Файл: Козин, И. В. Элементы теории оптимального обнаружения и приема сигналов.pdf

ПРЕДИСЛОВИЕ

Теорию оптимального обнаружения и приема сигналов для гауссовских распределений вероятностен к настоящему времени можно считать построен­ ной. В ряде случаев, однако, гауссовские распределения вероятностей не являются достаточно хорошим описанием физических процессов.

В гидроакустике, например, более естественно считать, что помехой яв­ ляется случайный процесс, представляющий собой произведение гауссовско­ го процесса на положительный случайный коэффициент'-[22], т. е. гауссов­ ский процесс со случайной интенсивностью. В задачахУЬбнаруження и при­ ема сигналов, распространяющихся по очень большому' числу путей, обычно, предполагается, что при каждой из' Атпотез наблюдается гауссовский слу­ чайный процесс с нулевым средним [27]. Однако и здесь гауссовская модель наблюдаемых процессов плохо описывает реальные процессы. Одной из причин этого является узость класса гауссовских процессов, для которых возможно оптимальное обнаружение с отличными от нуля .обеими вероят­ ностями ошибок. В частности, если функция корреляции сигнала отличает­ ся от функции корреляции независимой аддитивной помехи только постоян­ ным множителем, обе вероятности ошибок обнаружения оказываются рав­ ными нулю, что слабо согласуется с ^инженерной интуицией. С целью из­ бавления от подобных неприятностей к наблюдаемому процессу при каж­ дой из гипотез добавляют аддитивную помеху в виде белого шума малой интенсивности, но при этом возникают не меньшие неприятности. Действи­ тельно, с одной стороны, белый шум превращает задачу -из» физической в чисто математическую, поскольку он имеет бесконечную мощность, а с Дру­ гой стороны, вероятности ошибок при этом целиком определяются величи­ ной .интенсивности добавляемого шума, и, в силу ее произвольности, также оказываются произвольными. Для построения модели наблюдаемых процес­ сов, в значительной степени свободной от перечисленных недостатков, мож­ но попытаться использовать следующий факт. Наблюдаемый процесс, преж­ де чем попасть на решающее устройство, всегда проходит входные цепи, коэффициент передачи которых никогда не бывает известным совершенно точно и не остается постоянным, а медленно (по сравнению с промежутком наблюдения) флюктуирует. По этой причине естественно считать коэффи­ циент передачи входных цепей постоянным на промежутке наблюдения, но случайным. Если к тому же предполагать при обеих гипотезах наблюдаемый процесс гауссовским с "нулевым средним, то процесс перед решающим уст­ ройством будет иметь вид произведения гауссовского процесса на случай­ ный коэффициент. Перенеся точку наблюдения на вход решающего устрой­ ства, получим, что и в этом случае наблюдаемый процесс будет гауссов­

ским процессом со случайной интенсивностью.

Таким образом, возникает необходимость расширения теории, оптималь­ ного обнаружения и приема сигналов на распределения вероятностей, со­ ответствующие процессам со случайной интенсивностью. Одно из таких расширений построено в предлагаемой вниманию читателя монографии.

Монография рассчитана на читателя, владеющего основами статистиче­ ской теории обнаружения и приема сигналов, например, в объеме книги Хелстрома [27]. Для получения замкнутых результатов в ней пришлось ис­ пользовать аппарат теории меры и абстрактного гильбертова пространства. Это несколько усложняет восприятие материала инженерами, но не явля­ ется непреодолимым препятствием, так как по теории меры и гильбертова пространства имеются прекрасные руководства [1, 4], из которых можно почерпнуть все необходимые сведения. Математик найдет -в книге большое число нерешенных вопросов, поскольку автор не ставил себе целью полу­ чить исчерпывающее решение проблемы, а хотел лишь получить результаты, достаточные для решения некоторых прикладных задач.

Г л а в а 1

ОПТИМАЛЬНЫЕ ПО БАЙЕСУ ПРОЦЕДУРЫ ОБНАРУЖЕНИЯ И ПРИЕМА СИГНАЛОВ

§ 1.1. Постановка задачи

Сущность работы устройств, .предназначенных для обнару­ жения, приема или различения сигналов, сводится к принятию решений о наличии на входе того или иного сигнала. Устрой­ ство может ошибаться, принимая решение не в пользу того сигнала, который в действительности имеется на его входе. Ес­ ли интересоваться только способностью устройств давать пра­ вильные или ошибочные решения, то независимо от конструк­ тивных и целевых особенностей эти устройства будут полностью характеризоваться использованными в них процедурами .при­ нятия решений. Оценивать качество процедур принятия реше­ ний можно при помощи различных критериев. Наиболее про­ стыми из. них являются энергетические критерии, например, отношение энергий сигнала и помехи [7] или критерий откло­ нения [12, 13, 16]. Более предпочтительной часто оказывается оценка качества процедур по величине среднего риска. Счи­ тается, что лучшей процедуре соответствует меньшее значение среднего риска. Процедура принятия решений, имеющая наи­ высшую величину качества, называется оптимальной. Проце­ дура, которой соответствует минимум среднего риска, называ­ ется оптимальной по Байесу.

Пусть [ciU\i, k — 1, ... , N — квадратная матрица, £; — по­

каждой меры относительно остальных, то ст-алгебра А не обя­ зана быть полной, относительно всех мер, соответствующих ги­ потезам.

Назовем разбиением Е пространства Q семейство А-изме- римых множеств Eit i= 1, ..., N, удовлетворяющих при каждом

N равенствам

P j^ E iftE ^ — Q для 1 ф к ,

и классом Е — совокупность всех разбиений Е.