Файл: Двухточечные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений..pdf

Учитывая теперь условие 1 и тот факт, что F(t, х, у) удовлетворяет обобщенному условию Липшица по у, имеем

= x(t), x'(t)), x(t)) + (Hy(t), y ( t ) ) -

— (HF(t, x(t), y(t)), x(t)) + (HF(t, x(t), y(t)), x(t))$*

щенному условию Липшица, для функции F(t, х, у).

Рассмотрим теперь случай, когда г(і0)=г(а). Случай r(tQ)=r(b) рассматривается аналогично.

Предположим, что

/'(а )> Л н |іИ1яy y y j 2 .

х" —0, х(0)= *'(0), х(1) =Ѵ(1) -г/'(1) + 1;

у " = о, у(0)= у'(0). у (і ) = --ѵ'( і ) + у/(і ).

где (t, X, y ) t = I x R 2, ие имеет решения. В данном при­ мере, очевидно, выполняются условия 1 и 2 теоремы 2.1, матрица А положительно определенная, но матрица В неположительно определенная.

Теорема 2.2. Пусть существуют функции а, ß e L (/), га(^)>0, ß(^)>0 почти для всех tŒl и такие, что выпол­ няются условия

1) m t , 0 , x ' ) - f ( t , 0 , 0 ) \ \ R^ a ( î ) V (t, х') Œ l x R n, {х, f (t, X, х') - f ( t , 0, х') ) S3 - ß(о IUIIH

y ( t , X , x ' ) Πl x R 2n\

2)выполняется условие 2 теоремы 2.1;

3)матрицы А и В положительно определенные. Тогда решение краевой задачи (2.1) —(2.2) существует.

Доказательство. Определим для любого Æœ {1, 2, ...} функцию fk : lX R 2n^>-Rn следующим образом: fh(t, х, у) = =f(t, ôx, by), где ô= ô(0, 1, ^(іиіІя+ІІг/ІІл)-1).

Нетрудно проверить, что для каждого &е{1, 2, ...} функция fh удовлетворяет условиям 1 и 2. Как известно (см., например, теорему 1.1 главы IV), краевая задача

при каждом £е{1, 2, ...} имеет решение. Обозначим это

Для каждого решения хк определим функцию г : I-+R следующим образом: r(t) — \\xk(t) ||д—v(t).

Покажем, что для любого &œ {1, 2, ...} и решения хк краевой задачи (2.10) — (2.11) справедлива оценка г ^ т , тем самым будет доказана оценка (2.12). Допуская про­ тивное, найдем kŒ.{\, 2, ...}, решение хк и t0^ I , такие, что

шахг(^) = г (to) >х. I

Пусть to = a. Тогда \\хк(а) ||н> т и

г'(а) = (хк(а), x'u{a))\\xk{a)\\R- l-v '{ d ) =

= {хк{а), А~1(хк( а ) - с ) ) \\хк{а) HR- 1-ѵ'(а) sSO,

что противоречит (2.13). Аналогично рассматривается случай t0 — b. Пусть t0<=(a, b). Тогда найдется ^ е ( а , ^0),

Согласно теореме 2.1 главы IV существует M2œ (0, о о ) , такое, что для любых &е{1, 2, ...} и любого решения xh краевой задачи (1) — (2) справедлива оценка ||x'fe|!c^ ss;M2. Тогда М= шах{Мь М2} — искомое. ■

где jfeCarn(/Xi?2n) ; А, В — вещественные матрицы по­ рядка п, с, d ^ R n, приводятся достаточные условия, обеспечивающие единственность решения.

В дальнейшем А* означает транспонированную мат­ рицу к матрице А.

Теорема 3.1. Пусть f такова, что элементы матриц якобианов

удовлетворяют условию Каратеодори на IxR2n, мат­

рица F — ^-ФФ* для любых (t, X, y ) Œ l X R 2n и матрицы

А, В положительно определенные. Тогда краевая задача (3.1) —(3.2) не может иметь более одного решения.

Доказательство. Предположим, что существуют два различных решения х х и л:2 краевой задачи (3.1) — (3.2). Тогда их разность u(t) —х\ (t) —x2(t), как нетрудно по­ казать (см. Ф. Хартман [2], стр. 122), удовлетворяет на интервале I уравнению и" = C(t)u + D(t)u',