Файл: Бобров, Ф. В. Сейсмические нагрузки на оболочки и висячие покрытия.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2024
Просмотров: 74
Скачиваний: 0
Для цилиндрической оболочки, |
когда R x = оо, |
R 2 = R t |
||
W/nn -- уб D {kn -J- Рш)2 4“ |
£6 |
• |
|
(18) |
& |
( ^ + pm)2 j |
|||
Уравнение формы свободных колебаний радиально опер той пологой оболочки с постоянными кривизнами кг и к2
имеет вид [18]:
^ _ | 1б7£ |
■yi sin %п a sin цт р |
(19) |
|
Я*у8 |
2d 2d |
®тптп |
|
|
т= 1п= 1 |
тп |
|
где q — равномерно распределенная радиальная нагрузка.
Это выражение справедливо для оболочек с постоянными кривизнами кг и /с2, а также для сферических и цилиндриче
ских оболочек.
Для оболочек с постоянными кривизнами значение (ozmn
в формуле (19) следует принять по формуле (16), для сфери ческой — по (17), а для цилиндрической — по (18).
Для определения частот свободных колебаний цилиндри ческих оболочек можно воспользоваться выражением (8), которое И. Е. Милейковский привел в работах [10 и 17]. Это выражение было использовано О. Н. Томсон для срав нения теоретических и экспериментальных частот свобод ных колебаний двух цилиндрических оболочек.
§2. Определение коэффициента формы колебаний
Вэтом разделе для определения коэффициента формы ко
лебаний оболочек применены |
предложения, изложенные |
И. Л. Корчинским в работах [8 |
и 9]. |
Как известно, принцип разложения по главным формам колебаний позволяет рассматривать колебания принятой расчетной схемы как взаимно независимые для каждой отдельной формы, т. е. каждую из них рассматривать как систему с одной степенью свободы. Применение этого прин ципа требует также и разложения нагрузки, вызывающей колебания, по тем же главным направлениям. Разложение это должно быть произведено так, чтобы каждый из членов разлагаемой нагрузки вызвал деформацию системы, точно отвечающую соответствующей форме ее свободного колеба ния. Для удовлетворения такого условия, нагрузку следует разложить в ряд, в котором каждый ее: вдецщаходатся в со ответствии с отвечающей рт др^щощсвободного колебания.
! на.'чнО-1С |
'-и!1Я I |
17 |
|
\ биЙ-лнО''с=не |
' |
] |
|
1 |
/Mjapwifif |
1 |
Поэтому можно написать
со |
|
( 20) |
2 г ‘ (“ . Р) — л(а- Р) |
||
где г(а, р) — нагрузка, |
вызывающая колебания оболочки; |
|
г1(а, р) — нагрузка, |
вызывающая колебания |
оболочки |
по i'-му тону. |
нагрузки |
|
Учитывая, что каждый член разложения |
||
гца, р) пропорционален соответствующей форме свободных
нолебаний Х/(а, р>, положим
г Ка, Р) = <*1 Х ц а , Р) Г (а, р), |
( 2 1 ) |
где at — некоторый коэффициент, зависящий от формы ко
лебаний системы, различный для каждого глав ного направления.
