Файл: Козин, И. В. Элементы теории оптимального обнаружения и приема сигналов.pdf

прерывны

все меры

этого семейства (т.

е. семейства Р/Ло доми­

нируемо).

Семейство Р/х,

не пусто.

Наименее

прозрачным для него

■является

пункт 5).

Он выполняется, например, для независи­

мых случайных

величин z k,

к =

1, 2,

. . . , удовлетворяющих

условиям

теоремы

классической

вырожденной сходимости

(стр. 293

[15]).

со

(стр. 481 [14]),

то при любом е > 0

2

■Й=1

К- ( I У„ ~

V*I >

е 1 = 2

сь ] '

/ М рм 1 1У»—

У ,

1 >

е/ л-)

dx.

h—l

О

Но из

пункта 5)

определения

семейства Р/х„

вытекает

сходи­

мость по

мере Р(к)

\А/х\

последовательности V„ . при любом

.х > 0

(стр.

180

[15]). Функции

Р(*> [ | Vn— V»| > е/л:} мажори­

руются

единицей.

Следовательно,

случайные

величины

V„

•определяемые равенством

(6.4.3),

сходятся по мере р к неко­

торому

пределу

V.

Пусть

А — пополнение

«-алгебры А по мере р. Случайная

величина

V, очевидно, A-измерима.

Она является

измеримой

и относительно

пополнения

«-алгебры А по

каждой

из

мер

•семейства

Р/*„, поскольку

р доминирует это

семейство.

•8*

115

числами w0 будем называть классом В.

пара

вероятно­

Заметим,

что если

Р н

Р\ — произвольная

стных мер из Р/х„

а Е — борелевск'ое

множество на

числовой

оси, TQ

P [ V £ E \ = \ f ( x ) d x ,

'

(6.5.1)

£

Pt | V 6 £ l =

f

/ ( i ) ^ .

.

-

(6.5.2>

л

Действительно, функция V измерима относительно полол-

нения А

по

мерам

Р

и

Р ь поэтому

левые

части

равенств.

(6.5.1)

и

(6.5.2)

имеют смысл. Как и для меры р. из пункта 5)

определения

семейства

Р д „

вытекает сходимость по

вероятно-

Р {V > с) — lim

lim \ /

(-v) Р ( V„ >

ср/х} dx =

Р

О

=

lim Пт

1 — f f { x ) F llx(cp)d x

d x ,

ср\.с Я**00

о -

Pi ( V > с) = lim

lim f /(* ) PA\-V„ > cpfx) dx =

c „ \ c

„

0

'

= lim

lim

- j f WF'n,(cp) dx =J/ (v) Tjr -

из которых, благодаря счетной

аддитивности мер Р и Р и не­

медленно

вытекает

справедливость равенств (6.5.1) и (6.5.2)

для произвольного

борелевского множества Е.

Если к

и

1 — £

— вероятности

нулевой

и первой гипотез,

а с00, сои

с10,

си — цены

решений,

то для

каждой процедуры

с = S [с00Я {Ф(V) < -сС'о) + с0, р (ф ( V) > -ш0) ] +

+

О— *) [*toPt iИ V) <

w0}+ сп Рл ft (V) >

w 0) ],

а

которую,

обозначив

через Е

множество

{ v :б (v) <( эд,,},

через Ех

множество [v : ф (v) >

w0] и приняв во внимание

равенства (6.5.1) и (6.5.2), сможем переписать

в виде

^00J /(■*)<§** +

*01 j / W

dx

н~

'10

d x

(6.5.3)

т г

Е

£•,

Равенство

(6.5.3)

показывает,

что

для

любой процедуры

из класса

В величина

среднего риска

не

зависит

от

конкрет­

ной пары мер Р и Я, из Р/*„.

Таким

образом, доказана

процедуре

различения гипотез

Т е о р е м а

6.5.1.

Каждой,

из класса

В,

независимо от

конкретной

пары,

мер

4Р и

4Я,

VI/

<•{/

J

При помощи теоремы 6.5.1 может быть доказана

Т е о р е м а 6.5.2. Процедура

[о0( V),

wol,

где

ф

tw\ —

. f 1

’

(6.5.4)

>-о

f ( V )

m

--

^ (с01 ~

С00)

(6.5.5)

0

(1 — £) (с,о— си ) ’

принадлежит В и ей соответствует наименьшая

величина.

