Файл: Двухточечные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений..pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2024
Просмотров: 62
Скачиваний: 0
Покажем, что существует решение (x(t), y(t)) задачи (1.8), удовлетворяющее оценке
a(t)s^x(t)s^$(t) |
ytŒl . |
(1.9) |
С этой целью для ш е {1, 2, ...} |
определим |
функции |
ато, ßm'1-^R следующим образом: |
|
|
am( t ) = a ( t ) — - , ß m ( 0 = ß(0 + — • |
|
|
m |
m |
|
Фиксируем m. Тогда для F*, am, ßm выполняются усло вия леммы 1.2. Следовательно, для любого п е {1, 2, ...} существуют функции FnŒCar(IXR2) и GnŒL(I), кото рые удовлетворяют условиям 3—6 леммы 1.2. Определим для любого n e { 1, 2, ...} функции Fmn: I x R 2-+R фор мулой
|
Fm n X, у ) = Fп {t, ô( Ctm {t) , X , ßm(0)> У) • |
Тогда Fmn обладает следующими свойствами: |
|
1) |
\Fmn{t, X, у) \ ^ g ( t ) V (t, X, y ) Œ l X R 2\ |
2) |
limFmn{t, X, y)=F{t, X, y) |
|
П-+CO |
|
y ( t , X, y)<={{t, X , y) :/E /, |
|
XŒ[Clm{t) t ßm(0]> y ^ R } t |
3) |
[Fmn{it Ѳ(^), £/l) |
mn (*,Ѳ (* ),ÿ 2 )l^ |
|
|
||
|
*SGn(f) |у і-г /2| |
|
|
|
|
|
|
PVtezI, y { y U ya }^ R2, |
V0e{«m, ßm}- |
|
|||
На |
основании теоремы |
1.1 |
главы IV краевая |
задача |
||
|
x '=y + H*{t, х, |
у), |
y' — x + Fmn {t, |
х, у); |
( 1 . 1 0 ) |
|
|
х(а) —х(Ь) = |
|
|
|||
|
= Лі*(х, у), |
у ( а ) - у { Ь ) = А 2*(х, |
у) |
(1.11) |
||
имеет решение. Обозначим его через (xmn{t), ymn{t))- Далее из соотношения
Fmn{t, Omit), X(t)) =
= Fп (t, Omit), Ht))=F*(t, Omit), Ш )
и из условия 4 следует
am(t) + F m n (t, Omit), Mt)) =
= am(t)+F*(t, M O , M 0) =
=f(t, a(t), K(t))+am(t)-a(t)<f(t, a(t), X(t))^X'(t)
p V t ^ I , vne={l, 2, ...}.
Аналогично
и '(0 < Р « (0 +
+ Fmn(t, ßm(0> 1*(0) |
Pyt^I, V « e { l , 2 , |
...}. |
Докажем теперь оценку |
|
|
ССтп(0 |
(0 * s |
|
=^:ßm(0 VtŒl, |
у п е {1, 2, . . ( 1 |
. 1 2 ) |
Допустим, например, что найдется t0^ I , такое, что
Ош(^о) Xmn(to) =
= max(am(0 —xmn(t)) = е> 0 . (1.13)
I
Пусть to—а.. Тогда существует ^iŒ(a, 6], такое, что
Om(t)>Xmn{t) ytŒ[a, fi].
