Файл: Двухточечные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 61

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§6. НИЖНИЕ И ВЕРХНИЕ РЕШЕНИЯ

Впредыдущем параграфе для решения х уравнения

X, х'),

(6.1)

где fŒCar(IXR2), при наличии оценки

a (/)^ * (/)s S ß (0 Ѵ *е/,

(6.2)

где а, ß e C (/), было установлено существование апри­ орной оценки

v(t, t) s^x'(t) S^w(t, t) 'ytŒil

(6.3)

и показано, как строятся функции ѵ и w.

В § 1—4 при рассмотрении краевых задач требова­ лось существование нижнего и верхнего решений а и р и выполнение некоторых дополнительных условий, кото­ рые гарантировали существование решения х соответ­ ствующей краевой задачи, удовлетворяющего оценке (6.2). В этом параграфе приводится несколько общих теорем, устанавливающих существование нижнего

иверхнего решений уравнения (6.1).

Вряде работ (они перечислены в начале главы), где приводятся условия существования решения краевой за­ дачи, не требуется явно существования нижнего и верх­ него решений а и р. Но оказывается, опираясь на при­ водимые в этих работах условия существования, легко

можно построить нижние

и верхние решения

а и р .

Эти построения приводятся

в конце параграфа.

 

Теорема 6.1. Для того чтобы функции a, $œ.AC\(I) были соответственно нижним и верхним решениями уравнения (6.1), необходимо и достаточно, чтобы вы­ полнялись условия

1)

Hfi, f26ECar(/Xtf2), н Gu G2CZI X R2\

2)

f(t,

X, x ' ) ^ f l (t, X,

x')

y

(t, X,

X') œ GU

 

î(t,

x, x')

f2(t, x,

x')

y

(R x,

X') œ G2;

3)

a "(t)= n (t,a (t),a '(t))

 

p^t<=I,

 

Р " (0 = Ы ^

ß(t), ß '(0)

 

PVtetl;

4) (/,

а (0 ,

a'(t))<=Gl

уЦе=1,

{t,

ß(0,

ß'(0)€=G2

VtŒl.

Доказательство этой теоремы непосредственно следует из определения нижнего и верхнего решений уравне­ ния (6.1).

На практике, если существуют функции fі и f2, удов­ летворяющие условиям 1—2 теоремы 6.1, нижние и верх­

ние решения а и р

удобно

искать как

решения задачи

Коши соответственно уравнений

 

x" = fi(t,

X, х')

и x" = f2(t,

X, х').

При этом требуется, чтобы решения существовали на

вс(ем

интервале / и удовлетворяли условию 4 тео­

ремы

6.1.

Приводимые ниже теоремы 6.2 и 6.3 показывают, что при некоторых частных видах функций fі и f2 удается получить легко проверяемые условия, гарантирующие

существование

нижнего

и

верхнего решений

уравнения

( 6 . 1) .

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 6.2. Пусть

 

 

 

 

 

 

т е ( 0 ,

оо),

г е ( 0 ,

т ),

k= (m — r) (b — a)~l

и выполняются условия

 

 

 

 

 

1)

g/ieC ([r, т]),/г(х) ^ 0

 

у X œ [T, т],

 

 

ЗсреС([0, k}), ср(х)>0

у X œ [0, k\ ;

 

2)

f(t, X, х ' ) ^

 

 

 

 

 

 

 

*^ММ)ф(І*'І)

р y f e l ,

у х<=[-т,

- г ] ,

 

у д /е [0 , Щ

или

удс'е[ —k, 0];

 

3)

f(t, X, х') ^

 

 

 

 

 

 

 

5 = М М ) ф ( М )

p y t Πl ,

V X œ [г, т ] ,

 

 

у л /е[0 , k]

или

у х ' е [ —k, 0] ;

 

 

к

т

 

 

 

 

 

 

4)

J —А ; > f h(s)ds.

 

 

 

 

 

 

Z <P(s)

І

 

 

 

 

 

 

Тогда существуют нижнее и

 

верхнее решения a u f ,

уравнения (6.1), такие, что

 

у ^ е /.

Доказательство. Построим верхнее решение ß уравне­ ния (6.1). Для этого используем лишь условия 1, 3, 4, при этом для определенности в условии 3 будем счи­ тать, что неравенство выполняется для всех

A-'œ [0, к].

Пусть ß — решение задачи Коши

х"= — h(x)q>(x'), x (a ) —r, x'(a)=k.

Покажем тогда, что

где

 

(t,

ß(0. ß '(0 )e G

vtŒl,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G=

{(t,

X,

x') :t<=I, Xœ [r,

m\ , x'<= [0,

/г]}.

Заметим,

что

из

равенства

\V {a) =k

и

неравенства

р"(0«£0, справедливого в области G, следует неравен­

ство

 

Допустим теперь, что найдется t0^ ( a , b],

такое, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ß'(fo) =0,

0<ß'(()

 

 

V *œ [Û, fo)-

Тогда, разделив обе части равенства

 

 

 

ß"(f) = -M ß(0)q>(ß'(*))

Ѵ*е=[а, (о]

на <p(ß'(0)> умножив на ß'(f)

и проинтегрировав, полу­

чаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ß'(io)

 

 

 

 

 

ß(U)

 

 

 

 

f

 

Tlß

ІИ

= -

 

/

м

к о

х

т

ß'(a)

 

ß(a)

 

 

 

 

откуда, учитывая

неравенство

ß(io)^m,

следует

 

 

 

 

ß((о

 

 

 

 

 

 

 

/

TAÄ)

f

h ( s ) d s ^ f

h(s)ds,

 

 

0

ß^a)

 

 

 

 

 

 

 

что противоречит условию 4. Таким образом, на всем интервале I справедливо неравенство 0 < ß / (^ )^ ^ , от­ куда интегрированием получаем r ^ ß ( t ) ^ т , что дока­ зывает оценку (t, ß(/), ß'(())G Ö yjtŒ.1.

