Файл: Двухточечные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений..pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2024
Просмотров: 67
Скачиваний: 0
Пусть /і еС аг(/Х /?2) , (р, 0]F, |
D2FŒCar(IxR), |
причем |
выполняются условия P 1, Р7, ф(^, х) возрастает по X œ R |
||
при фиксированном і ^ І и для любого M e (0, |
оо) най |
|
дется & е(0, оо), такое, что |
|
|
Ih(t, х и у\) —h(t, хи |
У і ) К к \ у і - у 2\ |
|
V (/, хи уи у2) ^ / Х [ - М , М]3.
Тогда краевая задача (2.7) —(2.8) не может иметь более одного решения.
Доказательство. Предположим, что существуют два
различных решения: (xi(t), yi(t)) |
и (x2(t), y2(t)). Тогда |
||||||
не |
может |
быть |
случая u(t) =Xi (t) —x2(t) ==0, |
так как |
|||
в |
силу |
условия |
Р1 |
следует, что |
v(t) =yi(t) —y2(t)=0. |
||
Пусть |
(tu |
t2) |
— |
наибольший |
интервал, в |
котором |
|
u(t) > 0 и |
|
|
|
|
|
||
Докажем, что о(г?і)^0.
Действительно, предполагая противное, получим н(^і)<0 и, следовательно, существует интервал (tu /* і)е с=(^, U), такой, что и (/)< 0 для всех feJTj, t*і]. Тогда, рассуждая, как и при доказательстве леммы 2.1, полу чим u(ti)>0, что противоречит определению точки tj. Значит, Ü(^I) $z0.
Из системы (2.7) имеем на [Д, t2]
u '(t) =ax(t)u(t)+h(t, x2(t), y i ( t ) ) - h ( t , x2(t),
M O ); |
(2.9) |
Ü (^)= H(2II) + f ci(s)ds + c2(t)u(t), |
(2.10) |
где
h(t, Xi (t), y 1(t )) - h ( t, x2(t), M O )
M O |
Xi(t)~X2(t) |
|
|
|
C l ( t ) = < p ( t , X i ( t ) ) - f f ( t , MO): |
F(t, xl ( t) ) - F ( t , x2(l))
C2 {t ) |
x , ( t ) - x 2(t) |
|
|
I |
|
= f D2F(t, sxx{t) + ( l —s)x2(t))ds. |
|
Подставляя (2.10) в (2.9) и производя элементарные
преобразования, получаем на |
[^, t2) |
|
|
где |
u'(t) = (al (l)+a2(t))u(t)+b(t), |
(2.11) |
|
a2{t) = |
|
||
|
|
||
_ |
Ці, x2{t), y2(t) + v(t))-h(t, x2{t), y2(t) + v(t)~c2(t))u(t)) |
||
~ |
u(t) |
|
|
|
b (t) =h(t, x2(t), y2{t) +v(t) - c 2{l)u(t)) -h {t,' |
||
|
*2(0. 1/2(0) Ss=0 |
pyt<=[tu t2]. |
|
Интегрируя уравнение (2.11),ИЬлучаем |
u(t2) > 0, что |
||
противоречит условию u(t2) =0. И |
|
||
Замечание 2.2. Локальное условие Липшица по у для функции h является существенным для справедливости теоремы, как показывает следующий пример.
Пример 2.6. Краевая задача
х ' = у ' Ь , у ' = ~ ( х { \ ~ 2 1 У ) -
* (0) = * ( 1 ) = 0
имеет два решения: Х\ ( t ) = 0 , у х ( t ) = 0 и
M i ) - f l ( t - t 2) T , Ы 0 = (1- 2 0 3 [ I ( t - t 2)
§ 3. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ
В этом параграфе приведены различные достаточные условия для единственности решения следующей краевой задачи:
aix(a) +a2x(b) + а3у(а) +a4y(b) + ß5 = 0; |
. |
|||
bix(a) + b2x(b) +b3y(a) + b4y(b) +b5 = 0, |
*■ |
|||
где h, f e C |
a r ( / x Æ 2 ) , a ; , |
bi<=R для любого і е |
{ 1 , |
5 } . |
Положим |
Aij = a,ibj — ajbi, |
где г, /<={!, ..., 4}. |
Очевидно, |
|
Aij— —Ajj. Равенство |
|
|
|
|
|
А12А34 + А14А23+ АізА42 = 0 |
|
(3.3) |
|
доказывает выкладка
(аіЬг — агЬі) (a3b4- a 4b3) + ( а ^ - о ^ ) (a2b3 — a3b2) +
+(aib3— a3b{) {a4b2 — a2b4) = axa3b2b4 — a2a3bxb4 —
—axa4b2b3-f-CL2ct4b\b3-f-axa2b3b4 ■—axa3b2b4—a2a4bxb3-f-
+a3a4bxb2 + axa4b2b3—axa2b3b4 — a3a4bxb2 + a2a3bxb4 = 0.