Следовательно,
У m n (t) —Xm n (t) + Fm n ( t ) |
%mn (0> Ут n ( 0 ) |
= |
“ %mn (t) + F mn(t, am{t), |
Ут п (t) ) |
+ |
+ Fm n (t , Ctm(0> Ут п (t)) pyi^[a,ti]. |
|
|
Предположим, что K(a)^ymn(a), тогда по лемме 1.1
H t )> y т п ( t) у t e (a, t%\,
откуда
fl(t, M O , M 0 ) - t f ( f , *m»(0. W 0 ) =
~M*. a (0 , |
W , <z(0, M 0 ) - |
à(m(t), ymn{t), M(t))) - y mn(t) + |
|
+ ô(m(t), |
ymn(t), M(t) ) > 0 pYt<=[a, 0]. |
Поэтому
^(Orn(t) - x mn(t))>0 pytŒ[a,ti],
откуда интегрированием получаем
От (О %гпп(О dm(ß) %mn(a) ytŒ(a,ti],
что противоречит предположению. Допустим теперь, что Х(а)<утп{а). Рассмотрим следующие случаи:
1 ) |
Ош {Ь)^>Xтп (Ь)Л(Ь) ^\Утп (Ь); |
|
2) |
ат (&)>л:тп (Ь), К(Ь)>Утп (*); |
|
3) |
am(Ô) ^ |
%тп(Ь)Л(Ь) Утп (Ь); |
4) |
ат{Ь) |
(b), X{b)>yтп (b). |
Пусть аm(b)>Xmn(b). Тогда существует iiŒ[a, b), та кое, что
Яш (0 ^ Xтп (О y t Œ [ t u b]-
Предположим, что Х{Ь) ^ у тп{Ь). Тогда из справедливо сти неравенств
У тп (t)<am(t) + Fтп (t, dm(0 »Утп (t)) |
p y t Œ[ t u b]; |
y ( t ) > a m{t) + Fmn{t, am(t), K(t)) |
p y t ^ [ t u b] |
по лемме 1.1 следует X(t) <y mn(t) y t ^ [ t u b)■
Далее, поступая, как выше, получаем противоречие. Если
’к{Ь)>утп (b), то
О = 021^2 (.£mn> Утп) ~
= 02іЛ2(а (а), а (6), утп(а), Утп (Ь))>
> 02іА2(а (а), а(6), À(a), |
X { b ) ) ^ О, |
что противоречиво. |
|
Пусть аm ( b ) ^ x mn(b). Если %(Ь) |
Утп (b), то |
О = стігАі (хтп, Утп)^^
О12Л1(хтп (о)>о {Ь), Я(о),
>С і2Лі(а, %)-Оі22(Хтп(а) -а (а ))> О ,
чт о н е в о з м о ж н о .
В случае же X(b)>ymn(b) имеем
0 “ СГ21Л2(Xпгп» Упгп) —
= o-2iA2 (a (a), Xmn(Ь), Ушп (а), уТПП{Ь ))>
> 02іА2(а (а), am(b), 1(a), 1(b)) =
= а2іЛ2(а, К) = 0 ,
что противоречиво.
Таким образом, соотношение (1.13) при t0 = a невоз можно. Случай t0 —b рассматривается аналогично. По этому осталось рассмотреть случай t0^ ( a , b).
Пусть t0, tu t i ^ I таковы, что t{<to<t2 и справедливы неравенства
ccm (t) Хупп (t) <аm(to)~ Xmn (to) ytŒ[tu to); am(t) ~ Xmn (t ) >0 v ^ e[^ i, t2}.
Тогда существует t3^ [ t \ , to), такое, что
Ct m(t3) X mn (t3) 0, a'm(t3) —H(t3, am(t3), X(t3));
X mn (t3) — H (t3, Xmn (^3) >i/mn (t3) ) ■
Действительно, в противном случае, т. е. при
a'm(t)-x'mn(t).sS0 p V tΠ[tu t0],
получаем
to
0/л J" (et m(t) X mn (t) )dt =(am(to) xmn (to))
ti
(am(ti) Xmn (ti) ) ^>0,
что невозможно. Из соотношений
H (h, dm(t3) , Утп (t3) ) = H (t3, Xmn(t2), ymn(t3)) =
= x'mn(t3) <Ca'm(t3) —H (t3, am(t3), X(t3)) получаем ymn(t3) <X(t3) .
Тогда из справедливости неравенств
y'mn(t) < a m(t) + F mn(t, am(t), ymn(t)) р у Ш { і wh\<
k ' ( t ) > a m(t) + F mn(t, Omit), |
l(t)) |
p y î ^ [ t l, t 2] |
|
И ymn( h ) < F ( t 3) |
ПО лемме |
1.1 |
следует ymn(t)< |
<X(t) ytŒ [t3, t 2], что дает |
|
|
|
(Ящ {t) |
Xm {t) ) ]>О |
рУ |
t?\. |
Отсюда интегрированием получаем |
|
||
Om (^2) ~~Xmn (^2) ^ Ctjn (Іо) |
Xm n (to), |
||
что противоречит предположению.