среднего риска среди всех процедур класса В.

первая

Фактически в доказательстве

нуждается

только

Следовательно, процедура с

функцией (6.5.4) и

критическим

уровнем (6.5.5) принадлежит В.

§ 6.6. Минимаксная процедура. Наиболее трудно

различимые гипотезы

В дальнейшем потребуется следующее замечание.

Если

пара мер Р' и Pi удовлетворяет условиям 1)

—5)

(§ 6.4) опре­

деления семейства Р/х0,

то ее можно включить в это семейство.

В самом деле, если

мера

р доминирует

над

Р/>.0, то

все

'«)=

/( * )

!

f

т х

Zh 1dx

(6.6. 1)

2кх

e-xp

[ - i j

h-[

,0

*«) =

I

/(■*)

2кх).0 I e X P

W,

zjAdx.

(6.6.2)

I

2 r f 0

Если

0

равна

нулю

1

J=T

значе­

плотность f(x )

для

отрицательных

матическое ожидание

ш х , а 0 <(/.„< со то нетрудно показать,

что соответствующие

им меры Р' и Pi удовлетворяют усло­

виям 1) — 5)

(§ 6.4)

определения

семейства

Р/>,0 и, следова­

тельно, могут быть включены в это

семейство.

Теперь может

быть доказана

Если меры Р'

и Р { на (2, А) принадле­

Т е о р е м а

6.6.1.

подобия с критическим уровнем (6.5.5).

Таким

образом,

остается доказать, что отношение

правдоподобия Л(.г)

совпа­

дает с функцией,

определяемой

равенством

(6.5.4).

Повторив

почти дословно доказательство

теоремы

1.5.1, найдем,

чго

S i.

z„)

A (z) = lim -

zn)

g„ (z u

почти всюду на 2 относительно каждой из

мер Р'

и

Р,. Со-

гласно формулам (6.6.1) и (6.6.2)

I

f ( x ) x

exp

z-h \dx

SLH С-2!'

Z„ ) _

2 x lu

Mn (2

z ll)

/ (,v)x

~ exp — m*

V * ;

d x

y f n

exp

fix)

XlLV2 exp

n

V» d x

2\Pk Vn

2x1

xX0

(6.6.3)

exp j-jj

V n

fix)

exp

—9

2

^

Vn

У ,, j dx

V„ = ‘

п

z\.

*0 f ( v) ■

Обозначим

через

Е множество

точек

разрыва . функции

/(-^ -) j

f{v).

Это

множество

счетно,

в силу

чего

оно

будет

борелевским.

Для

него из (6.5.1) и (6.5.2)

вытекают равенства

P '{V £ E ) = § f ( x ) d x = Q,

(6.6.4)

Е

P i'( ^ e ^ ) = J / ( - ^ - )

(6.6.5)

Если через Е

Е

значений v,

обозначить

множество

при

кото­

рых функции f(v)

и / |~ - |

одновременно

обращаются в нуль,

то и для

него справедливы равенства

(6.6.4)

и (6.6.5).

Таким

образом,

функция

j

\ f ( v ) определена почти всюду на 2

относительно

каждой из мер Р! и Р\

и A-измерима.

Слу­

чайная

величина V является

А- и

A-измеримой и

совпадает

с V почти всюду на 2 относительно каждой из мер Р'

и

Pi-

Следовательно,

= /(WV)

f ( V ' M

* о / ( П

* о / ( » 0

почти всюду

на 2 относительно каждой из мер Р'

и Pi-

Что

и доказывает теорему 6.6.1. Из нее вытекает

опре­

Т е о р е м а

6.6.2. Процедура различения гипотез,

деляемая функцией (6.5.4) и критическим уровнем

(6.5.5),

имеет

наибольший

из

байесовских

рисков

для

всех

пар

вероятностных мер семейства Р/*0.

и ту

же

вели­

Действительно,

эта процедура имеет одну