Файл: Двухточечные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений..pdf

H{t, X, у) =H0(t,

6(a(t), X, ß(/)), у) =y + H*(t,

X, у)\

Fo(t, X, у) —f(t, X,

0(ф(t, X) , у,

ф(*, х)) +

+ YiMô(0, <р (t,

х ) - у ,

N ) + y 2Mb{ 0,

х),

N) ;

Ai(zi,

z2, 23, 24) — L\* (z\,

z2, ф(a, zi), «p (b, z2));

A l * ( 2 b

2 2, 2 3) 2 4) = O n A i ( 2 b Z2, 2 3, Z4) - Z i + Z 2;

L 2* ( 2 b 2 2,

Z3, Zi) =

supI Ai*(Zi, z2, z3, z4) I <gfi уі'е={1,2}.

R4

Если задача

х' = Н ( і , X, y ) , y ' = F ( t , X, y ) ;

x ( a ) - x ( b ) = Ai*(x, y ) , y ( a ) - y { b ) = A2*(x, y y

имеет решение

(x(t), y(t)), для которого верно

(1.16),

то (x(t), y{t))

будет решением краевой задачи

(1.1) —

ние (x(t), y(t)) краевой задачи

(1.17), удовлетворяю­

щее оценке а (t)s^x(t) ß (t) y tŒl.

Покажем справедливость оценки

<ç(t, x ( t ) ) ^ y ( t ) ^ ( t ,

x(t))

у / е / .

Докажем, например, что

<Р Д x(t))s£y(t)

у tŒl.

(1.18)

Отсюда следует, что если ср(о,

х ( а ) ) ^ у ( а )

при уі=1

или ср(Ь,

х(Ь)) ^ у { Ь ) при YI = —1, то справедливо нера­

венство

(1.18).

Покажем, что

Ф(а, х(а)) ^ у ( а )

при

уі = 1.

(1.20)

Из условия 11 и определения Л2 имеем

A2(Z I, Z2, ф(а, Zi), z4)a23s£0

V ( zь z2, z3, г4)е Г .

Пусть y (b) ^ ф (b, x{b)), тогда

0 = о23Л2 (x, у ) ^ о 2зА2(х(а), x(b),

y {a), ф(b,

x(b)) =

= сг2зЛ2(x(a), x(b), Ф(a, x(a)),

*p(b, x {b))~

—ог2з• o24(y(a) —ф(a, x ( a ) ) ) ^ y { a )

~ y { a , x (a ))< 0,

имеем

Ф(t,

x ( t ) ) - y { i ) ^ N

Y t e l

P(6) - a ( b ) ^ p ( b ) - x ( b ) ^ ß ( b ) - x ( b ) ~ (ß (ß )-x (a)) =

b

b

= /

( ß' ( i) - x ' (t ) )d t= f (h(t,

P ( 0 , n ( 0 ) -

- H ( t , x ( t ) , y ( t ) ) ) d t =

b

= f

ß ( 0 , p ( 0 ) -

- h ( t ,

X(t),

ф (t,

x ( t ) ) - y ( t ) +

<p(f, x{t)))dt^

ь

^ N ( b — a ) + 2 f g(t)dt>ß(b) —a (b),

a

что невозможно.

Значит, существует ^0^ (ß , b), такое,

что

вается случай YI = —1-

x(i))

Доказательство неравенства y(t)^^>(t,

проходит аналогично.■

§ 2. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ

ДЛЯ ПРОСТЕЙШИХ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ

В этом параграфе рассмотрим систему

x' = h(t, X, у),

у' =}(i, X, у)

(2.1)

со следующими краевыми условиями:

х(а) =А,

х(Ь) =В\

(2.2)

х(а) =А,

у(Ь) =Д;

(2.3)

у{а) =А,

х(Ь) = 5;

(2.4)

у(а)=А,

у(Ь) =В,

(2.5)

где h, /е С а г (/Х # 2); A, B œ R.

Р4)

f(t,

X,

у)

возрастает по

X œ R при

фиксирован­

ных (t,

у) œ I X R.

Для

любого М е ( 0,

оо)

найдутся k x,

k2(=L(I),

такие,

что для

любых

(t, Xi,

х2, у 1, у2)<=ІХ[ — М,

М у

выпол­

няются

Р5)

h(t,

х и Уі) —h(t,

x2, y{) ^ k i ( t ) { x i - x 2), x x^ x 2;

P6)

h(t,

x u Уі) —h(t,

x2, y i ) ^ - k i ( t )

( x i - x 2), x x^ x 2,

P7)

\h(t, x u Уі)- h {t ,

x2, уі) I ^ k i ( t )

\xx- x 2\-

P8)

fit,

x h y i) - f i t ,

x u y z ) ^ k 2(t) ( y i - y 2), y 1^

92]

P9)

f{t, x u Уі) ~f{t,

xu У г ) ^ - к 2Ц) ІУі - у2) , У і ^ У 2,

РІО)

|/(/, хи Уі)- f i t ,

Хи у2) | < М 0 \У\~Уг\-

Пусть

ixiit),

у lit)),

ix2it),

y2it)), t<=I

— решения

системы

(2.1).

Ql)

Для любых t0^ [ a ,

b)

и

t ^ i t Q, b~\

из x x(f0) =

— х2Цо)

иyiiU)>y2ih)

следует

xxit) >x 2{t)

и y lit) >zy2it)-,

Q2)

для

любых t0Œia,

b]

и

tŒ[a,

t0)

из Х\Ц0) =

= x2it0)

иyiit0) < y 2ito)

следует

ххЦ)>х2У)

и Уi {t) <y 2it)\

Q3)

для

любых toŒ[a,

b)

и

tŒ.(to,

ô]

из Яі(£о) =

= x2iU)

иyiito)>y2ito)

следует

х х^ ) > х 2Ц)

и ÿ i i t) > y2(t);

Q4)

для любых toе ( а ,

b]

и

tŒ[a,

t0)

из х хiU) =

= x2iU)

иyiito)<y2iU)

следует

х хЦ)>х2Ц)

и y i i t ) ^ y 2it)\

Q5)

для

любых t0

Ь)

и

^œ (/0, 6]

из х ху 0) >

> х 2у 0)

иyiito)=y2{to)

следует

xxi t ) ^ x 2it)

и УЛі)>У2 Іі);