Файл: Козин, И. В. Элементы теории оптимального обнаружения и приема сигналов.pdf

Скачать файл (4,93Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 64

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Далее,

'ш: 2 ^ ^ “ сл) Л М > Oj = Q,

в силу чего по формуле (1.2.6)

Е 2' =

{“ : 2

{Сл~

f s (l0) > 0 \ =

__ (

. f \

(°0

6а fcai — сзз) )

А так как

{

/а (ы)

6i (снг— Си) j

~р' — Jm • /1

6 °)

6afC;i -

Саг))

то

'Л М

6l(Cl2-C„) j ’

"с*' о

£7*

f . .

. -A (w )

.__

( с21

Соо) )

/т-

£ ” =

£ | п а = Г

-77м

< (с, -

г„)} °

£ "-

Вернемся к случаю

произвольного ЛЛ

Т е о р е м а

1.2.3.

Асли

к-мер а множеств

10 •

^Csk

Cs’^ f

при всех k=£v,

k, v = 1, ...

равна

нулю, то

семейство-

множеств E h ,k = 1, ...

, N ,

определяемых равенством (1.2.6),.

принадлежит

Е и минимизирует

сЕ

на Е.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Еи£ Е по теореме

1.2.1

имеет ме-

сто равенство

(1.2.8).

Поэтому

l.-мера

Ц[Дь Равна

единице.

А—1

Е;Г\Ек =

П си:2 ^ ( ^ - ^ . ) л н > о

j — 1

.5=1

j + k

n ®: У

(cSi —Csk)fs H > 0 n

5=1

П ш :У М ^-д /Л «))>0 n

		5 = 1
N	(	N
п		5 = 1
7 = 1		5 = 1
j + i
~ N	1•■=2N
n	1•■=2N		n
Jrl	l	S=1
]фк

nj<»:2 ^ —c sh)fs Ы= oj n

n n(ш:21 ^ ~~c^f*(t°) ^ 0

/•=11 i=l

J + i

благодаря чему до условиям теоремы Я-мера этого пересече ния равна нулю для i=A=k. Таким образом, Е' 6 Е. Доказатель ство того, что Е' минимизирует сЕ на Е, сводится к дословному повторению доказательства второй части теоремы 1.2.1 с заме

ной множеств Eok на множества Еь-

Для частного случая, когда коэффициенты 1 при 1ф к,

О при i — k,

средний риск превращается в полную вероятность ошибки

i= l

■При этом из теоремы 1.2.1 вытекает

Те о р е м а 1.2.4. Семейство Е0 множеств

Гк

Е ОА ~	П E k, где Ей — р 1		( 1.2. 12)
v^l
Л Н ^	k = \	____ N,	(1.2.13)
Л Н ^	?а

принадлежит Е и минимизирует рЕ на Е.

Теорема 1.2.4 является 'более общей, чем результат, полу

ченный Кадота [30].
Из теоремы 1.2.3 вытекает
Т е о р е м а 1.2.5. Если Х-мера множеств
	/ аИ		_ Zi \	(1.2.14)
	Л (“)		£аI

при всех 1ф к, i, k = 1, ...	,	N	равна нулю , то семейство
Е' множеств E k, k = l , ...	,	N ,	определяемое равенствами
(1.2.13), принадлежит Е и минимизирует р Е на Е.
Доказательство этих теорем элементарно я не требует осо
бых пояснений.
§ 1.3. Вторая форма условий оптимальности
Поскольку все меры Pit	t =l , ..., N определены на а-алгеб-

ре А, то для каждой пары мер Pi и Ph по теореме Лебега о разложении (стр. 111 [41) при любом А £ А справедливо соот ношение

P k(A )= + (1.3.1)

где fki{(£>) A-измеримая, определенная Р;-почти всюду, неотри цательная функция, а множество Shi A-измеримо и имеет Pi-

меру нуль.				'И множество Ski,	оказывается,
Функции fi(со), ffc((о),				'И множество Ski,	оказывается,
связаны между собой. Эту связь выявляет
Т е о р е м а		1.3.1.
Л ( “ ) = /йг(ш) почта всюду на S относительно меры Ри
Л М	. ■fki (ш) почта всюду на Ski относительно меры Pk,
Л Н	. ■fki (ш) почта всюду на Ski относительно меры Pk,
Л Н	"
/ Л ю)	= + оо	почта всюду на Skc относительно меры Рк.
fi (<■>)				множеств вида А П SkL при про
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Для	множеств вида А П SkL при про
извольном А £А из равенства				(1.3.1) вытекает,	что
		Р(А П 5,)=		M * ) P t(d*).	(1.3.2)
Обозначим		через х -	ЛпSki
Обозначим		через х -	(ш) характеристическую функцию мно-
	_	s ki

жества Skl. Поскольку мера Рг абсолютно непрерывна относи тельно меры Я, на основании теоремы о замене переменной

интегрирования (стр. 113 [41)	и формулы	(1.2.4)	равенство
(4.3.2) может быть переписано в виде			(1.3.3)
Pk {A PTSki) = j	И Л г (“ )fi N	х (<*“)-	(1.3.3)
С другой стороны, по формуле (1.2.4)			(1.3.4)
Pk{А П S#() = f х,	(®) fk И (d®).		(1.3.4)
д

В равенствах (1.3.3) и (1.3.4) подынтегральные функции А- измеримы. Отсюда, в силу единственности производной Радо на—Никодима, вытекает равенство

х* W A iW /iW = X 7 И Л И .

(1.3.5)

справедливое почти всюду на Q относительно меры Я. Так как меры Pi и Pk абсолютно непрерывны относительно меры Я и

Pi-мера множества S m равна нулю, из (1.3.4)			сразу же полу-,
чаем первые два равенства в теореме 1.3.4.
На множестве Ski,	согласно условию (1.2.4),
О =	P,(S«) =	j/» X (rfco ).	(1.3.6)
Множество Ski имеет положительную Я-меру,			поскольку
j fk (“) (rf°>) =		Pk (s ki) > 0,

а функция /л (со)		неотрицательна	и Я-почти всюду конечна.
Тогда	из условия	(1.3.6) \|ч(<й) = 0	почти всюду на Shi относи
тельно	меры X, а,	следовательно,	и относительно меры Рь.

Этим доказывается последнее равенство теоремы 1.3.1.

Вряде случаев бывает проще найти не сами функции fi((o)r

аих отношения

■М“ >= Л Ш

0-3.7)

Применяя формулы (1.2.1) и (1.2.4), найдем, что для А- измеримого множества А справедливо равенство

ЧЛ) = У1^РЛА)= f 2 £*Л(“)ЧЛ>)-

k=\

А 1

С другой стороны,

Х( А)= JX(cfu>).

Сравнивая между собой эти равенства, в силу единственности производной Радона — Никодима, находим, что

	2 ^ А (“)= 1			О-3-8)
	Й=1
почти всюду относительно меры X.
Далее, согласно соотношению (1.3.7),
	? ы И / , - (“ ) = / * ( “»)■
Умножая	обе части этого	равенства на &{, суммируя по			всем.
А = 1, ...,	N и принимая	во внимание	равенство	(1.3.8),	полу
чим
	h=\	(ш) =	1
	h=\
?1-ПОЧТИ всюду или
	Ш	= 1 Г Л ------		0-3.9)