Файл: Пенфилд, П. Энергетическая теория электрических цепей.pdf

пряжений Кирхгофа, то А" иа подчиняется уравнению,

подобному (2-2):

Если Л" является линейным оператором, то (2-19) может быть найдено из (2-2). Точно таким же путем,

который ведет от (2-1) и (2-2) к (2-5) и от (2-6) и (2-7)

к (2-8), мы получим:

Это и является наиболее общей формулировкой тео­ ремы Телледжена, на которую мы будем ссылаться. Она имеет силу для любых операторов Кирхгофа А' и А", для любых конститутивных законов элементов, для лю­ бых типов питания и для любых начальных условий. Если А ' и А" принимаются как операторы тождествен­

ности, (2-20) приводится к (2-5). С другой стороны, если А' и А" избирают различные состояния цепи, (2-20)

сводится к теореме квазимощности, т. е. к (2-8). Некоторые читатели могут предпочесть один из вы­

водов теоремы квазимощности, приведенных в § 2-6. Каждый из этих выводов может быть обобщен с при­ менением операторов Кирхгофа для получения (2-20). Чтобы отличить (2-20) от двух других форм теоремы Телледжена, назовем уравнение (2-20) «сильной формой».

2-9. СЛАБЫЕ ФОРМЫ ТЕОРЕМЫ ТЕЛЛЕДЖЕНА

Переменим роли А ' и А" в (2-20) теоремы Теллед­

жена, тогда получим Ч-

Это уравнение мы будем называть «разностной фор­ мой» теоремы Телледжена. Оно может быть выведено из сильной формы, но обратное невозможно.

Сумма (2-20) и (2-21) приводит нас к иногда приме­ няющемуся другому виду теоремы Телледжена:

Ер (А'іѵА "ир + А " іѵА'иѵ) = £ а (А'іа А!'иа + А "іа А'иа).

(2-23)1

1 Предполагается, что операторы Л' и А" одновременно являют­ ся токовыми операторами и операторами напряжений Кирхгофа. В частности, пригодны линейные операторы.

21

Это уравнение будем называть «суммовой формой» теоремы Телледжена. Две слабые формы теоремы полез­ ны по двум причинам. Во-первых, они используются во многих применениях теоремы Телледжена, и было бы неудобным обращаться дважды к сильной форме. Вто­ рая причина — слабые формы особенно хорошо подхо­ дят при волновых переменных.

2-10. ИДЕАЛЬНЫЕ ТРАНСФОРМАТОРЫ

Не обсуждая конститутивные законы элементов в целом, можно сделать исключение в части трехполюс­ ного рис. 2-9 или четырехполюсного рис. 2-10 идеальных

— о —

трансформаторов, для которых конститутивные законы выражаются так:

где N есть вещественная постоянная — коэффициент

трансформации.

Из определения видно, что для любых операторов Кирхгофа Л' и Л"1

Л/г1Л//Ці+А/г2Л/,«2=0. (2-26)

Следовательно, всякий раз при применении теоремы Телледжена (в любой из ее форм) к цепи, в которой1

1 Допускается, что операторы Кирхгофа определяют «напряже­

к другим операторам Кирхгофа.

П

Имеются идеальные трансформаторы, часть суммы, Име­ ющая отношение к ветвям трансформатора, автомати­ чески ставится нулем и потому может быть исключена. Это же самое правило относится и к многозажимным идеальным трансформаторам, но не к трансформаторам с комплексным или зависящим от времени коэффициен­ том трансформации. Насколько известно авторам, други­ ми элементами, действие которых в теореме Телледжена всегда равно нулю для всех операторов Кирхгофа, являются лишь короткозамкнутые ветви (ы =0) и разо­ мкнутые ветви (і— 0).

Идеальный трансформатор обладает свойством неэнергетичности в том смысле, что мгновенная мощность в нем всегда равна нулю. Тем ие менее имеется и дру­ гое свойство, что он ничего не вносит в теорему Телледжена в отличие от многих других неэнергетичных эле­ ментов, как-то гираторов, идеальных диодов, конъюнкторов (Дюинкер, 1962 г. [Л. 55]) и традиторов (Дюинкер, 1959 г. [Л. 52]).

Если ясно не сформулировано противоположное, все теоремы в этой книге остаются в силе, когда в цепи име­ ются идеальные трансформаторы.

2-11. ФОРМА ТЕОРЕМЫ ТЕЛЛЕДЖЕНА ДЛЯ ДВУХ ЦЕПЕЙ

Теорема Телледжена была выведена для одиночной цепи и для операторов Кирхгофа, действующих на на­ пряжение и ток в этой цепы. Если возьмем две цепи с идентичной топологией, то доказательство теоремы не изменится, если рассматривать токи одной цепи, а на­ пряжения— другой. Обе цепи должны, конечно, иметь одинаковую индексацию ветвей и входов. Как пример двух цепей с одинаковыми топологиями см. рис. 2-6 и 2-7.

Теорема Телледжена для двух цепей может быть рас­ смотрена как специальный случай уравнений (2-20) при условии свободной интерпретации операторов Кирхгофа, позволяющей им, в частности, как выбирать цепь, так и выполнять другие операции. Теорема Телледжена для случая двух цепей была доказана и применена Бордеви-

ком (1956 г.) [Л. 13].

