Файл: Толстоусов, Г. Н. Прикладная теория информации учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2024
Просмотров: 92
Скачиваний: 0
P hJy) |
ъГ (у/і)Р і |
(Z*6) |
|||||
Р (°/у) |
" ьт(^/о)ре |
||||||
Л |
|
||||||
Используем понятие "отношение правдоподобия": |
|
||||||
|
Л _ ЪГІЯІ<) |
UW ) |
|||||
|
|
ъг(у/о) * |
|||||
|
|
|
|
||||
Тогда правило решения можно сформулировать в виде: |
|
||||||
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
=>А |
с , |
(гч.ё) |
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
Ро |
{14.9) |
|||
|
|
А 0- р t , |
|||||
о принимается |
гипотеза //, |
|
|
|
|||
Следовательно, |
область |
значений |
принимаемых сигналов |
у |
|||
делится на две области. |
В одной выполняется неравенствоД > Л в , |
||||||
в другой |
• |
Величина |
у 0 |
, называемая порогом,яв |
|||
ляется границей между этими |
областями. (Одно значение це |
име |
|||||
ет место при плотностях вероятности помех с одним максимумом.) |
|
||||||
Тогда, если приемник принял сигнал |
|
* принимается реше |
|||||
ние о |
передаче I . |
Если принят |
сигнал у |
|
, принимается |
ре |
|
шение |
о передаче |
0. |
|
|
|
|
|
Рассмотрим возможные ошибки приема. При передаче 0 помеха |
|||||||
в момент принятия решения может быть столь велика, |
что^ 7 ^ |
. |
|||||
Тогда приемник примет решение о передаче I . Обозначим это оши |
|
||||||
бочное |
решение через Qoi |
~ сигнал |
есть, |
когда на самом де |
|||
ле его нет. Эта ошибка называется ложной тревогой. |
|
|
|||||
При передаче I помеха может быть такой, |
что |
♦ |
|
||||
Тогда приемник примет решение о передаче 0 . |
Это ошибочное реше |
||||||
ние, называемое пропуском сигнала, обозначим |
через |
. |
|
||||
Вероятности |
этих двух ошибок |
|
|
|
|
||
|
P f o ^ P o f e l y l d i / , |
1 |
|
(Z4.i0) |
|||
|
РШ =p/J |
|
J |
|
|||
|
|
|
|
|
|||
Ль*
гдѳ для краткости
г |
(Мі/) |
ЧШ)--ЪГ(ЦІІ)- 1 |
|
Ошибочные решения Q#/ и Qq мог^т в зависимости |
от назначе |
ния информационной системы иметь совершенно различные послед ствия. При передаче текста двоичным кодом эти ошибки равноцен
ны. В системе ПВО ошибка |
Qi0 |
- пропуск сигнала - может ока |
|||
заться |
катастрофической и |
т .д . |
Последствия каждой из |
ошибок |
|
можно |
выразить через некоторые |
величины |
и Z/д? |
, называ |
|
емые потерями.
Тогда средняя величина (математическое ожидание) потерь, называемая риском, будет
|
А [ г Ы Ч Щ + |
Ь е Р , |
{ г чМ |
Теперь, |
очевидно, нам следует отказаться от правила решений |
||
(24 .8), |
по которому выбирается величина порога |
, и искать |
|
такие правила, которые минимизируют величину риска..В теории приема употребляются различные правила или критерии^ Они отли чаются друг от друга условиями, при которых минимизируется ве личина риска.
Критерий идеального наблюдения, или критерий Зигеота-Ко- тельникова. Потери, вызываемые ошибками ( h91 и L f0 ), при нимаются одинаковыми. Тогда согласно (24.12) следует искать
139
значение у0 , обращающее в минимум функционал
со
* =P0ß j o Ш у |
{У)Cty. |
(Л*.іЬ) |
Выполняя дифференцирование по пределу, найдем условие экстре мума
'д~уё~~^° |
+ |
|
У°) ~ ° |
или |
|
|
|
гг. ІИ .) |
|
Ра |
(Лѵ.Н) |
* ' Ш |
|
р < |
|
|
|
Таким образом, критерий идеального наблюдателя, согласно которо му выбирается величина порога LJ0 , совпадает с правилом ре шения (24 .8). Заметим, что уравнение (24.14) может иметь нес колько решений. Среди них должно быть выбрано решение, обеспе чивающее минимум (24.13).