Чтобы выяснить, чему должен быть равен коэффициент сг, умножим обе части равенства (20) на величину Xh(a. р> (форма свободного колебания для к-го тона) и проинтегри
руем по всей поверхности оболочки:
Со |
Р0 |
Со |
Ро°° |
j |
j r (a, P )^ /I(a , P ) r f a d | 3 = |
J |
j 2 a i ^ i ( a , P ) /'( a , pj X , l(ct,p)rfarf(3. |
0 0 0 0 1
( 22)
Колебания, вызываемые вертикальным перемещением основания, можно рассматривать как вынужденные. В этом случае значение Г(Ц, pj равно:
где <7(а, р) — распределенная нагрузка по поверхности |
обо |
||||
лочки; |
|
|
|
|
|
g — ускорение силы тяжести; |
|
|
|||
ув — вертикальное ускорение основания. |
|
||||
Подставляя |
значение |
r(a, р> в |
интегралы выражения |
||
(22) и сокращая на y j g , получаем |
|
|
|
||
|
|
da ф |
Со |
Ро |
|
|
|
= Г |
Г X |
|
|
0 |
0 |
|
о |
о |
|
X 2 a i ^ ( а , Р) |
( а , Р) X h ( а , Р) r f a d | 3 . |
( 2 3 ) |
|||
18
В |
силу |
взаимной |
ортогональности форм свободных |
||||
|
|
Ко |
Ро |
|
|
|
|
колебаний |
все ) |
| |
q(a, р)Х/(0, Р) ^Л(а,р> dad$ (i Ф h) |
|
|||
|
|
d |
b |
|
|
|
|
обращаются в нуль и, следовательно, |
|
||||||
ао |
Ро |
|
|
|
ао Ро |
|
|
I' |
j 4{а. Р) Х л (а. Р) dad$= J |
j ah <7(а, Р)А1(а, р) dad$, |
(24) |
||||
0 |
о |
|
|
|
0 |
0 |
|
откуда |
|
|
JCto Jр„ fAa, Р) Xh (Ц, р) da |
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
а, = |
°-5------------------------- |
(25) |
|||
|
|
|
|
а.» |
Ро |
|
|
Jj 9(а, Р)ХМа, P)dadP
ОО
Заменяя h на i (т. е. для любой из форм свободных коле
баний), имеем
do Ро |
|
J j 9(а, р) А; (а, pj da d[3 |
|
О 0_________________ |
(26) |
|
|
J J 9(а, Р) Х\Да, Р) da |
|
О о |
|
Таким образом, величина нагрузки, соответствующая i-й форме колебаний оболочки на основании (21), равна:
Гi (а, Р) -■= O-i Хща, Р) Г(а, р) = |
|
|
По Ро |
|
|
J I 9(а, Р) Хца. Р) dad.fi |
|
|
= а0 Ро |
(а. Р) 'а, Р ■ |
(27) |
I I 9(а, Р)*?(а, P)dadP |
|
|
0 О |
|
|
Из этого выражения видно, что для нахождения нагруз ки, отвечающей г-й форме колебаний, необходимо ее полную величину, т. е.
Г(0. Р )~ |
9(a, Р) |
Уъ' |
|
8 |
|||
|
|
19
умножить на коэффициент, который пока обозначим через
С; (а, рц
По Ре
|
X i (а, р) J |
.1 |
Фа , Р ) X i (а, Р) da rfP |
|
f r ( a . P ) = |
„ ° |
° |
----------------------------------- ■ |
(28) |
|
Яо Ро |
|
|
|
Jфа, Р) x i(a, р) da rfP
ОО
Если задать <7(а, Р) = const (нагрузка по поверхности обо лочки постоянна) и принять Хцц.р) = sin Кп a sin р„г[3,
что соответствует случаю радиального опирання оболочки по контуру [18], то, проинтегрировав, получим
4 sin |
лла |
т я в |
|
|
------ sin --------(1 — cos лп) (1 —cos яш) |
|
|||
С, (а, Р) |
ао |
Ро ________________________ |
(29) |
|
|
sin 2лп |
sin 2тл \ |
||
|
тпл- |
|
||
|
2пл |
2тя / |
|
|
|
|
|
||
При т, п — 2, |
4, 6, |
..., С/ (а, р) = |
0; при т, п = 1,3,5,... |
|
Сца, Р) Ф 0- |
|
|
|
|
Тогда |
|
пла |
/лл{3 |
|
|
|
|
||
|
|
16 sin -------sin |
—-— |
|
Ci (а, Р) |
__________ « о __________ Р о |
(30) |
||
|
|
|||
т л я 2
§ 3. Второй способ определения коэффициента формы колебаний.
Формулу (28) можно получить еще одним способом, ес ли приближенно принять деформацию пологой оболочки как деформацию плиты при колебаниях по i'-му тону.
Дифференциальное уравнение деформации плиты имеет вид:
D V W i + n n a . ^ W ^ P , |
(31) |
где D — цилиндрическая жесткость,
D = — |
; |
12(1—v2) |
|
Wi — деформация плиты при колебаниях по £-му тону; Ща, р) — масса единицы поверхности оболочки;
20