Файл: Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие.pdf

\

Пример 11

. + г е

1 і т (

1 + 2 + 3 + . .

п \

п—*оо ^

г е + 2

2 У

/

1 + п

= lim

=

l i m

— п

г е + 2

2

(ге + 2 )

2

n—»oä \

J

Я—*оо

2

Пример 12.

Вычислить

А = lim f—5----

1-----

4------7

1-----!-----

1- .

.

. -j----------

-

-------- ).

« - » и -4

7-11

1 (Зге—2) (Зге +1) У

Р е ш е н и е .

Преобразовав каждое слагаемое данной сум­

мы следующим образом

1

__ _і_

7 - 4

_

j _

/_і_____ і_\

4-7 ~

3 ’ 4-7

3

V 4

7 У’

_ J __ __

J _

11—7

_

/_1_

1

\

7-11 ~

3 ' 7-11

3

V 7

И / ’

1

_1_

I

(Зге+ 1 ) -(З г е —2) \

_

(Зге —2)-(Зн +1)

3

[

(Зге—2)-(Зге+1) '■) =

_J_

1

1

будем

иметь

~

3

Зге- 2

Зл +1 )•

1

Л =

— -lim ( і ---- -

+

т + т 11

4

3 л-*» I

4

1

1

+ • Зге — 2

Зге +'.1

= —

- lim fl — -

1

Пример 13.

3

п-*°° \

Зге + r) = T-

lim

[ 2 - V2 -

У 2 -

У 2 .

.

. 2" |/2 ) =

Я —*оо

..

,

і

Пт

1

2

= lim 2 + 2 + 4 + 8 + "

' + *п =

2

е=4.

=

1іт _____________[(/г8 + 4 я + 1) -

(Яа -Зга +2)] -У я » _____________

Я —*со БУ (яг+ 4 я+ 1)*1+ У ( л а+4л+1)3(/га- З я + 2 )+ ..У К ( я а-3 /і+ 2 )4

=

Пт

(7/1-1) У « 3

п -~ У ( л а+4л+ 1)4+ Ѵ (/га+4л-!-1)8(/га- З я + 2 )+ ...+ У ( я - З я + 2 )*

1

= Пт

_7_

5,

і/ К У Ѵ О У Я Ь т У "Ь

6

/~----------------

,

/ /

3

2 V

+•••■'- у

(■ -— + ^ і-)

П ри м ер

15.

оа

п

1

чп

1 ітЛ -‘,У--+1-

-Л

ІІГП• Зп*

Зяа + 2 л + 1

\ п

я-.,»

\ Зп’—п+і

1

_

еп—“ зп»-п+і _

lim f-3»!+ g^± L -\wд

л-ч» \ 3/іа —л-И У

= е

П р и м ер

16.

lim /

Ѵ 5 Г + Ѵ ^ + ...+ Ѵ а ~

У =

я —

\

гп

}

/пѵ^+пѵт, +...+пѵг„

-г)

-п _

Hm I

Я —>ею\

1

( nr r,-t

пѴГ,-і

-1 \

—

И ш ---------- 1-----------h - + п^ ~

п п-~ 1

і_

_L

Т

L

= е

\

п

п

— (Іп П.+І11 о,+...+1п от )

,п mV'ata, ... ат

=

т ,---------- -------

= ет

= е

У а1а3...а т .

lim I cos — ■cos —

. . cos

2"

2

i

X

X

n

X

x

.

.

2

•cos------■ cos ——

. cos--------«sin---------

=

lim

4

2n

271

X

П-*90

2-sin

X

X

X

-s in ■

X

COS— " *cos —

. cos — -—

277-1

=

lim ■

2

4

2n-i

2n

Л-*-»

2sin

sin л:

lim

Sin X

=

lim --------------=

---------

fl—»ec

_ _

.

X

fl—►NJ

X

2n . s in --------

2--11Г

Пример

18.

2n

/:—>xlim [Гi +

(— l)n "|cosec к V i-j-nT

Л - * ч е П

(-1 Г

Sill (TT

Vl-f/l*) ---

~ J

lim

( - 1 Г

lim

V l-j-Л* —П П ) - ( - 1)7*

----

0Л -*го

r tS in ( n

_ L

1

lim *

n

lim

n

л—►<»

— 0

Vi-j-я* -|-л

—

0

У \-\-пг -\~n

—

1

,im r S

i

JL

,im f

n*

)

L

= e "

n

= e « « - A K

/ = e * .

Примеры для

упражнений

Б е р м а н №№ 245—267.

Д е м и д о в и ч

№№

46—51,

53—56,

67,

429—434, 527,

она имеет предел.

Подробнее: а) если,

начиная с некоторо­

го номера, члены

последовательности

{а„} монотонно воз­

растают (т. е. а„+1

ап) и

если последовательность огра­

ничена сверху (т. е. существует число

N

такое, что a ^ N ) ,

то она имеет предел;

б) если, начиная,

с некоторого номера,

члены последовательности

{Ьп) монотонно

убывают (т. е.

Ьп+\

bn) и если последовательность ограничена снизу (то

есть

существует число

L такое, что L < ап),

то она имеет

предел.

Для

того, чтобы последовательность

3.

Критерий Коши.

{ап}

имела предел, необходимо и достаточно,

чтобы для лю­

бого

е>0 существовало

число N —N{&)

такое, что для всех

n>N и любого р>0

было

справедливо

неравенство |а„—

Покажем на примерах, как применяются эти признаки.

Пример 1.

Доказать,

что

\\m n\f а

(а>0).

Л —* оо

Доказательство. Рассмотрим два случая.

1) а > 1 .

Тогда, начиная

с некоторого

номера, будет

справедливо

неравенство n\fn

>> пу а

>

1.

Так

как

lim "]/п =1

(см. пример 2 §15)

и lim 1= 1,

то и lim nj/a

= 1

Л —ю о

f l —»ec

Л —ЮС

(на основании 1-го признака).

2) а<1.

Тогда lim

п]/а =

lim -----------=

------- ----- — = 1 ,

Л —*со

Л —*оо П

Г

1

П

Г Л

так как — > 1 .

Ѵ

т

у

і

а

ап

Пример 2.

Доказать

lim ---- = 0 (а > 0 ).

Л —ос

П\

Доказательство. Так как п-й член последовательности

Xп

ап

an+1

и,

следовательно,

'

I

= -------, то

хп+1— -----------,

л!

+

(я+1)!

,

-'"Л+1 -- *n

а

(А)

п +1

’

Из

(А)

вытекает, что

как только

выполнится

неравенство

п + 1> а,

так

станет справедливым

неравенство

хп+\< хп. Это