Файл: Толстоусов, Г. Н. Прикладная теория информации учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 73

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Корреляционную функцию найдем с помощью обратного преобразова­ ния Фурье. Учитывая четность корреляционной функции, получим

 

Ч

 

 

 

S(o)) соѣоУо (Со) ~

-Ч

 

 

z u r

■<L «А

cos

coseDtsctcD,

K~Q

«I

 

При значениях

ЧГ , определяемых

(17.I I ) , имеем

Следовательно, в искомых точках корреляционная функция обратит - ся в нуль, если только спектральная плотность постоянна ( ^ Д ) ) ( я ., = = . . . . , = О).

Отсчеты сообщения по Котельникову взаимонезависимы только для случайного шума’ (спектральная плотность постоянна, закон распределения нормальный).

Практическое использование теоремы Котельникова связано со следующими трудностями:

1. Для восстановления сообщения по принятым отсчетам прием­ ник должен генерировать функции отсчетов. В точном виде воспро­ извести функцию отсчетов невозможно, так как начало её воспроиз­ ведения должно опережать на бесконечный промежуток времени мо­ мент приема соответствующего отсчета. Кроме того, эта функция отсчета должна сразу умножаться на еще не принятый отсчет. Поэ­ тому указанные операции можно начинать только после приема отс­ чета, что вызывает запаздывание в восстановлении сообщения. Чем меньше запаздывание, тем больше ошибка восстановления, так как тем большая часть левой ветви функции отсчетов отбрасывается

(см. рис. 17 .2).

2 . Сообщения имеют ограниченную длительность. И8вестно,что функция, ограниченная во времени, в общем случае имеет спектр о неограниченной полосой. Тогда шаг квантования по времени умѳнь-

100

шаѳтся до нуля - сообщение должно передаваться непрерывноіЧтобы сохранить дискретность передачи, искусственно вводят ограни­ чение на полосу частот 2/» (рис. Г?.4 ). Среднеквадратичная величина отклонения восстановленного сообщения 25(b) от пе­

реданного x>(t) оценивается выравениеы

оо

 

Рл

 

^

з р

л '

 

(ал)

 

 

—оо

 

 

 

 

 

 

где

Рд - мощность отбрасываемой части

спектральной плотно­

 

сти,

 

 

 

_

 

 

 

 

 

 

 

 

а**

 

 

 

 

 

P^-^rß^cC oO .

(w s)

 

 

 

 

 

Заметим, что ошибка вос­

 

 

 

становления в основном сказы­

 

 

 

вается в начале и конце сооб­

 

 

 

щения.

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, если по-

 

 

 

грешность в восстановлении

 

 

 

сообщения допустима, то лю­

 

 

 

бое

непрерывное сообщение

 

 

 

монет быть квантовано по вре­

 

 

 

мени.

 

 

 

 

Для высокочастотных сигналов

(например, модулированных ра­

диосигналов) спектр занимает полосу

IJ)

, не еодеряащую

низких частот (рис. 1 7 .5 ).

Для таких

сигналов теорема

Котель­

никова применяется в следующем виде.

Отчетами

являются взятые

через

интервалы

времени

-у

г-

значения огибающей вы-

сокочастотного

сигнала. Функция отсчетов

(рис.

17.6)

 

где

фаза высокочастотного сигнала в точке отсчета;

 

~ средняя угловая скорость. .

Следовательно, для передачи высокочастотного сигнала на

интервале

времени 7* необходимо через интервалы времени

a t -

передавать значения огибающей и фазы. Всего нѳ-

U l~U i

IOI

 

IfCju})I

 

обходимо передать ,27Y

 

 

значений.

 

 

 

 

Вместо передачи

сиг­

А

А

T>-w

нала можно по канаку

связи

передать его спектр и за­

- w ^ -w,

V/,

 

 

 

тем с помощью обратного

Рис.

17.5

 

преобразования Фурье вос­

 

 

 

становить сигнал. Сущест­

вует теорема Котельникова в частотной области, которая указыва­

ет, что для передачи

по каналу связи спектра функции, заданной

на интервале времени

Т , необходимо передать значения модуля

Учитывая сим­ метрию спектра относительно начала координат, получим, что по

каналу связи необходимо передать, как и во временной области, ZT ьГс значений.

