Файл: Двухточечные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений..pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2024
Просмотров: 56
Скачиваний: 0
Теорема 3.8 (симметричная теореме 3.7).
Условия 1—8 теоремы 2.1 и |
|
||
9) І,€ = Л Ы - 1, 1, 0, |
1), L2e M T( ± l, 1, 1, - 1 ) ; |
||
10) |
LiCC = 0 = Liß, СГ2з7-2СС^0^СГ2з7-2р |
||
эквивалентны разрешимости задачи |
(3.1) — (3.2), причем |
||
из их |
выполнимости |
следует |
существование х е |
œS ( f, L\, L2) .
Теорема 3.9. Условия 1—8 теоремы 2.1 и
9)L,œ MT ( - 1 , 1, 1, 1), L2EBMt ( 1, 1, 1, - 1 ) ,
причем L2{zu z2, Zz, z4) строго монотонна по z3 или Zi на Т;
10) |
Lia = 0 = Liß, (T2i7.2o^O^02i7'2ß |
||
эквивалентны разрешимости задачи |
(3.1) — (3.2), причем |
||
из |
их |
выполнимости следует |
существование х е |
^ 5 |
(f, Lu L2). |
|
|
Доказательство. Из условий монотонности функции Ь2
и неравенства |
a2iL2a .^ o 2\L2$ |
заключаем, |
что |
невоз |
||
можны неравенства a '(a )< ß '(a ), |
а'(b )> ß '(6 ). Положим |
|||||
аі = а, ßi = ß |
и рассмотрим |
два случая, |
а |
именно: |
||
а'і (а) 5? ß'i (а) |
и a'i (b) ^ |
ß'i {b). |
|
|
|
|
1) Пусть а'і (а) ^ ß'i |
(а). |
Построим последователь |
||||
ность нижних и верхних решений аи и ßft уравнения
(3.1). Пусть для некоторого |
&е{1, 2, |
. . .} функции ah |
и ßfe удовлетворяют условиям |
теоремы. |
Тогда, как сле |
дует из теоремы 3.3, существует решение х задачи
x" = f(t, X, х'), |
|
|
L[X=0, х'(а) = — (а'*(а) + ß'fe(ß)), |
(3.12) |
|
такое, что XŒSk(f). Если 02іТ2х^О , то полагаем |
иь+і = |
|
= х, ß;i+i= ß/i, если же |
o2\L2x<Q, то считаем |
|
«Ä+1 |
== ctfe, ßft+l = X. |
|
Решая таким образом задачи (3.12) для &е{1, 2, ...}, получим последовательности {aft} и {ßft}, пределы кото рых ао и ß0 существуют и обладают свойствами
3 * ^ {ао, ßo}, x e S ( / ) , L ix = 0, о о ^ ßo,
Liao = 0 = Lißo, G2\L2a z ^ - 0 ^ o 2iL2^o, a'o(ß) = ß'o(ß) •
Если при этом а'о(Ь) ^ |
ß'o(6), то из свойств функции L2 |
|||
получим Z-iao= 0 = L2ßo, |
следовательно, XŒS(f, L u Z,2), |
|||
что и требовалось доказать. |
|
|
||
Если же |
а'о(Ь) < ß'o(6), то, |
обозначая |
ai = a0, ßi = ßo, |
|
продолжим доказательство, переходя к п. 2. |
||||
2) Пусть |
a'i(b) ^ ß 'i(6 ) . |
Построим |
последователь |
|
ность нижних и верхних решений ah и ßft уравнения (3.1). Пусть для некоторого &е{1, 2, ...} функции o;t и ßft удовлетворяют условиям теоремы. Тогда из тео ремы 3.4 заключаем о существовании решения х задачи
х " —f(t, X, х'),
|
U x = 0, х'{Ь )= ^ {а \{Ь ) + $\{Ь)), |
(3.13) |
|||||
такого, |
что |
xŒ.Sk(f). |
Если |
о2іЕ2х ^ 0 , |
то полагаем |
||
aft+i = x, |
ßft+i = ßft, если |
же o2iL2x<0, |
то |
считаем |
|
||
|
|
ссм-і = aft, ßft+i = X. |
|
|
|
||
Решая |
таким |
образом |
задачу |
(3.13) |
при |
&е{1, |
2, ...}, |
получим последовательности {dft} и {ßft}, пределы кото рых ао и ßo существуют и обладают свойствами
З х е { о 0, ßo}, x ^ S ( f ) , Lix = 0, o0sSßo,
Z-ido= 0— L\ ßo, 02iL2do^O53o2iL2ßo, d/o(ö) = ß /o(b). Если при этом d'o(a) ^ß 'o (ß ), то из свойств функции L2
получим L2do= 0 = L2ßo, следовательно, |
x ^ S ( f , Lu L2), |
|
что и требовалось |
доказать. Если же |
а'о(а) >ß'o(a), то, |
обозначая oi = do, |
ßi = ßo, продолжим доказательство, пе |
|
реходя к п. 1. |
|
|
Может случиться, что ни в п. 1, ни в п. 2 не найдется X œ S ( f, L\, L2). Тогда процесс перехода от п. 1 к п. 2 и обратно продолжается до бесконечности. Получаю щаяся при этом последовательность нижних и верхних решений {do} и {ßo} сходится соответственно к функ циям ооо и ßoo, таким, что
3 Xœ.{doo, ßoo}, x<=S(f), L[X= 0, doo^ßoo, 02i£2doo=^O=2=a2iL2ßoo,
a'oo(ü) =ß'oo(a), |
o.'oo(b) —ß/oo(^), |
|
откуда, учитывая |
монотонность функции Ls, получим |
|
^ 2аоо“ 0— Lißoo, т. |
e. x eS (f, |
L\, Ls). H |
§ 4. ДРУГОЙ ВИД УСЛОВИЙ РАЗРЕШИМОСТИ
Этот параграф, как и предыдущий, содержит необхо димые и достаточные условия разрешимости краевой задачи
x" = f(t, X, х'), L\x = 0, Ь2х —0, |
(4.1) |
г д е /е С а г (/х Я 2); Lj, L2œ C (#4).
