Файл: Толстоусов, Г. Н. Прикладная теория информации учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2024
Просмотров: 78
Скачиваний: 0
г
-т
При этом, кроме того, для бесконечного ряда выполняется условие сходимости в среднем к данной функции
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f f e W - £ (b)]ZcLt — * О |
|
при К |
" |
Ш |
|||||
Разложение (16.3) |
может быть представлено |
в следующем виде: |
||||||||
|
т і ‘ Л0 |
|
|
* Ъ .), |
|
|
|
to ) |
||
где |
|
ои |
|
|
|
|
|
|
|
|
* • = |
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А л = \/а £ + 6 ъ І |
У |
|
|
|
Ш ) |
||||
Первый член |
ряда |
А0 |
есть |
среднее |
значение функции |
/(б) |
за |
|||
период. Второй член - |
косинусоида |
о периодом, |
равным периоду |
|||||||
функции, амплитудой |
А * |
и сдвигом фазы |
^ |
. Третий член - |
||||||
косинусоида |
с периодом, равным половине периода функции, |
и г.д . |
Таким образом, периодическая функция может быть представ лена в виде суммы гармоник с периодами, кратными периоду функ ции.
Набор амплитуд /А» называется дискретным спектром функции
№ ).
Покажем более компактный способ нахождения дискретного спектра. Заменим тригонометрические функции в (16.3) и (16.6)
.с помощью соотношений
е Г - |
в -/ х |
, |
|
|
SUIX=------ ----------- |
|
|||
<f |
e 'J * |
too) |
||
e</x + |
|
|
||
COSX,- |
|
|
|
|
Получим разложение функции в форме комплексного ряда Фурье: |
||
оо |
• |
rüJTf |
°° |
|
*HzZlj. |
85
где коэффициенты ряда
т
|
J |
|
г |
|
|
|
|
^ПГ ZT |
' ^ |
е |
|
|
|
Коэффициенты Сц - комплексные. Представим их в виде |
||||||
|
/I |
/ІЛ Л /Ä , |
|
(16./з) |
||
Иэ (16.12) следует, что |
коэффициенты с одинаковьши |
по модулю |
||||
индексами |
являются комплексно-сопряженными: |
|
||||
|
£»=Спг |
_Ап, Q і |
(i6.1i) |
|||
|
z |
|
||||
|
- n r 1'n r |
|
|
|||
Найдем сумму двух членов ряда |
(16.I I ) с одинаковыми |
по модулю |
||||
«ядеш ш »: |
^ |
|
£2.А |
+е |
|
|
С „ в '^ 1+G, г |
|
|||||
т |
|
|
|
|||
|
=A*cos(-2f-è+%,)' |
|
||||
Сравнивая полученный результат с (16.8), видим, что |
введенные в |
|||||
(16.13) величины Ап, |
и |
%, |
есть амплитуды и фазы |
гармоник. |
Нодуль комплексного коэффициента |
Сң. (16.12) равен |
половине |
амплитуды гармоники*^, а фаза |
совпадает с фазой |
гармоники. |
Согласно (16.14) коэффициенты комплексного ряда вычисляются только для іъъ 0 .
В качестве примера найдем дискретный спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов (рис. 16.I ) . Коэффн-
86
I
ловицѳ амплитуд |
гармоник, а на |
рис. 16.2в - фазы. |
|
Рассмотрим |
два предельных |
случая. При ZcP=» 2,Т |
(паузы |
между импульсами отсутствуют) все коэффициенты ряда согласно (16.15) равны нулю, кроме С0-А . Получен очевидный результат: для постоянной функции ряд Фурье равен константе, спектр суще ствует только на нулевой частоте.
При (Р-^-Т (импульсы бесконечно малой длительности) все коэффициенты ряда равны между собой. Дискретный спектр в этом случае постоянный во всей области частот, но амплитуды гармоник бесконечно малы.
В этих двух случаях отражается известная закономерность. Чем уже функция, тем слабее убывают амплитуды гармоник с ростом частоты.
Рассмотрим выражение |
для среднеквадратичного значения сиг |
||||
нала или |
средней мощности |
сигнала, |
рассеиваемой |
на сопротивле |
|
нии I Ом: |
|
|
т |
|
|
|
^ - 4 |
т |
/ |
|
|
Используя |
соотношение |
(16.7), куда |
вместо |
подставлено его |
87
i Ca
Рис. 1 6 .2
выражение в форме (1 6 .I I ) , получим
_ |
Т |
т |
пя |
Последнее слагаемое получено при условии, что в силу ортогональ ности при гьФ~в
-г
Учитывая равенства (16.12) и (іб .І^ п о л у ч аем
/ ^ • г £ |
/ c j - |
f_ |
Ic„F= £j c J ^ |
/г=-ео |
Q |
/Ь-'-оо |
fb~~00 |
Об. /6)
Средняя мощность сигнала равна сумме средних мощностей гармо ник.
