ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2024
Просмотров: 47
Скачиваний: 0
|
|
- 8 - |
|
|
|
|
|
Здесь к |
- показатель |
связности |
детерминированной |
систе |
|||
мы ( I ) , |
полученной по |
системе |
(13) |
при £ |
5 0. |
|
|
В терминах эквивалентных систем теоремы 2 ,3 ,4 |
|
позволяют |
|||||
заменить |
рассмотрение |
устойчивости |
системы |
(I) или |
(15) , |
||
обладающей размерностью фазового пространства п т |
, |
рассмот |
|||||
рением эквивалентной системы с размерностью фазовою прост
ранства k i n . Эффективность применения теоремы |
2 |
(или 3) тем |
||
выше, |
чем больше отношение -jg—* |
|
|
|
5 |
р и м е р. Уравнение динамической |
системы |
типа |
|
инвариантной относительно группы |
й 5 , |
имеет вид |
||
|
-лу-iOOsignXj -100з1дп(1Лу“0,5Д1^^.ху)(У=1,2,.дг). |
|||
Выражение (16) можно записать в симметрической |
форме; |
|||
X i = - X j - i O O S i g r i х / - lO O s ig n ( 2 ,2 Jfy -0,5 6 i [ 5 ] ) ( / = l , 2 , . . . , f l ) , ( 1 7 )
Из выражения (17) следует, что показатель связности си стемы (16) равен двум. В соответствии с теоремой 3 для ис следования устойчивости системы (16) в большом достаточно исГ следовать устойчивость в большом системы порядка тпк = 2;
х 1= -^ --Ш 0 sig n x 1 -100sigT i(l,7x1- 2 r !2);
хг= |
-100signдгг-100з1дгх(.-0,5л±+0,7х^). |
{,10> |
Методом фазовой плоскости устанавливается, что система (18) устойчива в большом. Значит устойчива и исходная систе ма (1 6 ).
В заключение заметим, что операторы / могут включать неоднозначные нелинейности типа гистерезиса и т .п .
Л и т е р а т у р а |
|
I . Саыойленко И.И. Методы теории линейных |
представлений групп |
и применение этих методов для исследования |
|
дискретных систем. - В с б .: |
Кибернетика и вы |
числительная техника. Вып. 5 . Киев, "Наукова думка", 1969.
- 9 -
2. Раженков Е.Т. Автореферат канд. диссертации "Некоторые вопросы теории и расчета нелинейных многомерных симметричных CAP". 1 ., ЛЭТИ, I97A.
А.Е.КОСТИН
О ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЕВКЛИДОВА РАССТОЯНИЯ ШЭДУ ПАРАМИ БЛИЖАЙШИХ СЛУЧАЙНЫХ ТОЧЕК
В ЕДИНИЧНОМ КВАДРАТЕ
В единичном квадрате произвольно выбирается точек, координаты которых подчиняются равномерному закону распреде ления на единичном отрезке. На множестве выбранных случайных точек задается метрика в виде евклидова расстояния. С каждой точкой выборки можно сопоставить случайную величину D , представляющую собой расстояние от данной точки до ближайшей к ней другой точки в выборке. Необходимо найти закон распре деления случайной величины д , использовав размер N -выбор ки в качестве параметра.
Для решения поставленной задачи найдем закон распределе ния евклидова расстояния между любой парой случайных точек, причем сначала не будем накладывать ограничения на размерность пространства.
Допустим, что в единичном л -мерном кубе выбраны две случайные точки
X ={ |
х |
, х л ) ; |
У ~ ( у УI, |
1 у я) . |
|
где x i , х г , . . . , |
|
- реализации независимых слу |
|
чайных величин, подчиняющихся равномерному |
|
|
распределению вероятностей на отрезке (0,1) |
|
|
и представляющих собой координаты точек Х , У . |
|
Евклидово расстояние |
между точками Х , У |
|
будучи функцией от случайных величин, есть также случайная величина с некоторым законом распределения.
Обозначим |
Фу = Xj-(Ji , /= 1 ,2 ,... ,л |
. Функция распреде |
ления случайной |
величины Фу известна [2] |
и имеет вид |
|
|
- |
10 |
- |
о |
|
% |
-1 |
|
Or»*- 1)г |
|
- i < x |
« о ■ |
|
|
|
|||
/ф W = |
|
|
|
|
|
|
0 < д г « 1 ; |
||
I |
, |
х |
>1 . |
|
Пользуясь известными |
соотношениями теории вероятностей,, |
|||
нетрудно найти из выражения (I) функцию распределения слу
чайной |
величины |
|
|
|
|
|
|
|
И /^ Ф у , i = l fz , . . . , n ; |
||||
|
|
|
, |
* |
« t > ; |
|
|
|
2 ^ Т -лг, |
О |
<лг $ 1 ; |
(2) |
|
|
|
|
|
X |
>1 |
. |
|
Рассмотрим |
теперь |
случайную |
величину |
||
|
|
z |
- S |
|
, |
|
где |
|
1 = 1 , 2 ; .. . , л - |
независимые случайные величины с оди |
|||
|
|
|
|
наковым законом распределения (2). |
||
|
Для нахождения закона распределения случайной величи |
|||||
ны |
разумно воспользоваться методом характеристических функ |
|||||
ций. |
Обозначим |
через |
|
л |
характеристические функции |
|
для |
Z |
viWj соответственно. В силу независимости случайных |
||||
величин Wj справедливо |
соотнЬшение |
|||||
|
|
|
1 = 1 |
случайные величины Wy имеют один |
||
|
Поскольку |
по условию |
||||
и тот |
же закон |
распределения, то |
|
|||
|
|
ffwx |
|
|
■ |
|
где |
|
|
ос |
|
|
|
|
|
ffiv ( 0 = \ |
e J txd [ F w (x)\, |
|||
значит
|
|
|
|
- |
II - |
|
|
|
|
|
|
Использовав выражение |
С2)»11Гоясно получить- |
|
|
||||||
|
ffw (t)=\j x ' J e jtx clx- |
| e J txdx. |
|
|
|
|||||
|
|
1 |
о |
|
, o |
части |
полученного выражения |
|||
Решйть первый интеграл в правой |
||||||||||
в элементарных |
функциях нельзя. |
случай, когда п |
= 2 , ' т . е . |
|||||||
|
Рассмотрим теперь |
частный |
||||||||
Z = Wl +W^ . |
Изобразим |
систему |
двух |
сллайных |
величин |
с |
||||
условием,что х , у - некоторые |
значения |
этих |
случайных величин |
|||||||
(рис. |
I ) . |
Функция распределения |
случайной |
величины Z |
опреде |
|||||
лится |
из |
равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
FZ U)= 1 \ f \ i ^ ) f V t (y) d x d y ,
„Q
где |
С/ - |
заштрихованная на рис. I область; |
|
|
“ |
плотности распределения для WKи |
. |
Рис. I . К определению закона распределения суммы двух случайных величин