Файл: Двухточечные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений..pdf

lim а/г = а0, lim ßh = ß0

k-+oo

k->oo

существуют и удовлетворяют соотношениям

«о, ßo^S(f),

0 \зЬ\ао^'0 >-оіз-^іßol

а0(а) = ß0(a), a0(b) = 5 = ß0(/>), a0s£ßo.

Далее, учитывая условие 9, получим ОізДао

ß0,

следовательно, Liao = 0= Liß0.

сти краевой задачи

x" = f(t,

х, х'),

х(а)= Л , L2X= 0,

(3.7)

где

fŒCar(lXR2)-,

Д еС )./?4) ; A ^ R . Краевая

задача

(3.7)

симметрична задаче (3.4), поэтому доказательство

леммы 3.2, симметричной лемме 3.1, опускается.

Лемма 3.2 (симметричная лемме 3.1).

Пусть выполняются условия 1—8 теоремы 2.1

и усло­

вия

9)

L2œ Mt

(1, ± 1,0, - 1 ) ;

10)

и (ß)

А sS ß (о), 02\L2u Зз 0Ss о2\Li ß.

(3.7),

такое,

Тогда существует решение х краевой задачи

что XŒS(f).

Теорема 3.1. Условия 1—8 теоремы 2.1 и

9)

LI S A1T (±1, 1, 1, 0), L2œ MT (1, +1, 0,

—1);

10)

сгізТіа^О ^аізД ß, a2iT2a ^ 0 ^ a 2i7,2ß

эквивалентны разрешимости задачи

(3.1) — (3.2), причем

из

их выполнимости

следует

существование

Xœ

(f>

L u L2) .

x" = f(t,

X, х'), L\x = 0, х(Ь) = — (ah(b) + ßk(b)),

(3.8)

такое, что x ^ S h(f). Если o2\L2x^Q , то полагаем

а/і+і= а:, ß/i+i = ß/i,

если же

a2\L2x<0, то считаем u/i+i = a/,, ß/i+i = x.

рых

.

a0 = lim rift,

ßo = limß,1

ft.-*oo

fc->oc

нения (3.1), так что

HX œ {<X0, ßo}, x e S { f) ,

Lix = 0,

O2IL2OQ^ 0 ^ G2\L2$O, ao^ßo,

ao(&) = ßo(6).

Таким образом, XŒ.S{f, L{, L2) . U

Теорема 3.2. Условия

1—8 теоремы 2.1 и

9)

—1,

1, 0,

0), L2œ MT (±1, +1, 1, —1);

10) Lia = 0= Liß,

Огз^га^0^ ог2з^ 2ß

эквивалентны разрешимости задачи

(3.1) —(3.2),

причем

из их

выполнимости

следует

существование Xœ

(f, L], L2) .

Доказательство. Пусть ai = a, ßi = ß. Построим

после­

x" — f(t, X, х'),

Lix = 0, A r(6)= y(a2ft-i(b) + ß2ft-,(&)),

(3.9)

Теорема 3.4 (симметричная теореме 3.3).

Условия 1—8 теоремы 2.1

и

1, 0, - 1 ) ,

9)

L ,eM T(± 1, 1,

1,

1),

L2<=Mt {1,

причем L 2( Z I ,

Z 2,

Z 3,

Z4) строго

монотонна по г4

на Т;

10)

au^ictSsO^aM^iß,

агі^га^О ^агіТгР

эквивалентны разрешимости задачи

(3.1) — (3.2), причем

из

их

выполнимости

следует

существование

,ѵе

^ S ( f , L u L2).

1—8 теоремы 2.1 и

Теорема 3.5. Условия

9)

L\Œ.MT (0, 1, 1, 0), L2œ Mt ( 1, ±1, +1, —1),

no z3

причем Li(ziy z2,

z3,

z4) строго

монотонна

10)

на T;

L\u — 0 = L\\), о2\Ь2аГ^0г^о2\Ь2\)

эквивалентны разрешимости задачи

(3.1) — (3.2), причем

из

их

выполнимости

следует

существование

х е

c=S(f , LuL2).

Зхе{ао, ßo}, x e S (f), LiX= 0, ao=sSßo,

o2lL2aa^ O ^ o 2iL2ß0, a0 (b) = ßo(b).

Из

равенства Liao = £ißo и условий монотонности функ­

ции

L 1 следует равенство a'0(a) = ß/0(a). Используя те­

причем L\(zu гг, z3, z4)

строго монотонна по z4

на Т;

10) Lia = 0= Liß, о23Ь2а ^ 0^

o23L2ß

эквивалентны разрешимости задачи

(3.1) — (3.2),

причем

из

их

выполнимости

следует

существование х е

е

S (f, U,

L2).

Теорема 3.7. Условия

1—8 теоремы 2.1

и

9) LI œ Mt ( —1,

1, 1, 0), L2œ Mt ( 1, ±1,

1, —1);

10) Lia = 0= L]ß,

023T20Ss0 O23L2ß

причем

эквивалентны разрешимости задачи

(3.1) — (3.2),

x" = fV,

х'),

x(b)=a(b), х'{а)^~{а'и{а) + р\{а))

(3.11)

при k = \,

такого, что

x eS i(f). Пусть

для некоторого

/ге{1,

2,

...} а;г, ß/i — нижнее и верхнее

решения урав­

нения

(3.1), удовлетворяющие условиям теоремы, и х

—

решение задачи (3.11),

такое, что x ^ S h(f). Тогда, если

агз^гХ^О,

полагаем аи+\—х,

ßft+i = ß/t, если же

a22L2x<0,

то считаем

а/;+1= а/<, ßft+1 = x.

Кроме

того,

из равенства

Lia/t= 0= Lißfe

и

условий

монотонности

функции

L\

следует L іх = 0,

так

что

LiUh+i = 0 = Liß;;+i.

чим последовательности {сц}

и {ß/J, пределы

которых

ао и ß0 существуют и удовлетворяют условиям

Зх<={а0, ßo}, x e S ( f ) ,

L,x = 0, ao^ßo,

023-^200=2= О 023^2ßo, ßo(6) = ßo(6), Cl'о(о) = ß/o(и) ■

Используя свойства функции

Ь2, получаем

L2ao= 0 =

= L2ßo, следовательно, XŒS(f, L u L2). Ш