Файл: Двухточечные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений..pdf

кроме того,

Для такой функции F, как будет показано в следую­ щем параграфе, можно построить функции tu t2, ts,

V, w, удовлетворяющие условиям 4—8 теоремы 2.1. Ус­ ловия 9, 10 теоремы З.І для функций Л! и Л2 также выполняются. Следовательно, в силу теоремы 3.1 суще­ ствует решение х задачи

x"=F(t, X, х'), Ліх = 0, Л2х=0,

такое, что x<=S(F, Ль Л2). Осталось доказать оценку

Установим прежде справедливость следующего утвер­ ждения: для доказательства неравенства

Следовательно, учитывая определение функции F и ус­ ловие 7, получаем

0<ф(^2, x(t2) ) - x ' ( t 2) - (ф(*і, x {t\)) - x'(ti)) =

= f (Dіф(/, x(t)) +D2([>(t, x(t))x'(t) -

что и доказывает сформулированное выше утверждение. Докажем теперь оценку (4.3). Пусть уі = Т Тогда для доказательства неравенства (4.4) достаточно показать,

что <р(а, х(а) ) ^ х ' ( а ) .

Допустим обратное, т. е. пусть ср (а, х(а) ) >х'(а). Тогда

0 = аізЛіЖ= оізЛі(х(а), х{Ь), х'(а), 0) =

= сгізЛі(х(а), х(Ъ), ф(а, х{а)), ф(Ь, х(Ь)))-Ь

+ аіз2(х '(а)-0 (ф (а, х(а)), х'{а), ф(а, х { а ) ) ) ) ^

^ х ' ( а ) —ф(а, х(а))< 0 .

Тогда мы снова придем к противоречию:

0 = сг24Л2л:= а24Л2(л:(а), х(Ь), 0, х'(Ь)) =

=а2іЛ2(х(а), x(b), <р(а, х(а)), ф(Ь, х(Ь))) -

-о 2іа2і{х'{Ь) -0(<р(Ь, х(Ь)), х'(Ь), ф(6, x(b))))s=

s^x'(b ) — q>(b, x{b ))< 0.

Следовательно, неравенство (4.4) при уі = _ 1 доказано. Аналогично доказывается неравенство x ' ( t ) ^ =^ф(£, x(t)) для всех tŒl. Таким образом, оценка (4.2)

доказана, т. е. х — решение задачи (4.1). Ц

§ 5. ОБОБЩЕННЫЕ УСЛОВИЯ БЕРНШТЕЙНА

В предыдущих параграфах получены необходимые и достаточные условия существования решения краевых задач. В этом параграфе рассматривается уравнение

нии априорной оценки производной решения х уравне­ ния (5.1) при наличии априорной оценки самого реше­ ния. В теореме 2.1 уже имелся пример получения априорной оценки производной решения двухточечной краевой задачи. Здесь же этот вопрос изучается более подробно.

где и, ß e C (/), приводятся достаточные условия суще­ ствования априорной оценки производной х' реше­ ния л::

Дается более детальное, чем в § 2, определение функ­ ций V и W.

В этом параграфе показывается, что наличие оценки

(так называемого обобщенного условия Бернштейна), где gi и ері удовлетворяют определенным требованиям, позволяет построить функции ѵ и w, а следовательно, и доказать существование априорной оценки (5.3). За­ метим, что известные условия Бернштейна и Нагумо являются частными случаями условия (5.4). Таким об­ разом, многие результаты по разрешимости краевых задач, где используются условия Бернштейна, Нагумо или им подобные, например результаты работ Л. Джек-

Функцию и будем называть фильтром вверх, если спра­ ведливо условие

V t3Œ [Д, Д], у ДеЕ [Д, Д], у ( [Д, Д] )

из х' (t3)> u (t3) следует x'(U) ^ги(і4). Множество фильт­ ров вверх при фиксированных Д и Д будем обозначать Д*([Д, Д]). Функцию и будем называть фильтром вниз, если справедливо условие

Ѵ Д е[Д , Д], ѵД^[Д>Д]> V x ^ S ( [/3, /4] ) •

Из х ' (Д) <u(t3) следует л:'(Д) sgw (Д). Множество фильт­ ров вниз при фиксированных Д и Д будем обозначать

([tu Д]).

чие доказывает, что uŒU*(\t], /2]). Аналогично доказы­ вается вторая часть леммы. ■

Прежде чем сформулировать лемму 5.2, введем два обозначения: через s*(/, т, a, ф ) будем обозначать ниж­ нее решение задачи Коши s'='cp(/, s), S (T) = O, где т е /, O œR, (p^Car{IXR) , а через s*(t, т, о, ф ) — верхнее решение этой же задачи.

Л е м м а 5 . 2 . Пусть

t{<=[a, b), t2Œ(tu b], se/? , <peCar(/X/?).

Если выполняется условие

1) f(t, X, y)Rzy{t, y) y (t, X, y)<=®XR

и одно из следующих условий:

2) s»(t, t1, a, ф) существует на интервале [/ь /2] ы

то U œ U* ( [/,, t2]).

ются условия 1 и 2. На основании леммы 5.1 достаточно доказать, что

V [*з, U ] a [ tu t2] и yxe=S([t3, U])

Применяя теперь известные теоремы сравнения (см., например, работу В. М. Алексеева [1]) для уравнения s'=tp(t, s), получим х' (t)^su(t) у ^ [^ з , П].

Остальные случаи рассматриваются аналогично. ■