Файл: Бобров, Ф. В. Сейсмические нагрузки на оболочки и висячие покрытия.pdf

Р— внешняя сила, которая является функцией вре­ мени;

Деформацию плиты при колебаниях по i-му тону можно представить в следующем виде:

21

получаем

Уравнение (37) — неоднородное уравнение второго по­ рядка. Общин интеграл соответствующего однородного урав­ нения имеет вид [21]:

Частное решение уравнения (37) надо искать в виде

где vL (i) и v.2 (/) — искомые функции от /, которые имеют

значение [21];

или, внося множители, не зависящие от переменной инте­ грирования под знак интеграла, имеем

fО

Общий интеграл уравнения (38) t

qt (t) = Ci cos кН -с2 sin Kt— —b j" f (x) sin к (t— x) dx. (42)

Переменная t входит в правую часть этой формулы двоя­ ким образом. Во-первых, t является верхним пределом ин­

теграла и, во-вторых, она входит под знак интеграла не

как переменная интегрирования, а как добавочный пара­ метр, который считается постоянным при интегрировании.

22

Далее нетрудно доказать, что решение (41) удовлетво­ ряет нулевым начальным условиям при t — /0, т. е.:

Первое из этих равенств непосредственно вытекает из (41), так как при t = tQверхний предел интеграла совпа­

дает с нижним и интеграл равен нулю. Чтобы проверить вто­ рое равенство, определим и' из формулы (40), приняв во внимание, что производная от интеграла по верхнему пре­ делу равна подынтегральной функции при верхнем пределе.

После очевидного сокращения получим

< i

и' = — Ъsin Kt j f_(т) sin Kxdx-f- b cos Kt J f (t) cos кхйх, to to

отсюда и вытекает непосредственно вторая из формул (43). Таким образом, можно записать

Анализируя полученное выражение, молено заметить, что произведение Ьц>ца, р> зависит только от координат (а , |3)

и характеризует только форму (а не величину) деформа­ ций. Обозначим это произведение через г)(-(а, р>.

Раскрыв значение Ь, получим

Если принять pj = const, т. е. распределение массы по поверхности оболочки постоянно, то можно написать

do Ро

I I Ф|?(а, р) d a dp

0 0

23

В случае радиального опирания оболочки по контуру

Это выражение полностью совпадает с выражением (30). Поэтому можно написать Сца, р) = rp(ai

§ 4. Определение сейсмических нагрузок при вертикальном движении основания

Движение основания принимаем вертикальным (рис. 4). Вертикальное ускорение каждой точки оболочки можно разложить на тангенциальную и нормальную составляю­ щие (рис. 5).

Анализируя полученные эпюры, можно прийти к выво­

ду, что при пологости f = jq — приближенно эпюру нор­

мальной составляющей вертикального ускорения ув мож­

но принять постоянной, равной г/в.

Силы упругости, возникающие в точке к оболочки при

ее деформации, прямо зависят только от прогиба в точ­ ке к (г/к), так как прямо пропорциональны ему. Если рас­

сматривать деформацию системы в каждом t-м направлении в отдельности, то у 1к пропорционален X i(xl<) [8], где — отклонение системы в точке к под действием силы Р и , при­

ложенной в точке / (рис. 6).

Силы, деформирующие систему по г'-й форме, равны [8]:

24

25