Файл: Толстоусов, Г. Н. Прикладная теория информации учеб. пособие.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 78

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
(16.И)

г

При этом, кроме того, для бесконечного ряда выполняется условие сходимости в среднем к данной функции

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f f e W - £ (b)]ZcLt — * О

 

при К

"

Ш

Разложение (16.3)

может быть представлено

в следующем виде:

 

т і ‘ Л0

 

 

* Ъ .),

 

 

 

to )

где

 

ои

 

 

 

 

 

 

 

 

* • =

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А л = \/а £ + 6 ъ І

У

 

 

 

Ш )

Первый член

ряда

А0

есть

среднее

значение функции

/(б)

за

период. Второй член -

косинусоида

о периодом,

равным периоду

функции, амплитудой

А *

и сдвигом фазы

^

. Третий член -

косинусоида

с периодом, равным половине периода функции,

и г.д .

Таким образом, периодическая функция может быть представ­ лена в виде суммы гармоник с периодами, кратными периоду функ­ ции.

Набор амплитуд /А» называется дискретным спектром функции

№ ).

Покажем более компактный способ нахождения дискретного спектра. Заменим тригонометрические функции в (16.3) и (16.6)

.с помощью соотношений

е Г -

в -/ х

,

 

SUIX=------ -----------

 

<f

e 'J *

too)

e</x +

 

 

COSX,-

 

 

 

 

Получим разложение функции в форме комплексного ряда Фурье:

оо

rüJTf

°°

 

*HzZlj.

85


где коэффициенты ряда

т

 

J

 

г

 

 

 

 

^ПГ ZT

' ^

е

 

 

Коэффициенты Сц - комплексные. Представим их в виде

 

/I

/ІЛ Л /Ä ,

 

(16./з)

Иэ (16.12) следует, что

коэффициенты с одинаковьши

по модулю

индексами

являются комплексно-сопряженными:

 

 

£»=Спг

_Ап, Q і

(i6.1i)

 

z

 

 

- n r 1'n r

 

 

Найдем сумму двух членов ряда

(16.I I ) с одинаковыми

по модулю

«ядеш ш »:

^

 

£2.А

 

С „ в '^ 1+G, г

 

т

 

 

 

 

=A*cos(-2f-è+%,)'

 

Сравнивая полученный результат с (16.8), видим, что

введенные в

(16.13) величины Ап,

и

%,

есть амплитуды и фазы

гармоник.

Нодуль комплексного коэффициента

Сң. (16.12) равен

половине

амплитуды гармоники*^, а фаза

совпадает с фазой

гармоники.

Согласно (16.14) коэффициенты комплексного ряда вычисляются только для іъъ 0 .

В качестве примера найдем дискретный спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов (рис. 16.I ) . Коэффн-

86

I


ловицѳ амплитуд

гармоник, а на

рис. 16.2в - фазы.

 

Рассмотрим

два предельных

случая. При ZcP2,Т

(паузы

между импульсами отсутствуют) все коэффициенты ряда согласно (16.15) равны нулю, кроме С0-А . Получен очевидный результат: для постоянной функции ряд Фурье равен константе, спектр суще­ ствует только на нулевой частоте.

При (Р-^-Т (импульсы бесконечно малой длительности) все коэффициенты ряда равны между собой. Дискретный спектр в этом случае постоянный во всей области частот, но амплитуды гармоник бесконечно малы.

В этих двух случаях отражается известная закономерность. Чем уже функция, тем слабее убывают амплитуды гармоник с ростом частоты.

Рассмотрим выражение

для среднеквадратичного значения сиг­

нала или

средней мощности

сигнала,

рассеиваемой

на сопротивле­

нии I Ом:

 

 

т

 

 

 

^ - 4

т

/

 

 

Используя

соотношение

(16.7), куда

вместо

подставлено его

87

i Ca

Рис. 1 6 .2

выражение в форме (1 6 .I I ) , получим

_

Т

т

пя


Последнее слагаемое получено при условии, что в силу ортогональ­ ности при гьФ~в

Учитывая равенства (16.12) и (іб .І^ п о л у ч аем

/ ^ • г £

/ c j -

f_

Ic„F= £j c J ^

/г=-ео

Q

/Ь-'-оо

fb~~00

Об. /6)

Средняя мощность сигнала равна сумме средних мощностей гармо­ ник.

