Файл: Казьмин, В. М. Вероятностный метод анализа контактного взаимодействия забойных крепей с боковыми породами.pdf

такт с кровлей одноименные участки левой части перекрытия, выража­ ется суммой, число членов которой равно числу участков правой части перекрытия ( т Пр)« деленной на число участков правой части; •

6) среднее сопротивление крепи, приходящееся на вступившие в ко такт с кровлей одноименные участки правой части перекрытия, выража­ ется суммой, число членов которой равно числу участков левой части перекрытия ( ш ), деленной на число участков левой части;

в) каждое слагаемое такой суммы является дробью с двучленом

вчислителе и трехчленом в знаменателе, где первый член числи­

теля численно равен порядковому номеру слагаемого, второй член равен постоянному числу 0,5;, первый член знаменателя численно ра­ вен номеру условного участка перекрытия (при принятом на рис. 2.4 порядке нумерации участков), второй член - порядковому номеру сла­ гаемого, а третий член знаменателя равен постоянному числу 1.

Это дало основание записать формулы для определения среднего сопротивления крепи (средней нагрузки на контакт, расположенный в пределах рассматриваемого участка) в виде частичной суммы ряда для всех целых положительных п':

для участков левой части

лы для определения доли сопротивления всего лавокомплекта секций ' крепи, приходящейся на рассматриваемый участок:

44

кая задача (перекрытие считалось балочным) и была использована пер­ вая вероятностная модель, предусматривающая контактирование перекры­ тия в двух точках при равновероятности появления всех возможных ва­ риантов.

Начало координат было расположено в точке приложения равнодей­ ствующей (рис. 2.8,а), текущая координата точки, расположенной на левой части перекрытия, была обозначена через Xj, текущая коорди­ ната точки, расположенной На правой части перекрытия, - через ^ >а

координаты концов балки - через а и . b (при а < 0, Ь > 0).

45

Р и с . 2.8. К выводу формулы для расчета среднего сопротивления крепи в произвольной точке балочного перекрытия

Тогда согласно условиям (2.5) и (2.6)

(2.15)

(2.16)

Так как усилия Qx (Ox-j) в точках Xj (х ) являются функциями слу­

чайной величины Xj CXj ) ,равномерно распределенной в интервале (0 ,Ь )-

(0,а ), то среднее значение сопротивления крепи в этих точках (мате­ матическое ожидание) определилось следующим образом:

График, построенный на основании вычисленных по этим формулам результатов, изображен на рис. 2.8,6, где нанесены также значения Q ср , полученные при помощи приема перебора вариантов контактиро-

46

вания при разделении перекрытия на участки (см . графу 4 табл. 2 .2 ); из сопоставления явствует, что различие полученных двумя способами

. При выводе этой формулы две-точки контактирования А; и А2 были

зафиксированы и меняла положение только третья точка А^; усред­

нение было произведено сначала по переменным х^у3 , а затем по х2у2>

Однако получение формул (2.17) и (2.18) вовсе не означает, что удалось избавиться от разделения перекрытий на участки. Эти фор­ мулы дают неполное решение поставленной задачи, т.е. позволяют отве­ тить только на первый из перечисленных выше вопросов, а именно оп­ ределить среднее сопротивление перекрытия в точке контактирования, но не долю сопротивления лавокомплекта секций крепи в точке. Полное решение задачи, определяемое соотношением (2 .7), для точки невоз­

интервала, причем если мы не хотим исказить распределение иско­ мой величины по ширине поддерживаемого пространства, то обязаны выполнить вычисления для интервалов одинаковой длины, т.е. вернуть­ ся к тем же самым участкам, называя их интервалами.

Автором с использованием (2.17) и (2.18) получены формулы для определения доли сопротивления крепи в любом интервале.

Согласно (2 .7 ), искомая величина для интервала aj—а- (см. рис.

2,8) будет равна произведению среднего значения функции (2.17) в этом

интервале, которое определяется как

и ^зроятности появления контакта в этом интервале, которую можно

47

определить как

ai - aj

Однако если непосредственно выполнить интегрирование и начать производить вычисления по полученным формулам, то придется встре­ титься с логарифмами отрицательных чисел (так как отрицательные координаты точек левой части перекрытия войдут под знаки логарифмов), в результате чего нельзя будет получить численные значения искомых величин, поскольку отрицательные числа, как известно, логарифмов не имеют. Поэтому, чтобы решить задачу, будем считать направление оси абсцисс положительным по обе стороны от точки 0 (см . рис. 2.8,а) при­ ложения равнодействующей. Заметим, что к такому приему мы уже при­ бегали (см . обозначение участков на рис. 2.4) и получали имеющее физический смысл решение задачи как при помощи перебора вариантов контактирования, так и при выводе и применении формул (2 .11)-(2 .14). Поскольку формулы для левой и правой частей перекрытия выводятся

48

Ь;

из которых после интегрирования и некоторых преобразований получим

Иногда целесообразно произвести укрупненную Оценку, определив долю сопротивления крепи, приходящуюся на всю левую или на всю правую часть перекрытия. Для этого выведены следующие формулы:

для левой части перекрытия

Результаты, полученные по формулам (2.30) и (2.31), также чис­ ленно равны среднему сопротивлению крепи на контактах, располо­ женных соответственно в пределах левой и правой частей перекрытия, поскольку вероятность контактирования каждой из этих частей равна единице.

Воспользуемся теперь формулой (2.28) для определения доли со­ противления крепи на том же участке 4 левой части перекрытия (см.

896 4