Различие условий разрешимости в этих параграфах
втом, что здесь они сформулированы в терминах функ ций а, ß, cp, ф. По аналогии с предыдущим параграфом можно сформулировать и доказать девять теорем суще ствования в терминах функций а, ß, <р, ф. Ограничимся лишь одной теоремой. Остальные теоремы можно найти
вработах В. В. Гудкова и А. Я- Лепина [2, 3].
Для дальнейшего потребуются следующие множества:
Г = { (2Ь z2, zз, |
z4) :a(a) s ^ z ^ ß i a ) , |
a (b) s^z2s^ß(a) ; |
|||||
Ф(a, zi)==£z3s£i|?(a, |
z,), cp(b, z2)s ^ z 4^ ( b , z2)}; |
||||||
|
|
A (?) = {x:a(t) ^ x ^ ß(t)}. |
|
||||
Теорема 4.1. Условия |
|
|
|
|
|||
1) |
g a, реД С Д /), gtp, | e C (lx R ) , |
|
|||||
|
HYi, у2«={-1, 1}; |
|
|
|
|
||
2) |
a (f) s£ß(0 |
y t ^ I ; |
|
|
|
||
3) |
a " ( t ) ^ f ( t , |
a(t), |
a'(t)) |
pyt<=I, |
. ' ' ' |
||
|
|
|
ß(0. |
ß'(0 |
|
|
; |
4) |
cp(t, x )^ ty (t, X) |
y(t, i)e w ; |
|
|
|||
5) |
ф(/, a ( t ) ) s ^ a ' { t ) ^ ( t , |
a (0 ) |
V /e7; |
||||
|
фА |
|
|
|
ß(0) |
Vte=I; |
|
6) |
D2ф, 0 2ф еС (/Х /?), ф(/, u(t)), |
ф(/, |
u(t))ŒAC(I) |
||||
|
y UœAC^I), u(t)<=A{i) |
V /œ /; |
|
||||
7) |
y (/, ,v)Œ(.» |
|
. |
|
|
: |
|
|
(f (t, X, |
cp(t, x)) -Diq>{t, |
x) - П 2ф(/, У)ф(/, A-))YI^ 0 , |
||||
|
( / ( / , x , |
ф ( * , |
x ) ) - / |
; ; ф ( / , |
л ) - |
_ |
................ / |
- А рЖ |
Л))у2> 0 ; |
; |
Л - ; / . : - |
8) LiŒ Мг ( ± 1, 1, 1, 0), L2ŒiWr (l, ± 1, о, - 1),
9)(JisLia^O^aizLiß, сггДга^О^о^Егр;
10)у (zi, z2>z3, г4) е Г
сгіз( 1+ Yi)^i(zi, z2, ф(а, z x), |
z4) + |
|
~b <724 (1 Yl) ^2 {Z\, Z2, Z3, Cp(b, |
Z2) ) ^ 0 , |
|
(724(1+Y2)^ 2(zi, z2, z3, г|:(b, |
z2) ) + |
|
+ СГіз(1 -Y 2)^l (Zi, z2, ф(а, |
2]), z4) ;>0 |
|
эквивалентны разрешимости краевой задачи (4.1), при |
||
чем из их выполнимости следует существование реше ния X, такого, что для всех і ^ І
a ( t ) s ^ x ( t ) ^ p ( t ) , rp(t, x ( t ) ) ^ x ' ( t ) ^ ( t , X(/)). (4.2)
Доказательство. Если x — решение краевой задачи (4.1), то для u= ß = x, ф= ф= х', Yb Y2^ { —1, 1} выпол няются условия 2—10.
Пусть выполняются условия 1—10. Докажем сущест
вование решения краевой задачи |
(4.1). Положим |
|||||
М = 1+ max|D2cp((, х) | + т а х |/)2'»1’(/, х )|; |
||||||
О ) |
|
|
|
СО |
|
|
F(t, x, x')=f(t, |
x, 0 (ф(t, х), х', ф(/, x))) + |
|||||
+ YiMô(0, ф(t, x) —x', |
1) + Y2^4ô(0, x' — ty(i, x), 1). |
|||||
Пусть, далее, на R4 |
|
|
|
|
|
|
Лі(2,, |
22, 23, 24) = |
|
|
|||
= L\ (Z1, 22, |
0(ф(й, |
2і), |
23, ф(й, |
2,)), |
||
0(ф(&, |
z2), |
2 4 , ф(6, |
г2) ) ) |
+ |
..;доТ |
|
+ ai3(z3-ô(cp(a, 2,), 23, ф(а, |
2,))); |
|||||
А2(2Ь 22, 23, 24) = |
|
|
||||
= L2(2b 22, |
б(ф (а, |
2,), |
2з, ф(й, |
Z i ) ) , |
||
à(<p(b,z2) , Z i , q ( b , z 2) ) ) - |
|
|||||
—<Т21 (г4 —Ô(ф(Ь, г 2) , 24, ф ( 6 , |
2 2) ) ) . |
|||||
Из определения функции F следует существование |
||||||
функции gŒL(l), такой, что |
|
|
|
|
||
\F(t, x, у) I s^g(t) |
V (t, x, y)ŒaXR, |
|||||