Доказательства теорем 3.1—3.4 проходят по одной и той же схеме, поэтому докажем только теорему 3.1.
Теорема 3.1. Пусть выполняются условия P 1, |
Р4, Р7 |
и по крайней мере одно из условий Р8 или Р9 и |
|
Аіг^О, еАіз^О, гА237^0, еА24^0, еД4з7з=0, |
|
где e = signAi2. |
|
Тогда краевая задача (3.1) —(3.2) не может |
иметь |
более одного решения. |
|
Теорема 3.2. Пусть выполняются условия Р2, Р4, Р5,
Р9 и |
|
Аі4^=0, еАіг^О, sX3^ 0 , еА24^ 0 , |
еА43^ 0 , |
где 8= sign Ан. |
|
Тогда краевая задача (3.1) —(3.2) |
не может иметь |
более одного решения. |
|
Теорема 3.3. Пусть выполняются условия Р2, Р4, Р6,
Р8 и |
|
Агз'т^О, еАіг^О, еАіз^О, еА24^0), |
еА4з^ 0 , |
где е= sign А2з- |
|
Тогда краевая задача (3.1) —(3.2) не |
может иметь |
более одного решения. |
|
Теорема 3.4. Пусть выполняются условия Р2, РЗ, РІО и по крайней мере одно из условий Р5 или Р6 и
Л4з:7£:0, еД.г^О, еДіз5=0, еАн ^О , еАг4^0,
где б —sign А43.
Тогда краевая задача (3.1) —(3.2) не может иметь более одного решения.
Доказательство теоремы 3.1. Предположим, что крае вая задача (3.1) — (3.2) имеет два решения: {x\(t), yi(t)) и (x2(t), y2(t)). Тогда функции
u(t) =Хі( t ) - x 2{t)\ v(i) = y i ( t ) - y2(t)
удовлетворяют следующим краевым условиям:
aiu(a) + a2u(b) + a2v(a) + a 4o(ô) =0; biu(a) + b2u(b) +b3v (a) + ô 4o (b) =0.
Из системы (3.4) имеем
„ ( а ) = А^ M + A» ° W .
Ді2
Азіѵ(а)+^\ѵ(Ь)
Ді2
Рассмотрим следующие соотношения:
1)А2з2+Д242 = 0, Дзі2 + А412= 0;
2)Дгз2+А242# 0 , Азі2+А4і2 = 0;
3)А2з2+А242 = 0, Дзі2 + Д4і2^ 0 ;
4)Ä232+ A242# 0 , A3I2+ A412^ 0 .
(3.4)
(3.5)
(3.6)
Из соотношения 1 имеем и(а) =u(b) —0, что в силу тео ремы 2.1 дает u(t) =0, п(£) = 0. Доказательство для
соотношений 2—4 проходит аналогично. Разберем, на пример, соотношение 4. Для этого рассмотрим следую щие случаи:
a) Д2з= 0, Д24^=0, Дзі^О, Л41 =0;
b) Д2з = 0, АыфО, Дзі = 0, Д4і^=0;
c) |
Л2з= 0, |
А247£=0, Дзі# 0 , Д41=7^0; |
||
d) |
Д23# 0 , |
Д24 = 0, Д31# 0 , Д41 = 0; |
||
e) |
Д23# 0 , |
Д24=0> |
Дзі = |
0, Д4і=И=0; |
f) |
Д23# 0 , |
Д24= 0 , |
Д31 = |
0, Д4і^ 0 ; |
g) |
Дгз^О. Д24# 0 , |
Д3і# 0 , Д41 = 0; |
||
h) |
Дгз^О, Д24=?^0, Д31 = |
0, Д41#:0; |
||
i) |
Агз#0, Дг-іѵ^О, Дзі^О, Д41^ о . |
|||
Предположим, что е=1 (случай е= —1 рассматривается
аналогично). Тогда Ді2>0, Діз^О, Д23^ 0 , Д2'4550, Д43^ 0 |
|
и |
из (3.3) следует Д^ЭгО. Случаи а, с, g невозможны |
в |
силу (3.3). |
Рассмотрим случай і (остальные случаи разбираются аналогично). Из (3.5), (3.6) имеем
“<“>=t ï ( ”(a)+ |
”(4))' |
= s("w + fü m |
) ■ |
||
Предположим, что |
|
|
|
|
|
|
ѵ(а) + 4 ^ ѵ(Ь)>0. |
|
|
||
|
|
Дгз |
|
|
|
Тогда м (а)>0 и если |
и(а)>0, |
то, используя |
Q10 |
или |
|
Q13, получаем противоречие. |
|
этом |
слу |
||
Пусть ѵ ( а ) ^ О, |
тогда ѵ(Ь)>0. Из (3.3) в |
||||
чае следует |
|
|
|
|
|
v (a) + ^ v { b ) > v(a) + ^ ± v (b), |
|
|
|||
т. е. и( Ь) <0, что, согласно Q9 или Q14, приводит к про |
|||||
тиворечию. Случай |
|
|
|
|
|
|
ѵ(а) |
ДгзѴ(Ь) ^ 0 |
|
|
|
разбирается аналогично.Ц |
|
|
|
||
З а м е ч а н и е 3 . 1 . Условие |
|
|
|
||
Ді2=^0, еДі35г0, |
еД23^ 0 , |
еД24^ 0 , еД43^з=0 |
|
||
в теореме 3.1 на основании (3.3) можно заменить усло
вием
Аіг^О, еДіз^О, еДн^О, еД242эО, еЛ435гО.
