Файл: Двухточечные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений..pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2024
Просмотров: 64
Скачиваний: 0
Q6) |
для любых |
f0e ( a , |
й] |
и |
tŒ^[a, |
і0) |
из х х{t0) > |
|
|
> x 2(t0) |
|
И y x(t0) = y 2(t0) |
следует |
x x(t)>x2(t) |
|||
|
и yi{t)<y2(t)l |
|
|
|
|
|
||
Q7) |
для любых |
to^.[a, |
й) |
и |
t e ( / 0, |
й] |
из Х\ (іо)> |
|
|
> x 2{t0) |
|
и y x(U)=y2{t0) |
следует |
xx(t) >x2(t) |
|||
|
и y i(t)>y2(t); |
|
|
tΠ[a, |
t0) |
|
||
Q8) |
для любых |
/0е ( а , й] |
и |
из Хі(^0)> |
||||
|
> x 2(t0) |
|
и y x(to)=y2(t0) |
следует xx( t ) ^ x 2{t) |
||||
|
и y i (t )<y 2(t); |
|
|
|
|
|
||
Q9) |
для любых |
|
й] |
и |
fe [a , |
/0] |
из Хі(^0)> |
|
|
> х 2(і0) и yi(to)<y2(t0) |
следует |
x x(t) >x2(t) |
|||||
|
и yi{t)<y2{t)\ |
|
|
t^.[t0, й] |
|
|||
Q10) |
для любых |
/о^[а, |
й] |
и |
из Хі(^0)> |
|||
|
> х 2 (t0) |
и yi(t0) > y 2(to) |
следует |
x x(t)>x2(t) |
||||
|
и y \ (t )>y 2(t); |
|
|
|
|
|
||
Ql 1) |
для любых |
/0е [ а , |
6] |
и |
fe (7 0, |
й] |
из Xi(f0)3 ï |
|
|
^ X 2(t0) |
и yi(t0) > y 2(to) |
следует |
x x( t ) ^ x 2(t) |
||||
|
и yi(t)>y2(t); |
|
|
|
|
|
||
Q12) |
для любых |
^ое[а, |
й] |
и |
/е [ а , |
^0] |
из Хі(/0)> |
|
|
> x 2(t0) и y i ( t o ) ^ y 2(to) |
следует |
x x(t)>x2(t) |
|||||
|
и г/і(0^г/г(0; |
|
|
|
|
из x x(t0) > |
||
Q13) |
для любых |
/0е [ а , |
й] |
и |
/œ [70, |
й] |
||
|
> x 2(t0) |
и y i ( t o ) ^ y 2(t0) |
следует |
Х і(/)>х2(0 |
||||
|
и y i ( t ) ^ y 2(t)\ |
|
|
|
|
|
||
Q14) |
для любых U<=[a, й] и |
tŒ.[a, |
/0] |
из x x(t0) ^ |
||||
|
Sax2(t0) |
и |
yi(t)<y2{t) |
следует x x{ t ) ^ x 2(t) |
||||
и yi (t )< y2(t).
При изложении вопросов единственности важную роль играет следующая основная лемма.
Лемма 2.1. Пусть (xx(t), yx(t)), (x2(t), y2(t)), Iœ I — решения системы (2.1). Тогда
из условий Р1, Р4, Р7, Р8 следуют Q1 |
и Q2, |
||
из условий Р1, Р4, Р7, Р9 |
— |
Q3 |
и Q4, |
из условий Р2, РЗ, Р5, РІО |
— |
Q5 и Q6, |
|
из условий Р2, РЗ, Р6, РІО |
— |
Q7 |
и Q8, |
из условий Р2, Р4, Р5, Р8 |
— |
Q9, |
|
из условий Р2, Р4, Р6, Р9 |
— |
Q10, |
|
из условий Р2, Р4, Р5, Р9 следуют Q11 и Q12, из условий Р2, Р4, Рб, Р8 — Q13 и Q14.