В практических задачах функция воспроизводится с помощью ограниченного ряда. Найдем выражение для среднеквадратичной ошибки воспроизведения:

Повторяя использованные при выводе (16.16) вычисления и само соотношение (16.16), получим

Обгу)

-г *

Среднеквадратичная ошибка воспроизведения функции ограниченным рядом равна средней мощности неучитываемых гармоник.

Рассмотрим аадачу воспроизведения непериодических функций. Пусть функция аадана на интервале - Т й . Вне это­ го интервала функция равна нулю. Если интервал конечен, то иног­ да возможен следующий путь решения. Функция воспроизводится с помощью тригонометрических рядов (16.3) или (16.I I ) . Но при та­ ком способе воспроизведения функция не равна нулю вне интерва­ ла, а периодически повторяется. Поэтому с помощью дополнитель­ ных условий воспроизводящий ряд вне интервала обращается в нуль. Когда такой путь решения неприменим, а также в случае бес­ конечного интервала, необходимо распространить понятие комплек-

89

сного ряда

Фурье

для

случая Т - — 00 . Запишем угловув

скорость

гь-й гармоники

в

виде

 

 

^7fr= n .A Ü Ö ~ сЭ,

(16.18)

аг

разница угловых скоростей соседних гармоник.

где АСЭ^гр— -

Из (16.18)

имеем

 

 

 

 

 

 

 

(16.13)

Подставляя

(1 6 .1 3 ),и

(16.19) в (16.I I ) и (16.12) и переходя

при

суммирования к интегрированию, формально*

получим

гармоническое разложение функции в виде интегральной формы Фурье:

(16Л0)

При условии абсолютной интегрируемости и конечного числа разрывов непрерывности функции f(€) эта форма всегда существу­ ет*' .

Обозначим

(16JL1)

F'(jo^) называется спектром функции f ( t ) . Тогда согласно

(16.20) функция через свой спектр определяется следующим обравом:

Ш

=

7

^

Г

Ші )

 

“Loo

 

 

 

 

Выражения (16.21) и (16.22) называются соответственно прямым и обратным преобразованием Фурье.

Видно, что и в случае 7”—1*ив функция может быть определе­ на либо зависимостью от времени, либо с помощью спектра F (j(А) , зависящего от частоты. Спектр есть непрерывная комплексная фун­ кция от cJ , Если представить спектр в виде

Форма Фурье существует и для ряда абсолютно неинтѳгрируемых функций, например Sift(££f ~t0) и т .д .

90


 

 

F ( / ü ) ) = j F ( j - o ) ) l e * 9(f

 

У

so M

/ t J >1

характеризует амплитуду,

a &(<*>) -

фаэу

гармоник с частотами, близкими к

и)

.

Примерная зависимость

модуля и фазы от

показана на

рис. 16.3. Нодуль -

функция

четная, а фаза - нечетная. Из (16,12) следует, что амплитуда

гармоники с некоторой фиксированной частотой oJ—

бесконеч­

но мала. Модуль спектра определяет некоторую суммарную амплиту­

ду гармоник,

частоты

которых лежат

около

 

<*А? в диапазоне

&(л)

. Эта

суммарная амплитуда

равна

 

 

 

z/f(JcJ0)!ü ü .

-V

Г t

'Рис. ів .а .

Рио. 16.4

Функция f(t) пред­ ставляется в виде суммы бесконечно большого числа гармоник, сосед­ ние частоты которых отличаются на бесконеч­ но малую величину. Ам­ плитуда каждой гармо­ ники бесконечно мала.

Для примера най­ дем спектр одиночного прямоугольного импуль­ са, показанного на рис. 16.4. Согласно

(16.21) имеем

Г ( / ф

s£fb

С077

Непрерывный спектр прямоугольного импульса показан на рис.16.5 Найдем выражение для анергии сигнала через его спѳктг

Используя (16.22), можно записать