Критерий Байеса. Потери, вызываемые ошибками ( Sj0f и А/0), принимаются разными. Тогда определяется значение !/о , обра щающее в минимум функционал (24.12). Условие минимума имеет вид
Т ^ = - 4 ѵ А К { & Н ,,Р ,г Г < Ш =°
или
ъРі(Уо) - L 0ip 0
Ш. iS)
Таким образом, критерий выбора порога в этом случае отличается
от предыдущего (24.14) только правой частью уравнения. |
При этом, |
|||
если i,t0 T iipf |
, величина порога |
у о |
, выбираемая |
по крите |
рию Байеса, будет |
больше, Чйм величина порога, выбираемая по |
|||
критер'тю идеального наблюдения. |
|
|
|
|
Критерий Неймана-Пирсона. Этот критерий минимизирует ве |
||||
роятность ошибки, |
заключающейся в пропуске |
сигнала Q0 |
.Боль- |
|
140
шое число систем, например радиолокационных, создается именно для обнаружения сигнала. Поэтому ошибка Qfa вызывает в этих системах очень большие потери. Однако задача по минимизации ве
личины вероятности р Ш |
без дополнительных |
ограничений не |
имеет смысла. Имеется очевидное решение : |
°° » и любой |
|
сигнал принимается за I . Система становится неработоспособной. Дополнительное ограничение заключается в том, что вероятность
ложьой тревоги должна быть ниже некоторого значения |
<5 |
• Ап |
риорные вероятности передачи сигналов ро и р і |
считаются |
|
неизвестными, так что речь идет об условных вероятностях про пуска сигнала и ложной тревоги. Для нахождения правила решения согласно критерию Пеймана-Пирсона минимизируется условная ве роятность пропуска
при дополнительном условии: условная вероятность ложной трево
ги равна |
наибольшему допустимому значению oL |
(при этом вели- |
«мяо А |
Л ѵлрф « яммрнтлирй ^ ф _р . |
|
где X - неопределенный множитель Лагранжа Условия минимума будут следующие:
Два неизвестных |
и |
Л могут быть найдены из двух урав |
|
нений (24Л 8) и |
(24.17). |
Однако нам достаточно найти одно не |
|
известное |
Lj0 |
, которое |
может быть найдено из (24.17). Слѳдо- |
вателыдаг величина порога |
по критерию Неймана-Пирсона на |
||
ходится из |
уравнения |
|
|
Рассмотрим насколько простых |
примеров. |
Пусть задача со |
||||
стоит в |
обнаружении |
постоянного сигнала в, |
при |
аддитивной |
||
помехе о одновершинной плотностью |
вероятности |
|
) . Тогда |
|||
условные |
плотности |
вероятности |
|
определяются формулой |
||
(24.2), |
а ЪА(у) |
- формулой |
(24 .3). Выбор порога |
по критериям |
||
идеального наблюдения и Байеса показан на рис, 24.1. Находятся
вначения |
U |
, для которых отношение |
.'Ъ/у (у)ш |
равно |
||
|
|
|
|
|
ъГо(Ц) |
|
заданному согласно формулам (24.14) или (24.15). Точка |
со |
|||||
ответствует |
минимуму риска. |
Точка у * |
ңвляется ложным ре |
|||
шением, так как соответствует относительному максимуму. При |
||||||
Lpi-bfo' |
|
Р0 c Pfs ^ |
и |
симметричной плотности вероятности |
||
имеем |
|
Уо- X |
|
|
(Л4ЛСІ |
|
|
|
- - |
|
|||
Рис. 24.1
Найдем вероятность любой ошибки, т .ѳ . величину риска в зтом
142