Файл: Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие.pdf

lim (an‘bn) = lima„- lim £>„;

limca,, =

c-lim a„;

Д—*oo

fl—»oe

fl—*co

fl—>го

fl—>oo

l i m a n

lim bn =^0;

lim (a„)m= (lim an)m

lim -^2- — ■n~>“— , если

f l —* OO

l i m

Д —* o c

f l —* 00

f l —*oo

f l —*oo

при условии существования пределов

lima„

и lim&„.

П—> c o

f l —* со

и функция F(x), определенная в

точках xn=f(n) (п=\, 2,

3,...). Последовательность

m m / д а н ...,

m n ) ] , . ,

ТО

,

Um F[f (п)] = F (Um'f(n)) = F(A).

(1)

f l —> с о

f l —*eo

Из этой теоремы, в частности, при условии существования

1іт/(/г), вытекает

справедливость следующих формул:

fl—*оо

lim 1п/(л) =

1 пІіт/(я)

(/(я)>0);

П т

/ ( л )

П т а*<п) = an- “

;

fl—>05

fl_*CO

fl—*Э0

lim c o s/(я) =

cos lim /(я);

lim arcsin/(rc) = arcsinlim /(я);

fl—*oo

fl—*CO

fl—*0O

fl—*oo

1

1

(I /(« ) !< !) ;

lim

И ш

Ф ( f l )

[/(«)]“

lim [/»]*<«> = [lim/(я)]'1'*“

fl—>CO

[ l i m

/ ( / г ) ] “ ’

П-

fl—*o°

Л-*«»

(f(n)>0 и T . n.

Теорема

3

(о

пределе

сложной

последовательности).

Если

дана

сложная последовательность {.Р[ф(яД}, где х„=

lim F [ф (//)]= lim F(x„) =

lim F (x) = А.

(2)

П-*Ä.

n—

Л'—>v„

и

при

достаточно больших п

j {п) 1,

2)

limtp(/i) =

с о ,

П—>эо •

3)

существует

конечный или

бесконечный

предел

lim cp (п) [/(«.) — 1],

то

П—»м

/ ( « ) —\)

Г и л Ф ( л ) !

(3)

lim |У(я)]ф (п) = ел_*~

.

Л —+ес

Передформулировкой следующей теоремы напомним чи-

/ тателю

определение эквивалентных

последовательностей.

Две

бесконечно

малые последовательности { f(n)} и { (р(п)}

называются эквивалентными, если

lim -—

=1. В этом

слу­

чае пишут f(n) ~ф (п).

/I-»»

Теорема 5.

Если limf(X)=0,

то имеют место следующие

соотношения:

П-*»

ef (n) —1 ~ /(/г);

1.

sin/(rt) —

/ (/г);

6.

2.

7.

qM"> — 1— /(/г)-In a;

3.

1 — cos f (n ) -----'-[fin)]2]

8.

In [1+ / («)] ~ / (n);

4.

arcsin/(n) ~

/(л);

9.

ioga [i+ /(«)]— 4 м

;

in a

5.

arctg f (n) ~ /( л ) Г

10.

[1+

/( д ) ] ѵ _ і _ т /(/г),

существования

lim/(n) вытекает существование

lim/(X),

И—

>со

равного lim/(и). Эти условия дает следующая

Теорема 6.

Если существует \\mf(n)=A, а функция f(x),

Л —»со

2) Пусть для определенности f(x)

и f(n) монотонно воз­

растают; тогда для любого п

^

/(и) < lim / (п) =

А.

П —» со

ни было х,

Но тогда и /(л')г^Л, ибо каково бы

найдется

п ^ х ,

для которого f ( n ) ^ A , а тогда / (х) г~:/ (/г)

.

оо-О).

1

Л —>оо

И

Р е ш е н и е .

Воспользуемся формулой

lim/(и) = lim/f— V

Получим

/і —>ео

Z —»0 \ Z /

si n z

. .

. 1

. .

,

І і т н -sm— =

li m ------- =

1.

П - ж

f l

2 —+0

Z

Пример 2. Вычислить lim [п (In(я -j-1) — Inn)].

•

f l —>со

Р е ш е н и е .

Известно, что

lim ( 1 +

—

е

( lim (1 4- — Y — lim (1 +

х)~* = е ) .

« ~ » о . \

>І

J

\ Л - > » \

I I

J ■ Х - Л

]

n sin —

— 1

n

ленность вида

т)

Так как

Р е ш е н и е .

Положим л:„ =

л -sin-

- 1.

lim хп = lim in - sin —

1 ) = 0 (см. пример 1), то,

восполь-

п—*09

П—*0О\

Л

получим

зовавшйсь формулой (2),

1

sin і л sin —

— 1

, .

sin Хп

. .

sin X

.

lim

1

= lim ----- - ^=lim-------=

1.

— 1

п —юо

х п

х^О X

п si n —

п

Пример 4- lim \атпт+

ат-\Пт~х +

aYn +

а0] =

т-r

-

П * — ЗЛ2 + 1

/

OO\

Пример 5. lim

--------:— 1—

неопределенность

вида— .

Л --С О

2 И 4 + П 1

\

с о )

Ч-

П ри м ер 6- Н т --/г + 1

Ііт

со.

г

^

Зна + 2

з

— +

л

П ри м ер 7' П т

3п3 — 2л 4-1 =; lim •

+'

= 0 .

3

. 4л4 + 3

4

и3

Пример 8.

Вычислить

А = lim

(3tt* - 1 )3 —2ла• ( 3 - п у + (л + 2)6 - (Зя3 +2л +1)а _

л-co

Зл» — 2л4-(3л»+1)

А

2 7 — 2 + 1 — 9^

_____17_

3 - 6

“

-3

П р и м ер 9.

lim

Сп 4-3)! 4

l i m . (".± 2 )!- ( " + 3+ 1) — lim iL ± i . ==i.

{п + э)! + ( " + 2)! -

m

--------—

(л +2)!-(л + 3 —1)

п + 2

я—и»

(л +3)! — (п -г 2)!

П ри м ер 10.

_3_

lim

ла- У л 8 +1 — Зл3

Пт

У

Ч

п

П—юо V 4л' + ла + 1 +2

Л—«о

]

/

4+ Л + - Л + * т

У

л* н*

л*