Файл: Толстоусов, Г. Н. Прикладная теория информации учеб. пособие.pdf

Рис. 16.5

Внутренний интеграл согласно (16.21) равен F(-ju)) . Поэтому

ул.м)

В некоторых случаях можно ввести понятие средней мощности сиг­ нала

ZT

В том случае,когда предел существует, он называется спектром плотности мощности:

92

Тогда средняя мощность сигнала пожат быть записана следующим образом;

( в м )

Пусть вместо точного выражения (16.22) ввято приближенное

(т.зл)

которое означает, что гармоники спектра с угловой скоростью, большей, чем cJcf> , не учитываются при воспроизведении функ­ ции f(t) . Тогда появляется ошибка воспроизведения, средне­ квадратичное значение которой может быть оценено следующим об­ разом:

Поясним смысл спектральной плотности. Пусть имеется ряд зафик­ сированных сообщений стационарного эргодичѳского источника (рио. 1 6 .6 ). Тогда можно найти спектр каждого конкретного сооб­ щения

(/6.31)

Запишем выражение для оценки корреляционной функции, полученной по одному сообщению: т

(/6М)

*-т

93

■ ъ (ы *)е-**‘ 'Р>М .

Учитывая ( 1 6 .3 1 ) ,имеем

Полученное выражение показывает, что спектральная плотность еоть вещественная функция частоты. ОценкаSiQ'&J) ѳоть случай­

ная величина, передним ѵ іб .3 4 ) по воем сообщениям, получим

94

Спектральная плотность пропорциональна среднеквадратичному зна­ чению случайных значений спектров сообщений. Поэтому часто по аналогии со спектром плотности мощности (16.25) спектральной плотности придают смысл распределения мощности случайного про­ цесса по частотам. Средняя мощность всего случайного процесса, или дисперсия,есть интеграл от спектральной плотности:

О&м)

Это выражение может быть получено ив (16.80) с учетом, что

Ъ~и(0).

§ 17. Теорема Котельникова

Теорема Котельникова показывает, что сообщение непрерывно­ го источника информации не обязательно передавать непрерывно по каналу связи..Это сообщение нохѳт быть передано с помощью значений сообщения в дискретные моменты времени, отстоящие друг от друга на равные интервалы.

Докажем эту теорему. Пусть имеется некоторая детерминиро­

лЖ.

(17.Z)

95

Запишем значения этой функции в дискретные моменты времени

где

Получим следующее выражение:

Сравним (17.5) и (17 .2). Имеем соотношение

(sr.e)

Подставим полученные значения коэффициентов ряда (17.I ) . Тогда выражение (17.3) примет вид

Поскольку ряд и интеграл сходятся, поменяем порядок суммирова­ ния и интегрирования. Кроме того, изменим порядок суммирования.

в обратном преобразовании Фурьѳ.мы уотраняаы “паразитные" сос­ тавляющие спектра F(ju>) вне полосы і(Ое ,

9 6

кую формулировку теоремы Котельникова: .

(ш )

Ло-оо

Величины <£{(ЪАб) представляют собой значения исходной функции дискретов моменты времени, отстоящие друг от друга на интер­ валы лДе Лиі Эти величины называются отсчетами. Каждый

оточѳт умножается на величину

w _ sin d 1с{£~/іАі )

(SV.9J

АЛс(t ~гъ&£) ’

называемую функцией отсчетов, функции отсчетов для всех >ъ име­ ют одинаковый вид (рис. 1 7 .2 ), только начало координат у каждой совпадает с временем своего отсчета.

Следовательно, по теореме Котельникова непрерывная функция с ограниченным спектром (рис. 17.8а) монет быть передана по ка­

2) приемник формирует функции отсчетов и каждый принятый отсчет умножает на соответствующую функцию "отсчетов "(рис’.' Г773в,

г ,д );

97

Рассмотрим, как применить теорему Котельникова к передаче сообщений непрерывных источников информации. Эти сообщения представляют собой случайные процессы,:а понятие спектра суще­ ствует только для конкретной фиксированной реализации случайно­ го. процесса.

Спектральной характеристикой случайного ,пр0це'сса; является

иотсчеты всех сообщений по времени совпадают.

Втом, что непрерывное сообщение может быть представлено с помощью дискретных отсчетов, и заключается основное значение теоремы Котельникова. Таким образом, непрерывное сообщение мо­ жет быть дискретизировано по времени.

Энтропия непрерывного сообщения длительности . Т есть

энтропия объединения 2JTъГс отсчетов. Эта энтропия максималь­ на и равна сумме энтропий:

или для стационарного процесса

Спектральная плотность как четная функция на интервале ±CJC может быть разложена в ряд по косинусам:

99