§18. Квантование непрерывного сообщения по уровню

Впредыдущем 'параграфе показано, "чтоінепрѳрывноѳ сообщение может быть представлено с помощью дискретных во времени отсче­ тов. Но при этом отсчеты являются непрерывными случайными в ели-

102

чинами. Для их передачи передатчик должен иметь бесісонѳчно боль­ шое многообразие сигналов. Практически в этом нет необходимости. Действие различных помех, в тон числе погрешностей измерения и пре­ образования приборами первичной информации, делает принципиально невозможным абсолютно точное восстановление сообщения. Поэтому нет смысла передавать абсолютно точно сигнал. Можно отказаться от передачи непрерывных отсчетов и выбрать конечное число уров­ ней сигнала, подлежащих передаче. Представление непрерывного сиг­

нала в ■'»иде дискретных отстоящих друг от

друга уровней называет­

ся квантованием

 

по уровню.

Весь диапазон изменения сигна-

 

 

 

 

 

 

ла

+ x,moJx. делится на интер­

 

 

 

валы, называемые шагами квантования^

 

 

 

(рис. 18 .1 ).

Внутри каждого

шага

 

 

 

выбирается некоторое значение,на­

 

 

Xmax

зываемое

уровнем квгнтования

Х і .

 

 

Когда значение сообщения лежит

 

Хп

внутри

К

-го шага, то его точ­

&ІГ::

 

ное значение

заменяется

значением

 

-Хг.

Ң -го

уровня

Хгк

. Примерная

 

картина квантования по уровню пока­

"Л__--хХтіп<

зана на рио. 18.2.

 

 

 

Очевидно, что при квантовании

 

 

 

по уровню появляется ошибка. Ошиб­

Рис.

18.1

ка равна

разности

между истинным

значением и передаваемым уровнем.

 

 

 

Очевидно также,

 

что ошибка случайна

и должка определяться нѳко-

ЮЗ

Рассмотрим некоторый фиксированный момент времени.

П ред-,

половим, что сообщение находится внутри шага

(рис.

18 .3).'

Ошибка

 

 

£ к = X — Х к

Вероятность различных значений ошибки определяется плотноотыо ве­ роятности сообщения \л?(х.) V Мате­ матическое ожидание ошибки

М(ек)-[ /x~xKJW(x)d x .

Предполагая шаг квантования малым, можно принять плотность веро­

Рио. 18.3 ятности внутри рассматриваемого ин­ тервала постоянной. Тогда

M(e«)=WfxK)j (x-xK)cLx =

W )

Ш )

Теперь выберем положение уровня X * так, чтобы среднеквадра­ тичное значение ошибки на этом шаге было минимальными Дифферен­ цируя по варьируемому параметру, получим условие экстремума

дМІб,

W(Xx)j~(xKtf. - Хк)

+(хк^. - Хк)J - О.

ЬХ,

 

 

104

Oiсюда

ЭСк —±(сЕк-£ ~'%к) .

При знаке "+" имеем

 

Як +І —

•

Верхняя и нижняя граница шага

совпадает, что соответствует от­

сутствию квантования.

 

При знаке

имеем

 

( « з ;

Уровень должен выбираться посредине шага квантования. Тогда математическое ожидание ошибки равно нулю. Среднеквадратичная ошибка равна дисперсии. Подставляя (18.3) в (18.2) и учитывая

У*

У' _

^

“Scv-j£

'л'к~

2 >

“£/С- І — 'Я'Л' =

>

получим

Теперь просуммируем полученное значение дисперсии по всем уров­ ням:

■ № ) = - £ г ъ і * к ) - і £ -

Для равномерного шага квантования дисперсия

Рядом исследований выяснено, что корреляционная функция ошибки квантования имеет интервал корреляции в 5-10 раз меньший, чем интервал корреляции квантуемого сообщения. Поэтому практически

105

ложно считать, что ошибка квантования есть белый шум, некорре­ лируемый с квантуемым сообщением.