Аналогичное условие в теоремах 3.2—3.4 на основании (3.3) можно заменить на следующее: в теореме 3.2 —
Д гз^ О , еДі2гЗ:0, е Д із^ О , E A 23=3:0, еД24=3=0;
в теореме 3.3 —
Аіз=т^0, еДі25*0, вЛгзЗгО, еА2^ 0 , еА4з^ 0 ;
в теореме 3.4 —
Д24=^0, еДі2^=0, еДіз^О, еАн^О, еД4з^0.
§ 4. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ
В этом параграфе приведены достаточные условия для единственности решения общей краевой задачи
x' = h(t, |
X, у), |
y' = f(t, X, у); |
(4.1) |
|
L \ {х(а) , x(b), |
у (а), y(b))=0- |
(4.2) |
||
Ь2(х(а), |
х(Ь), |
у (а) , у(Ь)) =0, |
||
|
||||
где h, f<=Caî(lxR2)-, Lu L2œ C(R4).
Основываясь на теоремах 3.1—3.4, можно доказать теоремы единственности и для краевых задач с нелиней ными краевыми условиями.
Покажем, например, как можно применить теорему 3.1.
Пусть |
DhL{ŒC(R4) |
для |
любых (k, |
Î) œ {1, ..., 4} X |
X {1, |
2}. Определим |
Ah, |
B h '.R ^ R |
для любого |
œ {1, ..., 4} посредством следующих равенств:
Ak(zu ..., z8) =
1
0
Bh(zh ..., Zs) —
1
Положим Aij = AiBj—AjBi, где і, /е{1, |
4}. |
||
Теорема |
4.1. Пусть |
DkLi^C(RT) для любых {k, і)<= |
|
е{1, |
4}Х{1, 2}, |
выполняются условия |
Р1, Р4, Р7 |
и по крайней мере одно из условий Р8 или Р9 и для
любых |
(zu . |
ZS) œ R8 |
справедливо соотношение |
|
||
|
Ді2#0, еДіз^О, еДгз^О, eA24S==0, еД4з^0, |
|
||||
где e= sign Д12. |
|
|
|
|
||
Тогда краевая задача |
(4,1) —(4.2) не |
может иметь |
||||
более одного решения. |
|
|
|
|
||
Доказательство. Предположим, что краевая задача |
||||||
(4.1) — (4.2) |
имеет два |
решения: (х{ (t), |
y\{t)) и |
(х2(t), |
||
y2(t)). |
Тогда |
функции |
u(t) = х ,( t ) - x 2(t), |
v ( t ) = yi ( t) ~ |
||
— y2(t), |
как |
нетрудно |
показать (см. Ф. |
Хартман |
[2], |
|
стр. 122), удовлетворяют следующим линейным краевым условиям:
A\u(a) + А2и(Ь) + Агѵ(а) +Л 4і>(0) =0;
Biu(a) + B 2u(b) + B 3v(a) + B 4v(b) =0.
Дальнейшее доказательство теоремы проходит анало гично доказательству теоремы 3.1. И
Теорема 4.2. Пусть
1) L,€=Af(l, 1, - 1 , —1), L2œ M(\, 1, 1, 1); 2) 0і2==оі4==О или о2\~ о 23 = 0 или
014= 021 = 0 или Оі2 = О2з= 0
и по крайней мере выполняется одно из. условий:
3) |
L\ |
строго монотонна по х(а), а Ь2 — по х(Ь) |
или |
||
|
Li |
строго монотонна по х(Ь), |
а |
Ь2 — по |
х(а) |
|
и |
выполняются условия P 1, Р4, |
Р7 и по крайней |
||
|
мере одно из условий Р8 или Р9; |
|
|
||
4) |
L] строго монотонна по х(а), a L2 — по у(Ь) |
или |
|||
|
L\ |
строго монотонна по у{Ь), |
а |
Ь2 — по |
х(а) |
|
и выполняются условия Р2, Р4, Р5, Р9; |
|
|||
5) Ь\ |
строго монотонна по у(а), а Ь2 — по х(Ь) |
или |
|||
|
Li |
строго монотонна по х(Ь), |
а |
Ь2 — по |
у {а) |
|
и выполняются условия Р2, Р4, |
Р6, |
Р8; |
|
|