Для построения нижнего решения a достаточно ис­ пользовать условия 1, 2, 4. Считая для определенности,

что неравенство f^/icp в условии 2 выполняется для всех x'Œ[ — k, 0], возьмем а как решение задачи Коши

x" = h (\x \)y (\x '\), x(a) = —r, x'(a) = —k.

Ясно, что а — нижнее решение, причем сс= —ß, по­

этому а (O ^ ß (О

YtŒl. Н

 

 

 

 

Теорема 6.3. Пусть ш е [0,

сю), T œ [0,

оо)

и выполня­

ются условия

 

 

 

 

 

 

 

1)

Нфь ф2еС ([г,

оо)),

 

 

 

 

 

 

Фі (у)> 0

ѴУ^[г, оо),

V

{1.

 

 

 

HPi, P2e L (/) ,

p i ( t ) ^ 0

PVtŒl,

y ie { l,2 } ;

2)

f(t, X, x') sg;

 

 

 

 

 

 

 

 

* $ /?і(0ф і(М ) P V Ï œ I,

\ X œ ( - OO, -

m],

 

у х 'е [г ,

оо)

или

y x 'e ( —oo, —г];

 

3)

f{t, x, x') 52=

 

 

 

 

 

 

 

^ - p 2 { t ) ^ { \ x ' \ )

pytŒil,

VXŒ[m,oo),

 

y XrŒ.[r, сю)

или

VXrŒ.{ — 00, —ri,

 

 

 

0°

b

 

 

 

 

 

 

4)

f

f Pi(s)ds

V ^ { 1 ,2 } .

 

 

 

г

T M /

a

 

 

 

 

 

 

Тогда существуют нижнее и верхнее решения а и р урав­ нения (6.1), такие, что a ( t ) ^ ß ( t ) V ^œ /.

Доказательство этой теоремы проводится по такой же схеме, как и доказательство теоремы 6.2.

Приведем еще один результат, относящийся к построе­ нию нижнего и верхнего решений для уравнения (6.1) и отличающийся от предыдущих, в частности, способом доказательства.

Теорема 6.4. Пусть р, q ^ L (I ), q ( t ) ^ 0

у Î œ I

и выполняются условия:

 

1) f(t, x, x')=sS

 

 

 

s^p(t)x + q(i)

у

(t, x, х')<=ІХ (-о о ,

0] XR,

f ( t ,x ,x ') ^ z

 

 

 

5гp ( t ) x - q ( t )

y

(t, x, x')<=IX [0, oo) XR]

2) уравнение y"=p(t)y

имеет решение

y(t), такое,

что у (а) =0, у'(а) = 1, y{t)>0

ytŒ{a,

b\.

Тогда для любых А, ß s [ 0 ,

оо) функции а = —ѵ и ß = n,

где V — решение краевой задачи

 

 

v"=p(t)v — q(t),

v(a)=A,

v(b)=B,

будут соответственно нижним и верхним решениями уравнения (6.1).

Доказательство. Покажем, что v(t) ^ 0 на интервале I, чем и будет доказана теорема. Предположим обратное,

пусть

t0, tiŒl такие,

что v(t0) = п(£і) =0,

v(t) < 0

V tŒ.

e(^o,

^i).

Тогда, умножая равенство

y"(t) = p(t)y(t)

на v(t),

a равенство

v" (t) = p (t) v (t) —q (t) — на

y(t)

и вычитая второе из первого, получим после интегриро­ вания

fi

 

 

if1

 

 

/ d (v (t) y '( t) - y (t)v '(t ))=

f

y(t)q(t)dt,

 

to

 

to

 

 

 

откуда

 

t,

 

 

 

 

 

 

 

 

y(to)v'(t0) - y ( t i) v '( ti) = f

у (t)q(t)dt.

(6.4)

 

^0

 

 

 

Заметим, что если q(t)=0

pytŒ.[t0, t{\,

то необходимо

в'(^о)¥=0, ѵ'(іі)Ф 0, так как в противном

случае

v(t) =

=0 ѵ*е=[/0, *і].

 

 

 

 

 

Следовательно, учитывая неравенства

 

 

y (t ) > 0

у /е ( а ,

Ь];

 

 

v ' ( t o ) ^ 0, v '(ti)^ 0 , q ( t ) ^ 0

pyt<=I,

 

получаем, что соотношение (6.4) не выполняется. Таким образом, v(t) ^ 0 у / е / . ■

Перечислим ряд работ, в которых приводятся доста­ точные условия разрешимости краевых задач и не фигу­ рируют явно нижние и верхние решения.

Условия

разрешимости краевых

задач,

приведенные

в работах

С. Н. Бернштейна [1,

2] и Ю.

А. Клокова

Смотрите также файлы