Одно из возможных применений теоремы Телледжена для двух цепей относится к симметричным цепям. Пред­ положим, что цепь симметрична в том смысле, что ее

23

•гополбгпя остается инвариантной в группе преобразова­ ний (нет, однако, необходимости, чтобы система токов и напряжений, конститутивные законы, питание или на­ чальные условия были бы инвариантными). В таком слу­ чае система токов или напряжений в теореме Телледжена или обе системы вместе могут быть отнесены к цепи после одного или более преобразований этой группы. Не­ известно, насколько теорема Телледжена может быть по­ лезна в этом отношении.

2-12. ДУАЛЬНАЯ ФОРМА ТЕОРЕМЫ ТЕЛЛЕДЖЕНА

Рассмотрим вторую цепь, которая является дуаль­ ной к первоначальной цепи. Дадим входам и ветвям двух цепей индексы, согласующиеся с дуальностью. Тогда второй закон Кирхгофа для первоначальной цепи иден­ тичен по форме с первым законом Кирхгофа для второй цепи. Можно поэтому установить ряд зависимостей меж­ ду токами двух цепей, аналогичных теореме Телледжена:

(2-27)

где іа — токи второй цепи.

Насколько известно авторам данной книги, такая форма теоремы Телледжена никогда еще не применя­ лась.

2-13. ВОЛНОВЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ

Приведенные здесь определения сделаны по образцу определений Карлина (1956 г.) [Л. 22]. Рассмотрим ка­ кую-либо ветвь цепи с напряжением иа и током іл (ана­

логичные аргументы относятся и к входам). Используя любую вещественную положительную величину Z" с размерностью сопротивления и известную как нормали­ зованное полное сопротивление, определим входящую вол­ ну аа и исходящую волну Ьа следующим образом:

(2-28)

(2-29)

2 ] / Z "

24

Эти волны являются функциями времени, хотя, ко­ нечно, применив к ним преобразования Фурье, можно определить функции в частотной области. Ток и напря­ жение могут быть найдены как функций волновых пере­ менных:

Мощность в элементе данной ветви будет:

Волновые переменные имеют размерность квадрат­ ного корня из мощности. Волновые переменные могут быть определены в каждой ветви и в каждом входе; нет необходимости иметь все нормализованные полные со­

противления Z" равными; зсе они вообще могут быть

разными. Часто отдается предпочтение применению ком­ плексного, а не вещественного нормализованного полно­ го сопротивления. Это описывается в приложении 2.

2-14. ТЕОРЕМА ТЕЛЛЕДЖЕНА, ВЫРАЖЕННАЯ В ВОЛНОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

Теорема Телледжена может быть выражена в вол­ новых переменных. В этом случае (2-20) превращается в зависимость

здесь принято, что операторы Л' и А" не влияют на нор­ мализованные полные сопротивления й

Эта форма теоремы Телледжена в некоторой степени усложнена, хотя ее и легко доказать путем подстановки

(2-30) и (2-31) в (2-20).1

1 Оба эти оператора должны быть как операторами напряжений Кирхгофа, так и операторами токов Кирхгофа.

25

Можно написать две менее сложные формы уравне­ ний. Первая форма получается из разностной формы тео­ ремы Телледжена, распространенной на волновые пере­ менные:

2р (А 'ірА "ир — A'HpA'üp) = 2LP (A'apA"bp — A "apA'bv) =

Эти формы могут быть выведены либо с помощью (2-33) и другого подобного же уравнения, в котором А' и А" переменены местами, либо посредством подстанов­

ки (2-30) и (2-31) в (2-22) и (2-23). Заметим, что вол­ новые переменные появляются в (2-34) так же, как на­ пряжение и ток, благодаря чему многие результаты, по­ лучаемые для матриц полного сопротивления, имеют си­ лу для матриц рассеивания. Обратим также внимание на то, что действие на входах в (2-33) и (2-35) может оце­ ниваться либо посредством токов и напряжений, либо посредством волновых переменных. Такого же рода дей­ ствие будет и в ветвях. Для примера можно приравнять второе и третье выражения в (2-34) так, что сумма чле­ нов, содержащих волновые переменные на входах, будет равна сумме членов с токами и напряжениями в ветвях. Такая гибкость полезна в применениях теоремы Теллед­ жена.

В более широком смысле можно сказать, что дейст­ вие от каждого входа или каждой ветви может быть написано или в форме ток — напряжение или в форме волновых переменных. Таким образом, мы можем исполь­ зовать токи напряжение на одном входе и волновые пе­ ременные на другом. Это допускается непосредственным обобщением уравнений (2-33) — (2-35); действие каждого входа или каждой ветви имеет или указанную форму ток — напряжение или же указанную форму волновых переменных (но не обе).

26

І-15. ВЕКТОРНО-ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ФОРМУЛИРОВКА ТЕОРЕМЫ ТЕЛЛЕДЖЕНА

Пожалуй, маилучшим изложением теоремы Телледжена является формулировка в функциях ортогонально­ сти подпространств векторного пространства. По суще­

самого в себя (Г). Тогда из теоремы Телледжена имеем, что У и Г являются ортогональными подпространствами векторного пространства 6-го измерения, т. е. любой век­ тор комплекта У ортогонален любому вектору комплек­ та Г.

В качестве примера этой формулировки рассмотрим тривиальную цепь на рис. 2-11. Выбранная цепь имеет только две ветви, так что векторное пространство 6-го

27