В практических задачах функция воспроизводится с помощью ограниченного ряда. Найдем выражение для среднеквадратичной ошибки воспроизведения:
Повторяя использованные при выводе (16.16) вычисления и само соотношение (16.16), получим
Обгу)
-г *
Среднеквадратичная ошибка воспроизведения функции ограниченным рядом равна средней мощности неучитываемых гармоник.
Рассмотрим аадачу воспроизведения непериодических функций. Пусть функция 4Ш аадана на интервале - Т й . Вне это го интервала функция равна нулю. Если интервал конечен, то иног да возможен следующий путь решения. Функция воспроизводится с помощью тригонометрических рядов (16.3) или (16.I I ) . Но при та ком способе воспроизведения функция не равна нулю вне интерва ла, а периодически повторяется. Поэтому с помощью дополнитель ных условий воспроизводящий ряд вне интервала обращается в нуль. Когда такой путь решения неприменим, а также в случае бес конечного интервала, необходимо распространить понятие комплек-
89
сного ряда |
Фурье |
для |
случая Т - — 00 . Запишем угловув |
скорость |
гь-й гармоники |
в |
виде |
|
|
|
^7fr= n .A Ü Ö ~ сЭ, |
(16.18) |
||
аг |
разница угловых скоростей соседних гармоник. |
|||
где АСЭ^гр— - |
||||
Из (16.18) |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
(16.13) |
Подставляя |
(1 6 .1 3 ),и |
(16.19) в (16.I I ) и (16.12) и переходя |
||
при |
суммирования к интегрированию, формально* |
получим |
гармоническое разложение функции в виде интегральной формы Фурье:
(16Л0)
При условии абсолютной интегрируемости и конечного числа разрывов непрерывности функции f(€) эта форма всегда существу ет*' .
Обозначим
(16JL1)
F'(jo^) называется спектром функции f ( t ) . Тогда согласно
(16.20) функция через свой спектр определяется следующим обравом:
Ш |
= |
7 |
^ |
Г |
Ші ) |
|
“Loo |
|
|
|
|
Выражения (16.21) и (16.22) называются соответственно прямым и обратным преобразованием Фурье.
Видно, что и в случае 7”—1*ив функция может быть определе на либо зависимостью от времени, либо с помощью спектра F (j(А) , зависящего от частоты. Спектр есть непрерывная комплексная фун кция от cJ , Если представить спектр в виде
Форма Фурье существует и для ряда абсолютно неинтѳгрируемых функций, например Sift(££f ~t0) и т .д .
90
|
|
F ( / ü ) ) = j F ( j - o ) ) l e * 9(f |
|
У |
||||
so M |
/ t J >1 |
характеризует амплитуду, |
a &(<*>) - |
фаэу |
||||
гармоник с частотами, близкими к |
и) |
. |
Примерная зависимость |
|||||
модуля и фазы от |
(О |
показана на |
рис. 16.3. Нодуль - |
функция |
||||
четная, а фаза - нечетная. Из (16,12) следует, что амплитуда |
||||||||
гармоники с некоторой фиксированной частотой oJ— |
бесконеч |
|||||||
но мала. Модуль спектра определяет некоторую суммарную амплиту |
||||||||
ду гармоник, |
частоты |
которых лежат |
около |
|
<*А? в диапазоне |
|||
&(л) |
. Эта |
суммарная амплитуда |
равна |
|
|
|
z/f(JcJ0)!ü ü .
-V |
Г t |
'Рис. ів .а . |
Рио. 16.4 |
Функция f(t) пред ставляется в виде суммы бесконечно большого числа гармоник, сосед ние частоты которых отличаются на бесконеч но малую величину. Ам плитуда каждой гармо ники бесконечно мала.
Для примера най дем спектр одиночного прямоугольного импуль са, показанного на рис. 16.4. Согласно
(16.21) имеем
Г ( / ф |
s£fb |
С077 |
Непрерывный спектр прямоугольного импульса показан на рис.16.5 Найдем выражение для анергии сигнала через его спѳктг
Используя (16.22), можно записать