Файл: Толстоусов, Г. Н. Прикладная теория информации учеб. пособие.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 67

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

P hJy)

ъГ (у/і)Р і

(Z*6)

Р (°/у)

" ьт(^/о)ре

Л

 

Используем понятие "отношение правдоподобия":

 

 

Л _ ЪГІЯІ<)

UW )

 

 

ъг(у/о) *

 

 

 

 

Тогда правило решения можно сформулировать в виде:

 

если

 

 

 

 

 

 

 

 

л

=>А

с ,

(гч.ё)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

-

Ро

{14.9)

 

 

А 0- р t ,

о принимается

гипотеза //,

 

 

 

Следовательно,

область

значений

принимаемых сигналов

у

делится на две области.

В одной выполняется неравенствоД > Л в ,

в другой

Величина

у 0

, называемая порогом,яв­

ляется границей между этими

областями. (Одно значение це

име­

ет место при плотностях вероятности помех с одним максимумом.)

 

Тогда, если приемник принял сигнал

 

* принимается реше­

ние о

передаче I .

Если принят

сигнал у

 

, принимается

ре­

шение

о передаче

0.

 

 

 

 

 

Рассмотрим возможные ошибки приема. При передаче 0 помеха

в момент принятия решения может быть столь велика,

что^ 7 ^

.

Тогда приемник примет решение о передаче I . Обозначим это оши­

 

бочное

решение через Qoi

~ сигнал

есть,

когда на самом де­

ле его нет. Эта ошибка называется ложной тревогой.

 

 

При передаче I помеха может быть такой,

что

 

Тогда приемник примет решение о передаче 0 .

Это ошибочное реше­

ние, называемое пропуском сигнала, обозначим

через

.

 

Вероятности

этих двух ошибок

 

 

 

 

 

P f o ^ P o f e l y l d i / ,

1

 

(Z4.i0)

 

РШ =p/J

 

J

 

 

 

 

 

 

Ль*



гдѳ для краткости

г

(Мі/)

ЧШ)--ЪГ(ЦІІ)- 1

 

Ошибочные решения Q#/ и Qq мог^т в зависимости

от назначе­

ния информационной системы иметь совершенно различные послед­ ствия. При передаче текста двоичным кодом эти ошибки равноцен­

ны. В системе ПВО ошибка

Qi0

- пропуск сигнала - может ока­

заться

катастрофической и

т .д .

Последствия каждой из

ошибок

можно

выразить через некоторые

величины

и Z/д?

, называ­

емые потерями.

Тогда средняя величина (математическое ожидание) потерь, называемая риском, будет

 

А [ г Ы Ч Щ +

Ь е Р ,

{ г чМ

Теперь,

очевидно, нам следует отказаться от правила решений

(24 .8),

по которому выбирается величина порога

, и искать

такие правила, которые минимизируют величину риска..В теории приема употребляются различные правила или критерии^ Они отли­ чаются друг от друга условиями, при которых минимизируется ве­ личина риска.

Критерий идеального наблюдения, или критерий Зигеота-Ко- тельникова. Потери, вызываемые ошибками ( h91 и L f0 ), при­ нимаются одинаковыми. Тогда согласно (24.12) следует искать

139

значение у0 , обращающее в минимум функционал

со

* =P0ß j o Ш у

{У)Cty.

(Л*.іЬ)

Выполняя дифференцирование по пределу, найдем условие экстре­ мума

'д~уё~~^°

+

 

У°) ~ °

или

 

 

 

гг. ІИ .)

 

Ра

(Лѵ.Н)

* ' Ш

 

р <

 

 

Таким образом, критерий идеального наблюдателя, согласно которо­ му выбирается величина порога LJ0 , совпадает с правилом ре­ шения (24 .8). Заметим, что уравнение (24.14) может иметь нес­ колько решений. Среди них должно быть выбрано решение, обеспе­ чивающее минимум (24.13).

Критерий Байеса. Потери, вызываемые ошибками ( Sj0f и А/0), принимаются разными. Тогда определяется значение !/о , обра­ щающее в минимум функционал (24.12). Условие минимума имеет вид

Т ^ = - 4 ѵ А К { & Н ,,Р ,г Г < Ш =°

или

ъРі(Уо) - L 0ip 0

Ш. iS)

Таким образом, критерий выбора порога в этом случае отличается

от предыдущего (24.14) только правой частью уравнения.

При этом,

если i,t0 T iipf

, величина порога

у о

, выбираемая

по крите­

рию Байеса, будет

больше, Чйм величина порога, выбираемая по

критер'тю идеального наблюдения.

 

 

 

Критерий Неймана-Пирсона. Этот критерий минимизирует ве­

роятность ошибки,

заключающейся в пропуске

сигнала Q0

.Боль-

140


шое число систем, например радиолокационных, создается именно для обнаружения сигнала. Поэтому ошибка Qfa вызывает в этих системах очень большие потери. Однако задача по минимизации ве­

личины вероятности р Ш

без дополнительных

ограничений не

имеет смысла. Имеется очевидное решение :

°° » и любой

сигнал принимается за I . Система становится неработоспособной. Дополнительное ограничение заключается в том, что вероятность

ложьой тревоги должна быть ниже некоторого значения

<5

Ап­

риорные вероятности передачи сигналов ро и р і

считаются

неизвестными, так что речь идет об условных вероятностях про­ пуска сигнала и ложной тревоги. Для нахождения правила решения согласно критерию Пеймана-Пирсона минимизируется условная ве­ роятность пропуска

при дополнительном условии: условная вероятность ложной трево­

ги равна

наибольшему допустимому значению oL

(при этом вели-

«мяо А

Л ѵлрф « яммрнтлирй ^ ф _р .

 

где X - неопределенный множитель Лагранжа Условия минимума будут следующие:

Два неизвестных

и

Л могут быть найдены из двух урав­

нений (24Л 8) и

(24.17).

Однако нам достаточно найти одно не­

известное

Lj0

, которое

может быть найдено из (24.17). Слѳдо-

вателыдаг величина порога

по критерию Неймана-Пирсона на­

ходится из

уравнения

 


Рассмотрим насколько простых

примеров.

Пусть задача со­

стоит в

обнаружении

постоянного сигнала в,

при

аддитивной

помехе о одновершинной плотностью

вероятности

 

) . Тогда

условные

плотности

вероятности

 

определяются формулой

(24.2),

а ЪА(у)

- формулой

(24 .3). Выбор порога

по критериям

идеального наблюдения и Байеса показан на рис, 24.1. Находятся

вначения

U

, для которых отношение

.'Ъ/у (у)ш

равно

 

 

 

 

 

ъГо(Ц)

 

заданному согласно формулам (24.14) или (24.15). Точка

со­

ответствует

минимуму риска.

Точка у *

ңвляется ложным ре­

шением, так как соответствует относительному максимуму. При

Lpi-bfo'

 

Р0 c Pfs ^

и

симметричной плотности вероятности

имеем

 

Уо- X

 

 

(Л4ЛСІ

 

 

- -

 

Рис. 24.1

Найдем вероятность любой ошибки, т .ѳ . величину риска в зтом

142