Таким образом, в двух последующих параграфах показано, что сообщение непрерывного источника информации может быть в принци­ пе передано с помощью отсчетов,дисретных по времени и по уровню, Следовательно, разделы теории информации, посвященные дисрѳтным источникам, применимы и к изучению непрерывных источников инфор­ мации. Однако следует помнить, что при дискретизации непрерывно го сообщения возникают ошибки. Восстановленное сообщение отлича­ ется от переданного. Величина допустимой ошибки должна быть вы­ брана исходя из величины погрешностей и помех, действующих в информационной системе.

§ 19. Выбор отсчетов случайного процесса

Предыдущие результаты показали, что в принципе сообщение непрерывного источника может быть передано по каналу связи с помощью дискретного числа отсчетов, дискретных по величине. Од­ нако приемник практически по этим отсчетам не может восстано­ вить переданное сообщение с абсолютной точностью. Если погреш­ ность в передаче допустима, можно предложить еще ряд способов

дискретизации непрерывного

сообщения.

 

Задача ставится следующим образом. Имеется сообщение не­

прерывного

источника х(£)

(рис. 19.І а ) . Необходимо в неко­

торые моменты времени

передать по каналу связи

отсчеты

сообщения

x (6ö)

(рис. 19.16). Приемник с помощью заданной

воспроизводящей функции

 

 

 

x(é)= {[x(t0)t х(б,)}

(/а і)

восстанавливает непрерывное

сообщение по переданным

отсчетам

(рис. 19.Ів ) . При

восстановлении сообщения ошибка будет равна

 

 

£(Ъ )=х (-ѣ ) -S i( t) .

(/9.z)

Необходимо для данного сообщения и заданного критерия точности выбрать воспроизводящую функцию (в том числе и времена отсче­ тов ), чтобы число отсчетов, передаваемых по каналу связь, было минимальным. К сожалению, эта задача в общем виде не реше­ на.

106

Рис. 19,1

Рассмотрим некоторые, используемые в настоящее время, спо­ собы дискретизации. Предположим, что дискретизация по времени производится с постоянным шагом Л . В этом случае по каналу можво не передавать информацию о временах“ отсчетаТ^За крите­ рий точности выберем модуль наибольшего значения ошибки

б0~тлх{хі(і)~ £ (±)1 Ш

В качестве воспроизводящей функции можно выбрать, например,

степенной многочлен Лагранжа

x ( 6h . è a t K

,

(* > ;

 

і.^0

 

 

где коэффициенты 6 t ;

выбираются так,

чтобы

 

£(ь) - х ( і )

при

 

.

Тогда в моменты времени, не совпадающие с временами отсчетов,

текущая ошибка оценивается выражением

107

Ф ) < ш т к йЛН[ Ф

-<)— в - " - ) ] '

<■**)

где Мп,+{

- модуль и аксимального значения (ги-і) - й произ­

 

водной функции Oc(t) ;

 

2 =

^ 2 ^

ПРИ

Ь ^ Ь ^ -Ь ь+і.

 

Для функций, ограниченных по модулю и имеющих спектр, ог­ раниченный полосой частот bJ^ - , оценку модуля произ­ водной можно проводить согласно неравенству Бернштейна:

^ сд^ т сис(o c (t)lг 0 4 6 * ° ° ,

(/9.6)

Наиболее простым с точки зрения технической реализации являет­ ся воспроизводящий многочлен нулевой степени ( П = 0 ) . Для построения воспроизводящей функции необходим только один отс­ чет. По этому отсчету сообщение воспроизводится только на про­

тяжении одного шага квантования.

Значение

£ (t) равно

либо

предыдущему отсчету (восстановление с

экстраполяцией,

рис.

1 9 .2 ),

либо

последующему отсчету

(восстановление с интерполя­

цией,

рис.

1 9 .3 ). Текущая ошибка

согласно

(19.5) может быть на­

ибольшей на концах интервалов (

£

= I )

и оценивается выраже­

нием

 

 

 

 

 

 

смысл которого ясен, ибо Мі - -модуль максимального значения первой производной. Учитывая (19.3), шаг квантования по време­ ни выбирается из условия

£о

й = Мі

Очевидно, что при этом текущая ошибка, как правило, будет мень­ ше £о . Воспользуемся неравенством (19 .6), Тогда вместо (19.7) получаем

<5?

Ш )

бОс пьсисІэо/6)І

 

108

Смотрите также файлы