Доказательство. |
Докажем, что из условий PI, Р4, |
Р7, Р8 следует Q1 |
(остальные случаи рассматриваются |
аналогично). Пусть |
|
u(t) —X\(t) - x 2{t), v(t) —у \( t ) - y 2(t)
и [to, ^і] — максимальный интервал, на котором v(t
^ 0 . Покажем, что н (і)> 0 для любого tŒ.(ta, ^]. Допу
стим противное. Тогда существует t2Œ.(to, t{\, |
такое, что |
||||
u(t2) < 0. Действительно, |
если |
бы |
u ( t ) = 0 на |
(70, fij, то |
|
в силу условия PI v ( t ) = 0 на |
[t0, іі], чего быть не мо |
||||
жет. Пусть /3е[А), t2) |
такое, |
что «(^3)= 0 |
и |
u(t)< |
|
< 0 v f e ( f 3, *2]. |
|
|
|
|
|
Из первого уравнения системы (2.1) имеем |
|
|
|||
u'(t) = 0!(t)u(t) |
+a0(t) |
p y t Π[ t 3, t2\, |
(2.6) |
||
где
a0(t)=h(t, x2(t), у \ (t)) —h(t, x2{t), y2(t)) 5 = 0 pytŒ[t3, t2] ;
й (*»*і (0.У і (0 )-М Л * 2 (0 .Ы 0 )
|
xUO-Xait) |
|
|
|
Полагая |
|
|
|
|
|
Л4 = шах{||д:іІІс, |
11*2 1!c, tlÿillc, |
ІЫІс}, |
|
получим, |
что a i ( t ) ^ k i ( t ) |
почти для |
всех tŒ.[t3, |
t2\. |
Из (2.6) |
следует для любых тіе ( ? 3, |
t2) и |
t2\ |
|
ы (0= ехрЛ і(0 (u{t2) + |
J a 0( s ) e x p ( - A 1(s))ds), |
|
||
и ^<=[ть t2] имеем
6-383
u ( t ) s S u ( / 2)exp A i (t) sS
|
|
|
|
и |
|
|
|
<Tu(/2) |
min |
exp( — J k I(s)ds) = —r<0, |
|
||||
|
( e t * 3 , t a ] |
|
t |
|
|
|
|
что противоречит условию u(t3) =0. |
|
|
|
||||
Если t\ = b, то Ql доказано. Пусть t\<b. Тогда |
суще |
||||||
ствуют tiŒ.(ti,. b), |
такое, что u ( t ) > 0 для всех Т е [г1!, Q], |
||||||
и t5Œ(tlt Q], такое, |
что |
u ( t ) < 0 |
для всех |
t e ( t u /5]. |
|||
Из второго уравнения системы (2.1) имеем |
|
|
|||||
v'(i) = b x(t)v(t) +ba(t) p y t Π[ t h t5], |
|
|
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
bo(t)=f(t, |
*i(0, |
y2( t ) ) - f ( t , X2(t), y2(t) ) ^ 0 |
|
||||
|
|
|
|
h]\ |
|
|
|
и m _ /(f,* i(0 ,ÿ i( 0 ) Ч Ѵ ’XL(Jl ± y Æ l |
|
||||||
l[) |
|
|
|
Уі{і)-У2 (і) |
|
|
|
Из этого уравнения путем интегрирования получаем |
|||||||
противоречие v (tі)< 0, |
которое доказывает Q1 ■ |
|
|||||
Доказательства |
теорем |
2.1—2.4 |
проходят |
по |
одной |
||
и той же схеме, поэтому докажем только теорему 2.1.
Теорема |
2.1. Если выполняются |
условия P 1, |
Р4, Р7 |
|
и по крайней мере одно |
из условий Р8 или Р9, то крае |
|||
вая задача |
(2.1) — (2.2) |
не может |
иметь более |
одного |
решения. |
|
|
|
|
Теорема 2.2. Если выполняются условия Р2, Р4, Р5, Р9, то краевая задача (2.1) — (2.3) не может иметь более одного решения.
