Файл: Козин, И. В. Элементы теории оптимального обнаружения и приема сигналов.pdf

В теоремах 1.2.4 и 1.2.5 на основании теоремы 1.3.1 вместо

множеств Ek, определяемых равенством (1.2.13), можно взять множества

и (1.2.3), будет содержаться в Е. Теоремы 1.2.1—1.3.1 при этом останутся в силе, если в формулировках теорем 1.2.1—1.2.5 за­ менить Е на Е'. Выбрав в качестве Я вероятностную меру, эк­ вивалентную мере, определяемой формулой (1.2.1), получим Е' = Е. Формула (1.3.9) в обоих случаях теряет смысл.

Как видно из теорем 1.2.2, 1.2.4 и 1.2.5, отношение /^ (со)//г (со) производных Радона—Никодима мер Ри и Pi по мере Я имеет тот же смысл, что и отношение правдоподобия в случае конеч­ номерных распределений вероятностей. По этой причине отно­ шение /й.(со)//г (со) также можно называть отношением правдо­ подобия. Функция fhi(со) имеет смысл отношения правдоподо­ бия лишь в том случае, если мера Рн абсолютно непрерывна относительно меры Pi. Отношение правдоподобия ие обязано быть почти всюду конечным, поэтому его можно считать лишь обобщенной случайной величиной.

§ 1.4. Выбор измеримого пространства и задание на нем вероятностных мер

Для практического использования полученных выше резуль­ татов необходимо построить конкретное измеримое простран­ ство, определить на нем семейство счетно-аддитивных вероят­ ностных мер и иметь метод вычисления функций, определяю­ щих оптимальную процедуру принятия решений. Эти вопросы обсуждаются в оставшейся части главы.

В инженерной практике часто приходится иметь дело со случайными экспериментами, исходы которых представляют собой либо функции времени z(t), рассматриваемые на про­

межутке Т, либо вектор-функции г (t) = \Zj (£)}/, также рассма­ триваемые на промежутке Т. Встречаются ситуации, когда исходами являются функции и даже вектортфункции от век­ торного аргумента, например, от пространственных координат

13

мент этих функций принадлежит не промежутку, а некоторой ограниченной области координатно-временного пространства.

Для физических явлений наблюдаемые функции веществен­ ны, и интегралы

от них имеют смысл энергии, сосредоточенной в конечной об­ ласти изменения времени или временя и координат. По этой причине совершенно естественно требовать, чтобы выполня­ лось условие

а в совокупность вектор-функций, удовлетворяющих условию (1.4.1), можно ввести скалярное произведение

В первом случае получится пространство L 2 (Т), а во втором —

пространство L ^ T ) . Оба они являются реализациями вещест­ венного сепарабельного гильбертова пространства (стр. 338, 553 [26]).

Это обстоятельство позволяет выбрать в качестве .простран­ ства элементарных событий совокупность элементов вещест­ венного сепарабельного гильбертова пространства Н. Такой выбор, с одной стороны, дает возможность охватить довольно широкий круг задач, а с другой — воспользоваться хорошо раз­ работанным аппаратом и удобной символикой абстрактного гильбертова пространства.

Сепарабельность пространства Н обеспечивает существо­ вание в нем базиса. Пусть — произвольный базис в И

и С — борелевское множество в /г-мерном евклидовом про­ странстве Rn. Множество

элементов из Н называется цилиндрическим множеством с ос­ нованием С над элементами ей ■■■, е„. Пусть на цилиндриче­ ских множествах задана неотрицательная нормированная ме­ ра Р. Эта мера позволяет определить билинейный функционал

14

H

имеющий смысл смешанного начального момента второго по­ рядка. Если функционал B(v', v") непрерывен относительно нормы пространства Н, то

5 (o', v") = (Bv', о"),

причем оператор В неотрицателен и ограничен. Назовем В оператором момента второго порядка.

в конечной области пространства и времени, естественно счи­ тать конечным. Справедлива

Т е о р е м а 1.4.1. Неотрицательная нормированная мера Р цилиндрических множеств в Н счетно-аддитивна и удовлетво­ ряет условию

J | | 2f P ( c f e ) < o o

Я

тогда и только тогда, если ей соответствует ядерный оператор (стр. 55 [3]) момента второго порядка.

Поскольку существует взаимно-однозначное соответствие между вероятностными мерами и характеристическими функ­ ционалами, эта теорема может рассматриваться как вариант теоремы В. Сазонова [24] и в доказательстве не нуждается.

Обозначим через Н ст-алгебру, порожденную цилиндриче­ скими множествами с борелевскими основаниями над произ­ вольными линейно независимыми элементами в Н.

Очевидно, счетно-аддитивная мера Р цилиндрических мно­ жеств в Н определена на измеримом пространстве (Н, Н).

Для доказательства счетной аддитивности вероятностных мер на гильбертовом пространстве можно использовать и бо­ лее общую, чем теорема 1.4.1, теорему Минлоса — Сазонова. В .принятых обозначениях она может быть сформулирована

прерывная положительно определенная функция ф(уД задан­

и е иных позиций. Пусть на элементах некоторого пространст­ ва X задано множество Т функций t(x). Истолкуем их как ко­ ординаты x(t) = t(x) точки х £ Х и отобразим X на пространст­ во U всех вещественных функций x(t) на множестве Т (при-

15

ных мер Pi, i= 1, ..., N. Если каждая из этих мер абсолютно

кратно рассматривался в литературе [5, 9, 29], однако стоит обратиться к нему еще раз, чтобы получить более удобные ме­ тоды вычислений.

Пусть на измеримом пространстве (//, Н) определены две счетно-аддитивные меры Рг и Р. Фиксируем в Н произволь­ ную полную систему линейно независимых элементов (е * )^

и обозначим через Тп отображение пространства Я на Rn, за­ даваемое равенствами

tk = (z, ek), k = \, ... , п.

Пусть Р\п(С) — распределение на Rn, индуцированное при ото­

бражении Тп мерой Ръ а Рп(С) — распределение на Rn, инду­ цированное при отображении Тп мерой Р. Будем считать, что

16

в котором f(z) Н-измерима, неотрицательна и суммируема

Р{А) = Р ( Т ~ 1С) = Рп(С),

равенство (1.5.2) может быть записано также в виде

Рщ{С)= \ ' Ш Р { . Т п 1сИ).

с

Отсюда, на основании теоремы о замене переменной (стр. 115 [4]), с учетом равенств

Таким образом, на Н„ мера Рг абсолютно непрерывна отно­

Н -'Тд.;.ь,\О го ЗАЛА