Файл: Прикладная математика [сборник статей]..pdf

- 12 -

Из рис,

I

можно

определить

0 ,

Z < 0

;

z

z-y

F

(z) =

’

o « z < l

;

Z

\ - \ £ wA y ) V y \ f Wi(x)dx

1 ,

Z >v 2 .

О п редели в /^ и £ щ из. выражения (2),

подставив

резуль­

таты

в выражение

(3)

и выполнив интегрирование, получим

О ,

Z < О

;

Й

®

Q « z < l;

Яг - - у z T + х ’

W

9

^

г *

7^

2 ■i/te-l)J'-2)®4,-2zy?T-2zorcsili^

1 - Т

- Г - 7

U z

<Z-

1 ,

z

> z .

Отсюда можно получить выражение для плотности вероят­

ности случайной

величины

Z :

О,

Z <=0 ,

Z » 2 ;

£

(z ) =

Ъ - b J z ' + Z ,

0 « Z < 1 ;

, (5)

2

Z a r c g i n - ^ - + . 4 - ?'F : r - ( z ? 2 ) ,

K Z < 2 .

Затем

определим

закон распределения случайной величины

где

м

О

;

г 2

Р (0 < Z < Г г) = | f z (zWz =

0

г

< 0 ;

г £

f (Ji-^-fz'+zjdz,

0 £ Г < 1 ;

1

j

л2

n

8 ](ri-4-/F’+zWz+ j[£arcsm-^r-+4y^~-T-(zi-2)]^

o

__

t

U r < y T »

1

,

r ^ y T .

о ;

г < 0 ;.

8

,

г 4

г

. 0< г < 1;

з

г +

1

(6)

F^r)-

К т

—l)J’-2y’/'e-l'

~ 2 г ^ г 1- 1 !

- у - # 7

- £г 2 aregin

,

1 $ г < / Г ;

1,

0 ,

с

<0, г ъ { Т

;

2 Яг-

+<?г5,

0 4 Г <1 ♦

(7)

9-Г 2-

-4г - 2 /’3,

4-r arcsin —р г ~

i-8/yrM '

Отсюда.в частности, нежно найти максимальное значение

плотности fx

при

г ,

s 0 ,47.

Требования

заданной жесткости отражаются условиями

,

(4)

Вес балки

определяется выражением

V A \ S { u ^ ( x ) , . . , , u n (x)}clx .

(5)

Здесь введены обозначения:

у к(х),уг (х)

- прогиб и угол поворота нейтральной оси балки;.

J , W , T , S - момент инерции, момент сопротивления, .статисти­

ческий момент инерции и площадь сечения балки;

М . Q - изгибающий момент и перерезывающая сила;

Хв,х£ - координаты концов балки.

Функции

ип(х)

назовем управлениями, а у М , у г {х) -

фазовыми координатами.

Рассмотрим следующую задачу оптимального управления.

Найти

управления и ух),..., ип(х) и координаты y L, y l%

удов­

летворяющие

при

Jfe[x0, x j

неравенствам

(3 ), уравнениям

(I),

концевым условиям (2), и минимизирующие

функционал (5 ).

Фазовые

координаты должны находиться в области

(4) .

'

Оптимальные балки

с ограничениями на напряжения

Ц(х),Ц(х)п связей [Х-З]:

0

j y i =[W(ul , . . . , u n)-M(x)x6a] [ИПии ..., un ) x M ( x ) / b B\-v\--%

I \^t =[F(ui ,...,an )-СНх)Л0][Р(и^.......u n h Q ( x ) / z a] - к | = 0 . &>

ционала (5 ):

Л 1 + Л , = 0 ;

£ ^ = 0 ;

£ ц 2Кг = 0 ;

Л ^= 0;

.

МАч.

J | on

их/,.

и ;

■

~ Т й ~ *

E J \ u , .....ап)

д ц

*

+

(8)

......

/ « 1 Д .......я .

A*w

= a f u o ) ; A*( V = | f

g

; w

=

"

f e

;A t(^

^

9)

где ср *p tq>^

г(р ,,pt ,j \ - множители

Лагранжа» подлежащее

опре­

делению.

Можно показать, если

граничные условия

(2)

такою ,

что

а & г

a ^a t

-i

<*А

1^4?

4r

6А\

^ ( Ф ^ Ф г М ^ - У

*

4 4

+1

Ш * ’ т

6х6г

ci c i

то решение первых двух уравнений

(8)

при условиях

(9)

будет

иметь

А д :

•

A,U) = A2(x)=0 .

'

(II)

Следует отметить, что условию (10) удовлетворяют все

встречающиеся случаи закрепления ковцов.

Из последних п

уравнений

(8) следует,

что

множители Лаг­

ранжа

2 ке

могут

быть равны нулю одновременно.

Для оптималь­

ной системы

всегда выполняется хотя бы одно т равенств

VL= О

или

Ц_= 0 .

Отсюда следует, что

оптимальные

управления

опре­

деляются условиями

, . < Ц ...... « * , - * ■ »

( 12)

О

8

Lo

Оптимальное управление должно удовлетворять неравенству

Вейерштрасса

(Здесь

Ях =3{и^...„ил ) ) .

"

*

Рассмотрим вышеизложенное на примерах балок сплошного

прямоугольного сечения и трёхслойных балок (рис. I ) .

Очевидно, что

S^6h(*) -,

S a =l6h(x);

т 6 h H x ) .

* 4 =

6 h * W .

J}

12

i

b

Wt =6 B h {x)\

Fr - - ^ 6 h ( x ) ;

'

Fr

- f - Sh(x) .

-

■-L-- •

•

*•

i. yi>

. -

-1»?'^ИЧ0СКв

! \

. '

:;.ч5 OCOf