Файл: Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2024
Просмотров: 82
Скачиваний: 0
Пример 9. Какие из следующих функций являются четны ми, какие нечетными, какие не относятся ни к четным, ни к нечетным?
а) |
у — cosЗх, |
б) у = . І ід - , в) |
у = xz |
г) у = \х\ |
||
+ 1х—1|, д) у = |
\ 1 — х\ + I I + х |, |
е) у = |
je3 • sin .г, |
|
||
ж) у = |
sin х + cos X, |
3) у = У (4+х)а — У (4—х)2, |
|
|||
И) У = Іп4 т ^ - |
к)У = -~ +, 2 \ |
п ) у = \ п \ х —У х г — \ I . |
||||
|
1 *т" X |
|
А |
|
|
|
Р е ш е н и е . |
Для |
выяснения |
четности или |
нечетности |
||
данных функций сравниваем f(x) |
c f (—х). |
|
|
|||
а) /(х )= cos Зх; f ( —х)= cos (—Зх)= cos Зх- = f(x)—четная.
|
б) |
= |
|
=іт й г = ~ |
~ нечетная' |
|
в) f(x) = х3+1; / ( —X ) |
— (—л:)3 +1 Ф ± f{x) не являет |
|||
ся ни четной, ни нечетной. |
|
||||
= |
г) /(х) = I х I + I X—1 I ; / ( —х) = | — %| + 1— х — 1 j = |
||||
I х| |
4- I х + 1 I =£±f(x) |
не является ни |
четной, ни не |
||
четной. |
|
|
|
||
|
д) |
f (х) — I 1 — х I |
+ ! |
1+ -VI ; f(—x) — 11+-VI + 11— -VI = |
|
—} { x ) — четная. |
|
|
|
||
|
е) f {x) — X 3 ■s\n X-, |
f ( — x ) = ( —x)3-sin (—je) =/(x) —четная. |
|||
= |
ж) f(x) = sinx -f-cosx; |
/( — x)i= sin(—x) + cos(— x) = |
|||
— sinx + cosx=f=- + f(x) |
не является ни |
четной, ни не |
|||
четной. |
|
\ |
|
||
|
з) |
f (х) = V ( 4 - f х)2 —\ f (4— X)2; f ( — x) — Y (4— х)2— |
|||
— У (4-f- х)2 = — /(х) — нечетная.
и) / (х) = |
; f ( - x ) = Ш -р -І = — l n - ^ - = - / ( x ) — |
|||
|
1 + X |
|
1— X |
1-Ь X |
нечетная. |
|
|
|
|
, |
пх I 9-.г |
|
9 -.tr io.tr |
|
к) |
f(x) = — ~2-----; / ( —*) = |
---------- = /(х) — четная. |
||
л) / (х) = ln I X — У х г — 1 I ; / ( —х) = 1п |
- У х 2 — 1 |= |
|||
= In I X + Y X1 —1 I =1п |
= — ІП I X — У х 2— 1I =х |
|||
= — |
/(х) нечетная. |
/ х 2- 1 |
|
|
|
|
|
||
24
Пример 10. Доказать периодичность следующих функций и указать их наименьшие периоды: а) y=sinax ( а > 0),
б) у = cos4x, в) у —sinx+cosx, г) 2/='arcsin(sinx).
Р е ш е н и е , а) Периодичность функции очевидна. Для нахождения наименьшего периода выясним, при каком наи меньшем положительном Т справедливо равенство f(x + T) =
=f(x), |
то |
есть |
sina(x + r) =siniax. |
sin (а (х 4- Т)) — sin ах = О, |
||||||
|
Преобразуем |
это |
равенство: |
|||||||
2 cos |
■+ |
~^~-]’Sin—у - =0. |
Так |
как функция |
cos^ax + |
|||||
|
аТ \ |
не тождественна |
|
|
. оТ п |
|
|
|||
—т~) |
с нулем, то sin—— = 0, откуда |
|||||||||
аТ |
:nk |
(k = \, |
2, 3, . |
. |
. ), |
и, следовательно, |
Т |
Ink |
||
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2тс
Наименьший из периодов, очевидно, равен Т0
а
б) Периодичность функции очевидна (например, Т=2п — период). Длявнахождения наименьшего периода преобразуем равенство соэДх+Г) = cos4x:
cos4 (х -\-Т) — cos4 X =0,
[cos2 (х -)- Т) -f- cos2 х] • [cos2 (х + Т) — cos2'x] =0.
Первый из множителей в последнем равенстве тождествен ным нулем быть не может. Сокращая на него, второй мно житель представим в виде:
[cos (х + Т) -+- cos X] ■[cos (х -f- Т) — cos х] =0;
откуда
(постоянные множители сокращены). |
Здесь c o s ^ x - f - и |
|||
sin^*-|——j отличны |
от тождественного |
нуля. |
Следовательно |
|
т |
т |
|
T=nk |
(k—'1, 2, 3,...). |
cos — sin—= 0, откуда s in r= 0, и значит |
||||
Наименьший период Т0=и. |
|
|
||
в) |
Найдем наименьшее положительное число Т, для кото |
|||
рого |
справедливо |
равенство sin(x + 7) + cos(x-j-7’) =sinx+ |
||
25
+ cosx. С этой целью преобразуем его так: sin^-f-T7) —sinx = = cosx—cos^-J-r),
2cos {x -f -^-j-sin = 2 -sin^x + -y-j-sin-^- 1
т |
|
7 |
7 |
=0' |
[ » ( ' + |
|
)-!»(' + т )]'йп |
||
Так как cos ^х + |
—sin^x+ y -j ^O, то sin у - = 0 , откуда |
|||
— —nk (k = \, 2, |
3, . |
. |
. ). Наименьший период Т0 — 2я. |
|
З а м е ч а н и е . |
Все рассмотренные в примере 10 функ |
|||
ции определены |
на |
всей числовой оси. Поэтому первое ус |
||
ловие определения периодической функции всюду автомати чески выполняется и нами не проверялось. Рекомендуем чи тателю убедиться в следующем.
