Файл: Двухточечные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений..pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2024
Просмотров: 60
Скачиваний: 0
[1, 2, 6], позволяют построить нижние и верхние реше ния а и р , причем такие, что а ^ ß.
Действительно, опираясь на условие
xf(t, X, 0)3^0 \ x \ > k ^ 0 ,
приведенное Ю. А. Клоковым и обобщающее условие
D2f(t, |
X, х') > г > О, |
используемое С. Н. Бернштейном, и полагая |
|
а (/) = - С , |
ß(/) =С у /<=/, |
где С е (к, оо), нетрудно |
проверить, что а и ß — иско |
мые нижние и верхние решения.
Используя условия разрешимости, приведенные в ра
ботах Дж. |
Бебернеса |
[1], Дж. Бебернеса и Р. Гейнса |
|||
[1, |
2], Г. |
Келлера |
[1], М. |
Лиса |
[1], Л. Фаунтина |
и |
Л. Джексона [1], |
также |
можно |
построить нижние |
|
и верхние решения а и ß. Наиболее общие условия раз
решимости |
получены |
в |
работе |
Дж. |
Бебернеса |
|
и Р. Гейнса |
[2]. Вот два из этих условий: |
|
||||
f(t, у, x ' ) ^ f ( t , |
X, |
х') |
при |
у ^ х \ |
|
|
\f(t, 0, x ') —f(t, 0, 0 ) |^ ^ |х '|, |
где |
kŒ(0, |
о о ) . 1 ' |
|||
Положим |
М = шах|[(/, 0, 0) |
|, г, |
т е ( 0, оо) |
|
||
|
|
|||||
|
I |
|
|
|
|
|
и решим задачи Коши
a" — k\a'\+M , a(a) = —r, а'(а) = —т ; ß " = - k ß ' - M , ß(a) =r, ß'(a)=m.
Подбором г и т можно добиться того, чтобы а и р удов летворяли условию
as£0, a'sSO, ß3=0, ß'S?0.
Ясно, что |
тогда |
а и р |
будут соответственно |
нижним |
и верхним |
решениями |
уравнения (6.1), причем |
такими, |
|
что a(Z) ^ ß ( 0 |
y t e / . |
|
|
|
§ 7. ЕДИНСТВЕННОСТЬ И НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
РЕШЕНИЯ
В этом параграфе приводятся две теоремы. Одна из них устанавливает единственность, другая — непрерыв ную зависимость решения краевой задачи
x" = f(t, X, x'), L,x = 0, L 2X = 0, |
(7.1) |
где )(=C ar(/X ^2); Ц, L2^C(RR). Теорема 7.1. Пусть
1) |
L,e=Af(l,0, - 1 ,0 ) , L2G M(1, 1, 1,1); |
|
|
||||||||
2) |
L \(zu z2, z3, z4) строго монотонна no zlt a |
|
|
||||||||
3) |
L2(ZU Z2, Z3, Zi) строго монотонна no z2, |
|
х" = |
||||||||
для |
любых |
двух |
решений |
х, |
у |
уравнения |
|||||
|
= f(t, |
x, |
х'), |
определенных |
на |
всем интервале / |
|||||
|
и таких, |
что x(to)<y(lo) для некоторого |
/0е / |
вы |
|||||||
|
полняется условие из х '(to) <.у'(to) |
следует x '(t) < |
|||||||||
|
<y'(t |
у /е [/о , |
b], |
из |
x'(to)=y'(t0) |
следует |
|||||
|
x '( t ) ^ y '( t ) |
Ѵ ^ [/о , Ь]. |
|
|
|
более од |
|||||
Тогда краевая задача |
(6.1) |
не может иметь |
|||||||||
ного решения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Доказательство. Пусть х и у — решения краевой за дачи (6.1), причем существует такое to^I, что x(t0)< < y(t0). Тогда условие 3 допускает лишь следующие со отношения между x и у в точке і = а:
a) |
х(а) |
<у(а), х'(а) ^ у '(а ); |
B) |
х(а) |
^Ку(а), х' (а) <у'(а) ; |
c)х(а) =у(а), х'(а) =у'(а)\
d)х(а)>у(а), х'(а)<у'(а).
Используя свойства функции L u имеем в случае а:
0 = L\X = Lx(х(а), 0, х'(а), 0) < < L l (y(a), 0, у '(a), 0)=Liy = 0,
что невозможно. В случае d аналогично приходим к про тиворечию.
Случай b в силу условия 3 влечет неравенства х(Ь) <у(Ь) , х'(Ь)<у'(Ь), следовательно, используя свой ства функции L2, имеем
0 = L2x = L2(x(a), х(Ь), х'(а), х'(Ь))< < 1 2(у(а), у(Ь), у '(a), y'(b ))= L 2y = 0,
что невозможно. Аналогично приходим к противоречию в случае с. Ц
Замечание 7.1. Условие 3 теоремы 7.1 выполняется, если f(t, X, у) не убывает по х и удовлетворяет обоб щенному локальному условию Липшица по у.
