Файл: Харитонов, В. В. Некоторые нелинейные задачи теплопроводности.pdf

решения которых [23, 24] .отыскиваем в виде

Уг =

ch (x]/ß) + C2sh (x i ß ) ,

y2=

C,/0 (/■Y B ) +

CJ<0(/•, ß),

где / 0 (z)

и /С0 (z) — модифицированные функции Бесселя первого

и второго

рода нулевого

порядка, или окончательно

Т (х) =

Схch (д' У В) -г С2 sh (X ]/ß ) + —

(1-73)

(О < x < L ) ,

В

7, ( 0 = C 8/0(rV ^) +

C4/Co(rKß)+ "I"

(1-74)

( 0 < r < d / 2 ) .

Постоянные интегрирования Сх — С4

находим из

граничных

условий, имея в виду,

что [24]

/ 0 (0) =

1;

/С0 (г) = с»;

l'0(г) = / 4(г);

2 -+- оо

Ко (г) = Кі (г);

Іх(0) = 0;

Кг (г) = оо.

Тогда получаем

2 -ѵО

а

С — Т —

•

(1-75)

ß

L l ~

0

’

) ch (L ]/ß ) -

/ 01

1/ß) sh (L / 5 )

; (1-76)

( т

1ch (L / ß ) — / x 1 у

j / ß j sh (L / ß )

Г —

Q c h ^ l/ß J + Q s h ^ l/ß )

(1-77)

из

M

i * " 5)

c 4 =

o.

П-78)

АТ = Т { В ) - Т (С) = ( с з + А - ) - 7V

^ (1-79)

d2T

J _

_dT_

(T4 — 7І) = 0

(1-80)

dr2

'

г

’ dr

U

или, полагая Т0<

Т и обозначая

А — 2спДб,

+

1

dT

(1-81)

—

. —

------ЛГ4 = 0.

dr2

г

dr

Граничные условия будут:

В

и

Q -

Х2ягвб |-

dT

\

(1-82)

dr

)г

'в

т = т ■

-

( Z

1

= 0 .

(1-83)

Переходя к безразмерным параметрам по соотношениям . Ѳ =

= Т/Тя и X = х/гя

(х = гя — г), получаем

гі2Ѳ

___ 1_

è Ѳ

— A T l r l t f

= 0

(1-84)

dx2

X —

1

dx

или при у = X :

А . где А =

АТ\гІ ,

d20

_1_

d&

— Ѳ4 =

0.

(1-85)

dy2

y — b

dy

Здесь и далее b = "YА ■ Тогда граничные условия

в новых пе­

ременных будут:

г = гя: у =; О, .Ѳ (0) = 1 и 0'(0) =

0;

(1-86)

У=(1—/-в) Ѵі, =

и Ѳ„ ==

Q

(1-87)

Ѳ^ \(уУ)) —= “а00+1 ^ауу1 У

+т “а.22уІ/- -jI - “aztf3 L

+.

( 1-88)

■/3

I

Тогда

Оі -I- 2а,у +

3а3у3 +

. . . ,

(1-89)

Ѳ' (У) =

Ѳ" (у) = 2а, + 6а3у + 12а4у2+ ...

(1-90)

И поскольку Ѳ(у) = ^

аьук,

то, согласно

[30],

к -0

[Ѳ (у)]4 = с0-f суу -I- с2у2 + . . .

(1-91)

Откуда, использовав условия

(1-86),

получим

а0 = 1;

ах — 0;

с0 = а4 = 1.

Тогда будем иметь

2сі,у -j- 6а3у2-f- 12а4у3

2a,b — 6афу — 12алЬу2— . . . ~|

-г aL-f 2а,у -f 3о3у2

4а4у3

■У — сіУ

— соУ — • •

• -і-

сфу +

ф /

-j- сфі/ + . . . =

0,

(1-92)

а1-\- b — 2а,Ь = 0;

4а2 — 6аф — 1 -]- cjj = 0;

9а,

12а4Ь — c1Jr c,b =

0;

k?ak— k ( k — \) а,1+1 b — с,,_2 +

ск_хЬ =

0.

Вычисляя коэффициенты ск и ак,

получаем следующую по­

следовательность:

1

1

3 + №

а0 = 1; ах = 0; а,

; а, =

— ; а, =

------

-----------;

2

3! b

41 й2

12 +

8b2

flB=

60 +

36b2 — 12b3 +

64b4

a. = ------------- ;

6! b4

5! b3

и T.

Д.

Нетрудно заметить,

что числитель каждого

из

коэффи­

циентов, начиная с ав,

представляет

собой

некоторый полином

от b

степени

(k — 2),

так

что

ak — zh!k\

b/i-2,

где zh = Ba —

— Bjb + Вф3— B3b3+ . . . -|- Bb_„ bk~3,

при

этом

Вг =

0;

В0 =

= {k-\)M 2 .

Подставим полученные значения коэффициентов в. (1-88), тогда

решение примет вид

® (£/) =

1

1

4Ь2

і/

+

12 + 8b2

•••

Н - i - t f

-I- -т—У3 +

24Ь2

У6 +

2

6Ь

120 Ь3

L {k -

1)! +

В2Ь2-

В3Ь3+

. . . +

Bh_2 bk~3

•

•

•

+

k\ bk 2

(1-93)

или,

поскольку

у = xb — (1— г) V~Ä,

то

Ѳ(г) = 1 + - ^ - ( 1- г )2

( 1 - г ) 3

Л (3 +

4 А)

( 1 - г ) 4 +

+ ■

24

•

— (Ä— 1)!+ В 2Л —В3А

,4 + . . .

+

+

k\

(1- г ) * + . . .

(1-94)

_ Поскольку обычно в

интересующих

нас

случаях

[21, 25J

А +[ 1,

то, пренебрегая по малости всеми членами

при Ап,

когда

/і >

1,

выражение (1-94)

можно переписать как

Ѳ (Г)«1 +

А

(1 - Г )« +

А

( І _

г)* +

^ _

(1_ г)4.

+ . . .

+

А

(1 - r f A

- . . .

(1-95)

или

2k

Ѳ (г) я= 1 +

у ,

(1- г ) *

А

А

2 + +

(1 -г) + Х (1 - О 2

/і=і