Файл: Двухточечные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений..pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2024
Просмотров: 58
Скачиваний: 0
х'(10) > w (t0) , то из определения верхнего фильтра по лучаем
x ' ( t ) ^ w ( t ) ytf= [tu t2].
Следовательно,
ß(/2) - ~ a (ti)^ x (t2) - x ( t i ) = Jиx'(î)dt>
и
І2
> f w (t)di^?,(t2) - a (h), t,
что невозможно. Аналогично доказывается вторая часть леммы. ■
Используя лемму 5.3, легко получить условия для су ществования априорной оценки производной от решения
хе 5 (/) . Выпишем эти условия. Теорема 5.1. Пусть функции
tu t2, h, ty.I-^I, ѵ.Гі-^-R, w.r2-+R
удовлетворяют условиям
1) ti(to) ^ t o ^ t 2(to), ti(to) <.t2(to)
h{U) |
h(t0)< ti(t0) y to ^ t; |
2)v(t0, t)ŒV{t0, іг(і0), t2(t0)), w(t0, t)e=W{t0; h (t0), U(t0))\
3) J |
v{t0, t)dts^a{t2{t0)) -p(t\(to)) |
y t o ^ I , |
ti(to) |
|
|
ti(h) |
|
|
f |
w(t0, t ) d t ^ ^ ( t 4(t0) ) - a ( t 3(t0)) |
VtQ<=I. |
UM
Тогда справедлива оценка для любого X œ S(I) v(t, t ) ^ x ' ( t ) ^ w ( t , t) y I œ I.
Справедливость этой теоремы непосредственно следует из леммы 5.3. Наличие оценки |/|^5ср позволяет постро ить функции tи t2, t3, t4, V, w, удовлетворяющие усло виям 1 и 2 теоремы 5.1.
П о с т р о е н и е . Пусть |
cpeCar (IXR). |
Для |
Uœ I, |
N œ (0, оо) определим t3(tQ, |
N), і4(і0, N) |
и w{t0, |
t, N) |
следующим образом. Если s*{t, t0, N, ф) определено на
[а, |
/о] и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s*{t, |
to, N, |
ф )>0 |
y t ^ [ a , t 0], |
|
|
|
||||
то |
t3(t0, |
N)=a. |
Если |
же |
t3Œ[a, |
t0) |
такое, |
что |
||||||
s*(t, tQ, |
N, |
ф) определено на |
[t3, |
*0], s*(/3, |
to, |
N, ф) = |
||||||||
= 0 и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s*(t, |
to, N, |
ф)>0 |
y tΠ(t3, to], |
|
|
|
||||
то |
t3(t0, |
N ) = t 3. |
Если |
s*(t, |
to, |
N, —ф) |
определено |
на |
||||||
[to, |
b] и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s*{t, to, N, |
—ф) > 0 |
ytΠ[t0, b], |
|
|
|
|||||
то |
ti(t0, |
N)=b. |
Если |
же |
t4<= (t0, |
b] |
такое, |
что |
||||||
s*{t, t0, N, |
—ф) определено на |
[/0, |
U, N, —ф) = |
|||||||||||
= 0 и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s*(t, |
to, N, |
—ф)> 0 |
ytΠ[t0, U), |
|
|
|
||||
то t4(to, N) = t4. Положим теперь |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
w(i0, t, |
N) =s*(t, |
to, N, |
ф) |
y iΠ[t3(t0, N), |
to], |
|
|||||||
|
w(t0, t, |
N)=s*(t, t0, N, |
—ф) |
y tΠ[t0, t4(t0, N)]. |
|
|||||||||
Для to^I, |
iV e(-o o , |
0) определим ty{t0, N), |
t2(t0, |
N), |
||||||||||
v(t0, t, N) |
следующим образом. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Если s*(t, |
to, N, —ф) определено на [а, ^0] и |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
s*{t, |
to, N, —ф) <0 |
ytŒ[a, |
/о], |
|
|
|
||||
то U {to, N) = а.
Если же t\Œi[a, to) такое, что s*(t, t0, N, —ф) опреде лено на [tu /о], s*(tu to, N, —ф )=0 и
s*(t, U, N, —ф) <0 yt<=(tu to],
то ti(t0, N) = tx.
