a {x?) vIfp { f ) : = |
¥ a (Я) ¥p {if), |
|
(5.6.18) |
|
|
|
: % (a:*) ¥ 3 {if) : = ¥ a { f ) % {if). |
(5.6.19) |
|
Использованные здесь строчные греческие индексы нумеруют компоненты бистшоров и пробегают значения от 1 до 4.
В. Нерелятнвистская квантовая механика
Гейзенберговское представление
Для операторов координат QA и операторов импульса
5Да, как известно, справедливы гейзенберговские переста новочные соотношения
а) |
[Qa, Qb] = 0, |
6Ш а , 5Рв1 = 0, |
(5.6.20) |
|
в) |
[Qa , £),B] = ih6 |
АВ. |
||
|
||||
Для |
оператора вида |
|
|
|
|
Я = Я (О а , $ а , «) |
(5.6.21) |
||
имеет место гейзенберговское уравнение движения
(5-6-22)
К этому уравнению мы пришли уже в квантовой теории поля (5.5.7). Если подставить в качестве ?! конкретные операторы QA, и Я , получим1 отдельные уравнения движения
^ = ± [ Ъ л , В { Ъ в Л в , t)], |
(5.6.23а) |
||
|
*)], |
(5.6.236) |
|
dl-I |
дП |
(5.6.24) |
|
dt |
dt |
||
|
|||
118 |
Глава 5 |
Для произвольного вектора состояния |Ф) справедливо уравнение движения
dI Ф) _q |
(5.6.25) |
|
Оператор Гамильтона II н оператор Лагранжа L связаны между собой соотношением
L (Си, Ол, t) = S SPaQa - Н (QA! «рА, t) (5.6.26)
А
(тонкой обозначена полная производная по времени).
Принцип Гамильтона
t'2 |
|
|
|
|
|
б|ПсЙ = |
0 |
(6QA|t, = 6 a A |t, = 0) |
(5.6.27) |
||
<i |
|
|
|
|
|
приводит к уравнениям Лагранжа |
|
|
|||
8L |
dL |
d |
I 9L |
= 0 . |
(5.6.28) |
|
д £ л |
dt |
( |
||
|
|
|
|||
По аналогии с классической механикой (см. гл. 2, § 2) можно ввести канонические преобразоваипя. При переходе к бесконечно малому каноническому преобразованию мы приходим к инфинитезимальному генерирующему (про изводящему) оператору I, удовлетворяющему по аналогии с (2.1.23) уравнению
§ - 4 г + - ж 1 ' - я 1- |
<5-6'29> |
Подгоняя друг к другу бесконечно малые каноническое и унитарное преобразования в смысле (5.4.1), получим уже записанное как (5.4.6) соотношение
5 3 = - - ^ - / . |
(5.6.30а) |
Для случая системы материальных точек при наличии лишь внутренних сил величина I становится сохраняющей ся и принимает вид
J = - a S $ Q- ^ / - b S ( C q X ? q) -
- b ( < 2 f e - S m n C i o ) . (5.6.306)
8 О
Непрерывные симметрии в квантовой теории |
119 |
подобный (2.1.35). В этом выражении индекс Q нумерует частицы системы. Векторные обозначения (стрелка) слу жат для объединения компонент, принадлежащих всякий раз одной данной частице. Это выражение в точности соот ветствует конструкции (5.4.23) при ее сведении к случаю механики.
Шрёднпгеровское представление
С помощью унитарного преобразования
а) ¥ =1Ш И +,
(5.6.31)
б) |ф) = И|Ф),
где унитарный оператор U определяется дифференциаль ным уравнением
или 1lH = i h ^ - , |
(5.6.32) |
осуществляется переход от гейзенберговского к шрёдингеровскому представлению. В последнем представлении гейзенберговские перестановочные соотношения сохраня ют привычный вид
a) [Qa . 0*1 = 0, б) [$ а , ! в] = 0, |
(5 6 33) |
в) [Q,a . $ в] = ^5лв,
уравнения движения для операторов принимают вид
dt |
dt |
(5.6.34) |
|
а уравнение движения для произвольного вектора состоя ния сводится к уравнению Шрёдингера
Я ( ф ) = и д а . |
(5.6.35) |
ГЛАВА 6
ДИСКРЕТНЫЕ СИММЕТРИИ
ВПЕРЕД ЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
ИВ ЧАСТНОРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
§1. Общая теория
Вгл. 4, § 1, мы рассматривали несобственные преобра зования Лоренца. Так как там не делалось никаких пред положений о природе полевых функций, все сделанные
выводы можно перенести без каких-либо ограничений на квантовую теорию поля. К несобственным (дискретным) преобразованиям Лоренца в квантовой теории поля до бавляется еще одно важное дискретное преобразование, чуждое классической теории, а именно преобразование зарядового сопряжения (переход от частиц к античасти цам). Так как характерным элементом квантовой теории поля является учет частиц и античастиц как квантов данного поля, зарядовое сопряжение представляет собой специфическую операцию квантовой теории поля.
Ниже дается общее изложение теории дискретных симметрий.
В ходе квантового обобщения непрерывных преобра зований нас интересовали унитарные или антиунитарные преобразования U, так как они обладают важным свой ством оставлять инвариантными вероятности переходов.
Этого требования следует |
продолжать придерживаться |
из физических соображений. |
Значит, оператор U должен |
описывать преобразование симметрии; при этом, согласно (5.3.10), выполняется соотношение
UA(o:i')U+ = A (xi). |
(6.1.1) |
Приняв равенство (5.3.4) |
|
U . m= 0, |
(6.1.2) |
мы еще прежде могли установить форм-инвариаитиость уравнений движения. Пусть это предположение сохраняет силу и для дискретных преобразований.