Более подробно вопрос о единственности рассмотрен в следующей главе. Сформулированная ниже теорема показывает, что из единственности и априорной ограни ченности следует непрерывная зависимость решения от
данных задачи. |
(7.1) рассмотрим краевую задачу |
|
Наряду с задачей |
||
x"=fo(t, |
X, х'), Li°x = 0, Ь2°х = 0, |
(7.2) |
где /0е С а г (/Х ^ 2); БД Б2°еС (Я 4).
Теорема 7.2. Пусть х0 — единственное решение крае вой задачи (7.2), М е(0, оо), х — любое решение крае вой задачи (7.1) и существует априорная оценка
|.т (0 Н М , |
|je'(f)|.sSM |
у і ^ І . |
|||
Тогда для любого е е (0, оо) |
существует б е (0, сю), та |
||||
кое, что из неравенств |
|
|
|
|
|
|
\fo(t, X, |
у ) - f i t , X, |
у) |< |
|
|
< б |
pyt<=I, |
у (х, |
t/) e [ - M , М]2; |
||
\ L i ° ( z U Z2, 23, |
Z4) |
22, 23, |
24) | < |
||
<Ô |
1,2}, |
V ( 2 i, 22, 23, |
24) e [ —M, M Y |
||
имеем оценку |
|
|
|
|
|
\x0{ t) - x{t) I <e, |
|x '0(0 |
—x'{t) I < e |
у г е /. |
||
Справедливость этой теоремы следует из теоремы 3.1 главы IV.
СИСТЕМА ДВУХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
В этой главе рассматриваются вопросы, связанные с существованием и единственностью решения краевой задачи
x' = h(t, |
X, у), |
y' = f(t, X, у)-, |
(1) |
|
Li(x(a), |
х(Ь), |
у (а), |
у(Ь))=0-, |
|
L2{x{a), |
х{Ь), |
у{а), |
у{Ь))= О, |
|
где h, /Œ C ar(/X tf2); Lu І 2е=С(/?4)-
В § 1 доказываются две теоремы, дающие необходи мые и достаточные условия существования решения краевой задачи (1) — (2), аналогичные соответствующим теоремам главы I.
Методы доказательства этих теорем существования от личаются от методов, изложенных в главе I. В после дующих трех параграфах приводятся простые достаточ ные условия, обеспечивающие единственность решения краевой задачи (1)— (2).
В § 2 доказывается основная лемма, с помощью ко торой устанавливается единственность решения краевых задач с простейшими краевыми условиями. В § 3 под робно изучаются краевые задачи с линейными краевыми условиями, а в § 4 доказывается единственность реше ния краевых задач с нелинейными краевыми условиями.
Аналогично тому, как это делалось в главе I, можно
провести построение нижних и верхних решений и ниж них и верхних фильтров для системы (1), а также рас смотреть непрерывную зависимость решения краевой задачи (1)— (2) от правых частей уравнений и краевых условий. Эти построения не приводятся ввиду отсутствия новых принципиальных моментов.
§1. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ
Вэтом параграфе приведены необходимые и доста точные условия существования решения краевой за дачи
|
|
x'=h(t, X, |
у), |
у' — f(t, |
X, у ); |
( 1 . 1 ) |
||
|
|
L x{x{a), x(b), |
у(а), |
y{b)) =0; |
( 1.2 ) |
|||
|
|
L2(x(a), x(b), y{a), y(b))= 0, |
||||||
|
|
|
||||||
где |
h, fŒ.Car(lXR2)', |
L\, L2^.C(Ri ), |
усиливающие, |
|||||
в частности, |
результаты |
работ |
Н. |
И. |
Васильева [2], |
|||
Н. И. Васильева и А. Я. Лепина |
[1]. Краевая |
задача |
||||||
(1.1) |
— (1.2) |
рассматривалась в |
работе |
В. В. |
Гудкова, |
|||
В. Д. Пономарева [1]. Методы |
доказательства |
теорем |
||||||
существования в этой главе несколько иные по сравне нию с методами, примененными в главе I. Заметим, что, как и в главе I, можно доказать 18 теорем, дающих необходимые и достаточные условия существования ре
шения краевой задачи |
(1.1) — (1.2): девять в |
терминах |
функций а, ß, Я, ц, V, |
w и девять в терминах |
функций |
а, ß, Я, [X, ф, ф. Мы сформулируем и докажем только две теоремы: одну в терминах функций а, ß, Я, ц, v, w, ана логичную теореме 3.9 главы I, другую в терминах
функций а, ß, |
Я, |
(X, ф, |
ф, аналогичную |
теореме |
3.2 |
главы I. |
на |
схеме |
доказательства |
теорем |
1.1 |
Остановимся |
и 1.2. Необходимость условий доказывается тривиально. Достаточность условий устанавливается следующим об разом. Вместо краевой задачи (1.1) —(1.2) рассматрива ется краевая задача