Таким образом, соотношение (1.12) доказано. Пока жем, что для любых /і е { 1, 2, . ..} и /п е {1, 2, . ..} спра ведлива оценка
|
I Утп(о ) I SS |
|
s? (Ъ — а) (max{max{|a(/) —11, | Р(0 + 11}}) + |
|
|
ь |
/ |
|
I b |
(1.14) |
|
+ j g { s ) d s + {b —a)~l i f g{s)ds + gi |
||
'“ а |
'а |
|
Действительно, выражая из второго уравнения системы (1.10) ymn{t), подставляя полученное выражение для УтпЬ) в первое уравнение системы (1.10) и интегрируя, имеем
Хтп (Ь) Хтп (о) ~ Утп (о) (Ь~~û) ~Ь
{Хтп (s) -T Fтп (S, Хщп (s) , Утп (■$) )| ds +
+ Я*(т, ^mn(î) » Утп(т) ))dx.
'49t
Отсюда, учитывая (1.11) — (1.13) и ограниченность1функ ций Fmn, //*, Ai*, получаем оценку (1.14). Поэтому по следовательности функций хтп и утп равномерно огра ничены и равностепенно непрерывны. Следовательно, существуют функции х, г/еАС(/)> являющиеся решением краевой задачи (1.8) и удовлетворяющие оценке (1.9).
Докажем справедливость оценки
v(t, t) Щу{і) ^ w { t , t) y î ^ I .
Пусть t0e l |
такое, что y(t0) < v ( t 0, |
і0). Покажем, |
что от |
|||||
сюда следует |
|
|
|
|
|
|
||
|
y ( t )< v( t 0, t ) |
|
|
Ы^о)]. |
|
(1-15) |
||
Действительно, если |
^ œ JÏI ^ O), |
U) |
такое, |
что |
y(h) = |
|||
= v{t0, t5) и |
y{ t)<v (t0,t) y t Π( t 5,to], |
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||
то существует |
to], такое, что |
|
|
|
|
|||
|
m(t) —\ <y(l) <M(t) + I |
V |
[/5, /б], |
|
||||
а тем самым |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y'(t) =f(t, |
x(t), y(t)) |
pyt<=[t5, t6]. |
|
||||
Но тогда, согласно условию 8 , имеем |
|
|
|
|||||
|
|
У(1) =3= V(to, t)yt<=[t5, б>], |
же t6Œ. |
|||||
что |
противоречит |
предположению. |
Если |
|||||
для |
t2(t0)] |
такое, что y(t6) = v ( t 0, t6) и y {t )<v (t 0, t) |
||||||
всех |
^б], то опять получим противоречие, чем |
|||||||
идоказывается оценка (1.15).
Учитывая оценку ( 1.11), имеем
a(t2(to))-lHtl ( t o ) ) ^ y ( t 2 (t0) ) - y ( t l (t0)) =
|
f ï U o ) |
|
Ы * о ) |
|
|
|
= |
/ |
y'(t)dt= f |
H(t, x(i), y(t))dt< |
|
||
|
i l ( f o ) |
|
< ! « o ) |
|
|
|
UlU) |
|
|
|
|
|
|
< f |
h(t, |
x(t), |
v(t0, t))dts^a(t2(to))- ß ( t i ( t 0)), |
|
||
U(h) |
|
|
|
|
|
|
что противоречиво. |
Таким |
образом, |
доказано, |
что |
||
V ( t , t ) ^ y ( t ) V t ( = I . |
|
|
y(t) ^ w ( t , |
t) |
||
Аналогично |
доказывается |
неравенство |
||||
vt<=i. Ш |
|
|
|
|
|
|
Для формулировки и доказательства теоремы 1.2 по
надобятся следующие обозначения. |
Пусть а, |
ß :/— |
|
Ф, ty:IXR-*R. Определим |
множества |
( o a l x R |
и ГczR* |
следующим образом: |
|
|
|
«={(*, x):U=I, |
а (t) sZ x^ ß( t) } - |
|
|