Если s*(t, tQ, N, |
cp) определено на [t0, Ъ] и |
s*{t, |
to, N, Ф)< 0 yt(=[t0,b], |
то t2(t0, N)=b.
Если же t2Œ(t0, &] такое, что s*(t, to, N, q>) опреде
лено на [f0, t2], s*(t2, to, N, ф) =0 и |
|
|
|||||
s*(t, to, N, ф )<0 |
y t ^ [ t 0, h], |
||||||
то t2(t0, N) =t2. |
|
|
|
|
|
|
|
Положим теперь |
|
|
|
|
|
|
|
v{t0, t, N)=s*(t, |
t0, N, |
-ф ) |
yt<=[ti{t0, N), f0], |
||||
v(t0, t, N)=s*(t, |
t0, N, |
ф) |
|
yt<=[to, |
t2(tQ, A/)]. |
||
Лемма 5.4. Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
Ф ^Саг(IXR), |
Л/і:/-ѵ(0, |
oo), |
AT2 |
— oo, 0) |
|||
и |
|
|
|
|
|
|
|
\f{t, X, y) I |
= ^ ф ( £ , y) |
Y(t, |
X, y)(=wXR. |
||||
Тогда функции |
|
|
|
|
|
|
|
t\ (to) =t\ {to, |
Ni(t0)); |
t2(to) =t2(to, |
Ni(to))', |
||||
h(to)=h(to, N2(t0) ) ; U(to)^U(to, |
В Д о ) ) ; |
||||||
v(to, t)=v(to, t, |
Nx{to))\ |
w {to, |
t ) = w { t 0, t, N2{to) ) |
||||
удовлетворяют условиям 1 |
и |
2 |
теоремы 5.1, а также |
||||
условиям 4—6 и 8 теоремы 2.1. |
|
|
|
|
|||
Справедливость |
этой леммы |
следует |
из построения |
||||
и леммы 5.2. |
|
ф(t, у) |
наложить |
дополнительное |
|||
Если на функцию |
|||||||
условие, обеспечивающее справедливость условия 3 те оремы 5.1 или, что то же самое, условия 7 теоремы 2.1, то получим априорную оценку для производной.
Рассмотрим случай, когда ф(£, у) —g{t)(po(y) ■ Теорема 5.2. Пусть
ІѴе(0, oo), g^L(I), фо^C(R)
и, кроме того, |
|
|
|
1) |
g(t ) ^ 0 |
yteal; |
|
2) |
фоО/) > 0 |
и ф0(г/) =фо( —г/) уг/е=/?; |
|
3 ) |
\f(t, X, у) \^g(t)<fo(y) |
Y( t , x, y)<ai(i>XR; |
|
4) |
|
|
, oldies |
|
S^max ß(^) —min а(і) |
у / 0е / , |
|
|
I |
1 |
|
где ф_1 — функция, обратная
Тогда у x e S (/) u |
у |
бг/ôer \x'{t) j ^IV. |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пользуясь леммой 5.4, можно в яв |
|
ном виде выписать функции ѵ и w. Полагая NJ->-{N}, Ni'.I->{ІѴ} и выписывая решения соответствующих задач Коши, получим
w(t0, t) = ф - ‘
ѵ(і0, t) = - w ( t 0, t) V*0e / ;
y /e[/i(^ o ), ^2(^0)] = [^3(^0), ^4(^0)]-
Отсюда и из условия 4 следует справедливость усло вия 3 теоремы 5.1. Значит, для любого решения X œ S(I) есть априорная оценка
v(t, t)s^x'(t)s^w(t, t) y te / .