1. Определение «функция f(x) называется периодической, если существует число Т ф 0 такое, что для і|сех х из об ласти определения функции f(x + T) =f (x )» — неверно (в ка честве примера рассмотреть функцию у = sinx, определенную
лишь |
на |
отрезках вида |
(2k—1) - я ^ х :^ 2я& (k = Q, —1, |
—2,...) |
и |
—---- \-2 л к ^ х ^ . |
2я -(1 +k) (k — 0, 1, 2,...)). |
|
|
k -j- 1 |
|
2. Сумма двух периодических функций не всегда перио дична (в качестве примера рассмотреть функцию z/=sinx + -Ьэіпях).
г) Функция у —arcsin (sinx) определена при всех х и пе риодична. Действительно, равенство
arc sin (sinx) = arc sin [sin (x-f- T)]
равносильно равенству
sinx=sin(x+jr).
Следовательно, наименьший период данной функции Г0=2я.
Любопытен график данной функции: он состоит из бес конечного числа отрезков прямых линий, ибо
|
./ X, если —0,5я X <0,5 я |
|
||
arc sin (sin х) = |
я — X, |
если 0 , 5 я < х < 1 , 5 |
я |
|
X—2я, |
если — 1,5я < х-<2,5я |
|||
|
||||
26
Вообще |
|
arcsin(sin.v) = ( — l)* -(x — n k ), если |
я <,ѵ < 2fe+1- л |
2 |
2 |
(черт. 19). |
|
Черт. 19 Примеры для упражнений
Б е р м а н №№ 1—37; 40—116; 124—135; 138—166. Д е м и д о в и ч №№ 151—223, 231—236.
Вопросы для самоконтроля
1. Какие числа называются рациональными? Откуда сле дует, что целые числа относятся к рациональным?
2. Какие числа называются: а) иррациональными, б) дей ствительными?
|
3. Какие |
из следующих чисел аі =5,310031003100..., а2 = |
|
— |
аз = 2,13113111311113111113..., гі4= |
51/2"+7- |
|
- |
f / s T f Z 7, |
а з ^ ]/Г2я + 3—4Ѵ'2'к— 1-1-]/Г2л + 8—6 ] / 2я—1 |
|
являются рациональными, какие иррациональными?
4. |
Что называется: |
а) объединением двух |
множеств, |
||
б) пересечением двух |
множеств? |
пустым? |
|
||
5. |
Какое |
множество |
называется |
% 3, 4,5}? |
|
6. |
Верно |
ли равенство{2, 5, 1, 2, |
3, 5>4}={ 1, |
||
7..Что называется функцией?
8.Что называется а) областью прибытия функции, б) об ластью значений функции? В чем состоит различие между этими понятиями?
9.Какие функции называются периодическими? Что называется главным периодом?
10.Всегда ли произведение двух периодических функций есть функция периодическая?
11.Какая функция называется сложной?
12.Какие функции называются элементарными? Привес ти примеры элементарных и неэлементарных функций.
27
13. Что понимается под областью определения аналити-. чески заданной функции, если она задается без указания об
ласти |
определения? |
|
|
|
14. Что называется: а) суммой двух функций, б) произ |
||||
ведением двух функций? |
|
|
|
|
15. |
Даны функции f(x)=p |
и ф(х) = |
• Каковы об- |
|
ласти определения функций а) |
f (х) + ф (х), б) |
[(х)-ср(х)? От |
||
ветить |
на такой же вопрос: 1) для |
функций f ( x) =x+ — и |
||
Ф(х) —X2---- —1 ; 2) для функций у= V |
I—*2 и У= V х 2— 1- |
|||
2. Предел функции в точке
Рассмотрим теперь понятие предела действительной функции y = f(x) действительного аргумента х. Начнем со вспомогательной задачи. Пусть инженер-исследователь в ре зультате некоторого расчета получил формулу
Величину X он измеряет экспериментально, а величину у подсчитывает по приведенной формуле; кроме того, известно, что х > 1. Формула (А) сравнительно проста и вычисления значений величины у по заданному х не представляют зат
руднений. |
Однако |
исследователь |
замечает, |
что при х = 2 |
формула |
(А) дает |
неопределенный |
символ — |
. Как его ис |
толковать? Возникает естественный вопрос: если невозмож но найти значение у при х = 2, то нельзя ли, по крайней ме ре, указать такое число, к которому приближаются значе
ния |
функции, когда значения х начинают отличаться от 2 |
|
как |
угодно мало? Если такое число существует, то его-то |
|
и называют пределом функции. |
|
|
Рассматривая другую функцию у = > |
(БД мы можем |
|
заметить, что для любого х Ф 0 значения у легко вычис лимы, а при х = 0 получается неопределенность: дробь, стоя
щая в правой части формулы (Б) дает символ-^-. Опять
исследователя и математика интересует следующий вопрос. Мы не знаем значения функции в точке х=0, но известны значения функции в любой, как угодно малой, окрестности
.28