Теорема 2.3. Если выполняются условия Р2, Р4, Р6, Р8, то краевая задача (2.1) — (2.4) не может иметь более одного решения.
Теорема 2.4. Если выполняются усло’вия Р2, РЗ, РІО и по крайней мере одно из условий Р5 или Р6, то крае вая задача (2.1) — (2.5) не может иметь более одного решения.
Доказательство теоремы 2.1. Предположим, что за
дача |
(2.1) — (2.2) |
имеет два различных решения: |
(хі (/), |
|
yi(t)) |
и (x2(t), |
у2(0)• Пусть |
u{t) =Xi(t) - X2(t), |
v(t) = |
|
і/г(0 и |
выполняется, |
например, условие Р8. |
|
Тогда существует tQ<=(a, b), такое, что и(і0)ФО или н(*л)#0. Не уменьшая общности, считаем, что v(to)>0.
Если ы(^о)>0, |
то, согласно |
Q13, «(& )>0, |
чего быть |
не |
может. Если и(і0)= 0, то, в силу Q1, и(Ь)>0, что невоз |
||||
можно. Если |
и(70)< 0, то, |
согласно Q9, |
м (а)< 0, |
что |
также невозможно. ■ |
|
|
|
|
Замечание 2.1. Можно показать на примерах, что любое из условий в теоремах 2.1—2.4 существенно. Мы проделаем это только для теоремы 2.1.
Следующий пример показывает, что.условие Р1 нельзя опустить.
Пример 2.1. Краевая задача
х' = 0, у ' = 0, х(а)=х{Ь)= О
имеет бесконечное множество решений вида x (f)= О, y ( t ) = c для любого CœR.
Покажем теперь существенность условия Р4. Пример 2.2. Краевая задача
х ' —у, у ' = ~ х , л:(0) =х(я) =0
имеет бесконечное множество решений вида
* (/)= csin /, y(t) =с cost,
где с — произвольная постоянная.
Условие Р7 нельзя заменить одним из условий Р5 или Р6, как показывают следующих два примера.
Пример 2.3. Краевая задача
з
х(0) =0, х(2) = (22/з —I)3''2=В
о*
имеет два решения: |
|
г О, О .^/С І; |
|
* і(0 = 1 |
< /і(0= °; |
У(/'/. -1)% , |
1 ^ /< 2 , |
*г(0 = - | ч |
г / 2 ( 0 = ^ - ] / у - . |
||
хотя и выполняется условие Pf> для k ] (t) = 0 . |
|||
Пример 2.4. Краевая задача |
|
|
|
X' = ~ ' \ / 2 ^ t + y’ у, = 0; |
|
||
x(0) = ( 2 ^ - l) % = ß , *(2)= 0 |
|||
имеет два решения: |
|
|
|
( ( ( 2 - 1 ) 2/з-1)% , |
O s ^ < l; |
у і(0 = 0 ; |
|
Х і(0= |
, |
ls^ sS 2 ; |
|
ІО |
|
||
*»(*) = f - ( 2 - / ) , Ы 0 |
— f - . |
||
хотя и выполняется условие P5 для £](^)=s0. Следующий пример показывает, что одновременно
условия Р8 и Р9 не могут быть опущены. |
|
Пример 2.5. Краевая задача |
|
х'= у, г/' = 3(2г/)%, х ( - 1 ) =х(1) = 1 |
|
имеет два решения: |
|
*і(0 = 1, «/і(0= 0; x2(t) = t \ y2(t)=4t3. |
|
Теорема 2.5. Рассмотрим краевую задачу |
|
x' = h(t, X, у), /=<p(f, x ) + ~ F ( t , x ) - |
(2.7) |
х{а) =Л, х(Ь) = ß . |
( 2. 8) |