Из w(t, t) = — v{t, t ) —N у t ^ I следует справедливость теоремы. ■
P
Теперь рассмотрим случай ф(/, у) = £ £Гг(0фг(у)-
4 - 383
Теорема 5.3. Пусть
М=(0, оо), /7€={1, 2, ...}, gif=LPt(I), фiŒC(l),
где іе {1, ..., р}, |
PiŒ[ 1, |
оо], |
и, кроме |
того, |
|
|
||||||
О |
g i ( t ) ^ 0 |
yte=I, |
|
yte={l, |
|
|
|
|
|
|||
2) |
Фг(у)2гО, ц>і(у) = ф і(-г/) |
V y ^ R , |
ViŒ{l, ..., /;}; |
|||||||||
3) |
\f(t, X, y) | < |
£ ёіѴ)Уі(У) |
V (t, X, y)Œa |
XR, |
|
|||||||
V J œ {1, ..., |
p}\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4) |
/ |
r |
r> |
|
|
-1 |
|
|
|
|
||
x(y)d y> Y l II^H ^M 1 |
|
, |
|
|
|
|
||||||
No |
1= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где JV0 = M(Ô—a) _1; M==max ß(/) —min a(0 ; x(ÿ) = |
||||||||||||
|
|
|
—1 |
|
|
I |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= min у 1_Pi |
фг Ч у ) . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
І |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
y X œ S(I) |
|
и |
yt<=I |
выполняется |
неравенство |
|||||
\ x '( t ) \ ^ N . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Доказательство. |
Воспользуемся леммой |
5.4, полагая |
||||||||||
JV!:/->{ІѴ>, N2:I^>-{ — N}. |
Фиксируем |
tQ^ I |
и |
проверим |
||||||||
справедливость |
условия |
3 теоремы 5.1. |
Так |
как |
w = |
|||||||
= —V, |
то достаточно |
проверить |
справедливость |
усло |
||||||||
вия 3 теоремы 5.1 только для w. Если tü{t0) —a, t^{t0) —
= Ь и w(t0, t)> N 0 |
y^Π/, |
|
|
то |
|
b |
b |
^4(^o) |
|
||
f w(t0, t)di — |
f w(l0, t)dl> f N0dl = |
||
U ( t o ) |
|
a |
a |
= N0(b — a) =max ß(£) - |
min a(/) ^ ß ( / 4(/0) ) - u ( t 2(t0)). |
||
I |
|
I |
|
Пусть i5^ [ i 3(i0), |
f0] |
такое, |
что v(t0, is) =N0. Тогда |
is < іо И |
|
|
|
и
/ x(y)dy= f x(w(lQ, i))D2w{io, i)dt =
h
ві?
|
= Z |
J |
x(w(to, t))gi(t)(pi(w(t0, t))d t^ |
|
І = ! |
І 5 |
|
P |
JJ* |
_J |
(^0 , t ) y c x{w{tQ, t))gi(t)4>i(w(t0, t))dt = |
Z |
J w ' ~ p,i |
||
i=1 и |
|
|
|
|
= |
Z f gi(Oa’ l~Pr'(fo, i)dt^ |
|||
|
*=' /5 |
|
|
|
|
^ |
Z |
Hgill Pi ( / |
ш(^0, 0 ^ ) г «£ |
||
|
г>1 |
\(s |
|
/ |
|
|
Г, |
/ |
MM |
|
|
ssZlIffillp, |
/ |
w(io,t)dt |
|||
|
i = l |
M3(io) |
|
|
|
Если |
|
|
|
|
|
|
|
Mio) |
tûJ(/0, t)dt^M, |
||
|
|
J* |
|||
|
|
*.iUo) |
|
|
|
ТО |
|
|
|
|
|
|
r> |
|
, |
1 |
j x(y)dy^ |
|
Z |
llgfllp^ |
p< < |
||
|
г= 1 |
|
|
|
ІѴ0 |
|
r> |
/ |
'<“»> |
t)dt |
|
^ |
Z |
ÜÊfill Pi ( |
j |
w(to, |
|
|
І=Л |
'io (io ) |
|
|
|
|
|
^ Z i i g i i i p ^ 1^ ^ 1 , |
|||
|
|
i-1 |
|
|
|
что невозможно. Следовательно,
І 4 » 0 )
/ш(^0, t)dt>M =max $(t) —mina(f) 3?
i,îi.) |
7 |
7 |
|
==3=ß (^4 (^o) ) —d(h (to) )• |
|
Случай, когда |
ts^ ( t 0, /4(^0)1 |
такое, что w(t0, tË)=N0, |
рассматривается аналогично. ■